人教版九年级上学期数学课时进阶测试22.2二次函数与一元二次方程（一阶）
一、选择题
1．（2023九上·福州月考）如图是二次函数y＝﹣x2+2x+c的部分图象，则关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣c＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝3，x2＝﹣3
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵图像过点（3，0）
∴-9+6+c=0，解得c=3；
∴x2﹣2x﹣3＝0时，（x-3)(x+1)=0，解得x=3或-1；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数图象，将点（3，0）代入函数，即可求得c的值；根据因式分解法解一元二次方程，即可求得x的值.
2．（2024九上·越秀月考）根据下表中的对应值：
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
-1.01 -0.64 -0.25 0.16 0.59
判断方程的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
3．（2023九上·平湖期中）已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，则m的值为（ ）
A．6 B．±6 C．±3 D．±9
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，
解得．
故答案为：B.
【分析】由题意可得函数图象与x轴的交点个数为1，可得到，即可求解．
4．（2023九上·恩施期中）已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： ∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=b2-4ac＞0，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】由抛物线与x轴有两个不同的交点，可得b2-4ac＞0，继而判断方程根的情况.
5．（2023九上·思明开学考）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c=0的一个解只可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
6．（2021九上·甘州期末）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1
C．x＞﹣3 D．x＜1
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵a＞0，故抛物线开口向上，由题意知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0）、（1，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1，
故答案为：B.
【分析】由a＞0可知，抛物线开口向上，在x轴上方的图象所对应的y值大于0，此时x的取值在抛物线与x轴的两个交点之外，即：当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1.
7．（2019九上·孝义期中）如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（ ）
A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m
【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】把y=3.05代入y 中得：3.05 ，解得：x1=1.5，x2=﹣1.5（舍去），∴l=1.5+2.5=4（m）．
故答案为：C．
【分析】在已知解析式中，求出y=3.05时x的值，根据图象，舍去不合题意的值，将求出的x与2.5相加即可．
8．（2018九上·通州期末）二次函数 的图象如图所示， ，则下列四个选项正确的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．
∵抛物线对称轴在y轴右边，∴b＜0．
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0．
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2-4ac＞0．
故答案为：A．
【分析】根据抛物线开口向上得出a＞0，抛物线的对称轴再y轴的右侧，根据左同右异得出b＜0，抛物线与y轴交点在x轴下方得出c＜0，抛物线与x轴有两个不同的交点得出b2-4ac＞0，观察各选项即可得出答案。
二、填空题
9．（2024九上·江津期末）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 则铅球被推出的水平距离为 m．
【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：令，则，
解得：或（不合题意，舍去），
，
．
故答案为：9
【分析】结合题意，代入可得到一个关于x的一元二次方程，求解方程即可得出答案。
10．（2023九上·无为期中） 函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可得方程的解是 .
【答案】，
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意知的解为函数与的交点的横坐标，
由图象知：函数与的交点的横坐标，，
故方程的解是，．
故答案为：，．
【分析】根据题意知的解为函数与的交点的横坐标，根据图象得到答案．
11．（2021九上·互助期中）已知抛物线 的图像与x轴分别交于点 ， ，则关于x的方程 的根为 ．
【答案】 ，
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），
∴ 的根为 ， ，
故答案为： ， ．
【分析】根据 的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），得出 的根，即可得出答案。
12．（2017九上·海宁月考）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根是0.8，则此方程的另一个根是 .
【答案】3.2
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=2，而抛物线与x轴的一个交点坐标为(0.8，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3.2， 0)，
∴此方程的另一个根是x=3.2.
故答案为：3.2.
【分析】关于x的方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标， 据此得抛物线与x轴的一个交点坐标为(0.8，0)， 进而利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3.2，0)，从而确定出方程的另一个根.
13．将方程x2+x-1=0变形成x2=-x+1，那么方程的解可以看成是y=x2与y= 这两个函数图象的交点的横坐标．
【答案】-x+1
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵x2+x-1=0可以变为x2=-x+1，
∴x2-2x-3=0的解还可以看成是函数y=x2与函数y=2x+3图象的交点横坐标．
故答案为：-x+1.
【分析】由于一个方程组的解即是组成方程组的两个函数的图象的交点坐标，所以方程的解还可以看成是函数y=x2与函数y=-x+1的图象交点的横坐标．
三、解答题
14．（2023九上·孝感月考）如图，在矩形中，，，点M从A出发，以的速度在矩形边上沿A→B→C方向运动，点N从B点出发，以的速度在矩形边上沿B→C→D方向运动，两点同时出发，其中一点到达终点时，两点同时停止，运动时间为t（单位：s，且0（1）当0（2）如图，当4【答案】（1）解：由题意可知：AM=2t，BN=t；
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=90°，BM=8-2t，AB=CD，
当 能否成为等腰三角形 时，BM=BN；
∴8-2t=t，解得t=（s）0＜≤4，符合要求；
∴存在t，当t=s时， 是等腰三角形.
（2）解：当 恰好是以BN为底的等腰三角形 时，MN=BM；
∵8÷2=4（s），4÷1=4（s）
∴BM=2（t-4）=2t-8，CN=t-4
∴CM=4-（2t-8）=12-2t
∴MN==2t-8，解得t =(12+）s或(12-)s；
∵ 4∴t= (12-)s
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题路程=速度×时间，可列不等式表示BM和BN的长度；根据等腰三角形的性质，可得关于t的一元一次方程，解方程即可求出t的值；
（2）根据题路程=速度×时间，可以求出点M从点A运动到点B的时间，点N从点B运动到点C的时间；根据已用的时间，可列代数式和表示M、N在BC和CD上运动的距离；根据勾股定理，可得MN的长度；根据等腰三角形的两腰相等，列关于t的一元二次方程，根据求根公式即可求出t的值.
15．（2023九上·路桥月考）已知二次函数图象的顶点坐标为(2，－1)，且过点(0，3)．
（1）求该二次函数解析式．
（2）判断点A(1，1)是否在该函数图象上．
【答案】（1）解：设二次函数的图象为y=；
∵ 二次函数图象的顶点坐标为(2，－1)
∴可得二次函数的图象为y=
又∵图像过点（0，3）
将其代入函数，可得3=4a-1，解得a=1；
∴二次函数的解析式为y=(x 2)2 1；
（2）解：将x=1代入（1）中函数解析式中，可得y=1-1=0；
∵y=0≠0
∴点A不在图像上
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】（1）根据二次函数的顶点式和顶点的坐标以及图像上的点的坐标，可以求出二次函数的解析式；
（2）根据二次函数图象上点的性质，判断一个点的坐标是否在函数上，可将其代入，看等式是否成立即可判断.
1 / 1人教版九年级上学期数学课时进阶测试22.2二次函数与一元二次方程（一阶）
一、选择题
1．（2023九上·福州月考）如图是二次函数y＝﹣x2+2x+c的部分图象，则关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣c＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝3，x2＝﹣3
2．（2024九上·越秀月考）根据下表中的对应值：
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
-1.01 -0.64 -0.25 0.16 0.59
判断方程的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·平湖期中）已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，则m的值为（ ）
A．6 B．±6 C．±3 D．±9
4．（2023九上·恩施期中）已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．实数根 D．无法确定
5．（2023九上·思明开学考）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c=0的一个解只可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
6．（2021九上·甘州期末）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1
C．x＞﹣3 D．x＜1
7．（2019九上·孝义期中）如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（ ）
A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m
8．（2018九上·通州期末）二次函数 的图象如图所示， ，则下列四个选项正确的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
二、填空题
9．（2024九上·江津期末）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 则铅球被推出的水平距离为 m．
10．（2023九上·无为期中） 函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可得方程的解是 .
11．（2021九上·互助期中）已知抛物线 的图像与x轴分别交于点 ， ，则关于x的方程 的根为 ．
12．（2017九上·海宁月考）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根是0.8，则此方程的另一个根是 .
13．将方程x2+x-1=0变形成x2=-x+1，那么方程的解可以看成是y=x2与y= 这两个函数图象的交点的横坐标．
三、解答题
14．（2023九上·孝感月考）如图，在矩形中，，，点M从A出发，以的速度在矩形边上沿A→B→C方向运动，点N从B点出发，以的速度在矩形边上沿B→C→D方向运动，两点同时出发，其中一点到达终点时，两点同时停止，运动时间为t（单位：s，且0（1）当0（2）如图，当415．（2023九上·路桥月考）已知二次函数图象的顶点坐标为(2，－1)，且过点(0，3)．
（1）求该二次函数解析式．
（2）判断点A(1，1)是否在该函数图象上．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵图像过点（3，0）
∴-9+6+c=0，解得c=3；
∴x2﹣2x﹣3＝0时，（x-3)(x+1)=0，解得x=3或-1；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数图象，将点（3，0）代入函数，即可求得c的值；根据因式分解法解一元二次方程，即可求得x的值.
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
3．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，
解得．
故答案为：B.
【分析】由题意可得函数图象与x轴的交点个数为1，可得到，即可求解．
4．【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： ∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=b2-4ac＞0，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】由抛物线与x轴有两个不同的交点，可得b2-4ac＞0，继而判断方程根的情况.
5．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
6．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵a＞0，故抛物线开口向上，由题意知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0）、（1，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1，
故答案为：B.
【分析】由a＞0可知，抛物线开口向上，在x轴上方的图象所对应的y值大于0，此时x的取值在抛物线与x轴的两个交点之外，即：当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1.
7．【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】把y=3.05代入y 中得：3.05 ，解得：x1=1.5，x2=﹣1.5（舍去），∴l=1.5+2.5=4（m）．
故答案为：C．
【分析】在已知解析式中，求出y=3.05时x的值，根据图象，舍去不合题意的值，将求出的x与2.5相加即可．
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．
∵抛物线对称轴在y轴右边，∴b＜0．
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0．
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2-4ac＞0．
故答案为：A．
【分析】根据抛物线开口向上得出a＞0，抛物线的对称轴再y轴的右侧，根据左同右异得出b＜0，抛物线与y轴交点在x轴下方得出c＜0，抛物线与x轴有两个不同的交点得出b2-4ac＞0，观察各选项即可得出答案。
9．【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：令，则，
解得：或（不合题意，舍去），
，
．
故答案为：9
【分析】结合题意，代入可得到一个关于x的一元二次方程，求解方程即可得出答案。
10．【答案】，
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意知的解为函数与的交点的横坐标，
由图象知：函数与的交点的横坐标，，
故方程的解是，．
故答案为：，．
【分析】根据题意知的解为函数与的交点的横坐标，根据图象得到答案．
11．【答案】 ，
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），
∴ 的根为 ， ，
故答案为： ， ．
【分析】根据 的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），得出 的根，即可得出答案。
12．【答案】3.2
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=2，而抛物线与x轴的一个交点坐标为(0.8，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3.2， 0)，
∴此方程的另一个根是x=3.2.
故答案为：3.2.
【分析】关于x的方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标， 据此得抛物线与x轴的一个交点坐标为(0.8，0)， 进而利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3.2，0)，从而确定出方程的另一个根.
13．【答案】-x+1
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵x2+x-1=0可以变为x2=-x+1，
∴x2-2x-3=0的解还可以看成是函数y=x2与函数y=2x+3图象的交点横坐标．
故答案为：-x+1.
【分析】由于一个方程组的解即是组成方程组的两个函数的图象的交点坐标，所以方程的解还可以看成是函数y=x2与函数y=-x+1的图象交点的横坐标．
14．【答案】（1）解：由题意可知：AM=2t，BN=t；
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=90°，BM=8-2t，AB=CD，
当 能否成为等腰三角形 时，BM=BN；
∴8-2t=t，解得t=（s）0＜≤4，符合要求；
∴存在t，当t=s时， 是等腰三角形.
（2）解：当 恰好是以BN为底的等腰三角形 时，MN=BM；
∵8÷2=4（s），4÷1=4（s）
∴BM=2（t-4）=2t-8，CN=t-4
∴CM=4-（2t-8）=12-2t
∴MN==2t-8，解得t =(12+）s或(12-)s；
∵ 4∴t= (12-)s
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题路程=速度×时间，可列不等式表示BM和BN的长度；根据等腰三角形的性质，可得关于t的一元一次方程，解方程即可求出t的值；
（2）根据题路程=速度×时间，可以求出点M从点A运动到点B的时间，点N从点B运动到点C的时间；根据已用的时间，可列代数式和表示M、N在BC和CD上运动的距离；根据勾股定理，可得MN的长度；根据等腰三角形的两腰相等，列关于t的一元二次方程，根据求根公式即可求出t的值.
15．【答案】（1）解：设二次函数的图象为y=；
∵ 二次函数图象的顶点坐标为(2，－1)
∴可得二次函数的图象为y=
又∵图像过点（0，3）
将其代入函数，可得3=4a-1，解得a=1；
∴二次函数的解析式为y=(x 2)2 1；
（2）解：将x=1代入（1）中函数解析式中，可得y=1-1=0；
∵y=0≠0
∴点A不在图像上
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】（1）根据二次函数的顶点式和顶点的坐标以及图像上的点的坐标，可以求出二次函数的解析式；
（2）根据二次函数图象上点的性质，判断一个点的坐标是否在函数上，可将其代入，看等式是否成立即可判断.
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