人教版九年级上学期数学课时进阶测试22.2二次函数与一元二次方程（二阶）
数学考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024·遂宁）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个( )
①
②
③
④若方程两根为m，，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图可知，
抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，
，，
则，
抛物线与y轴的交点B在，之间，
，
则，故①错误；
设抛物线与x轴另一个交点，
对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，
，解得，
则，故②错误；
，，，
，解得，故③正确；
根据抛物线与x轴交于点和，直线过点和，如图，
方程两根为m，n满足，故④正确，
综上，正确的有③④，共2个.
故答案为：B.
【分析】由抛物线开口向上得a＞0，由对称轴直线为x=-1可得b=2a＞0，由抛物线与y轴交点在y轴的负半轴可得c＜0，故abc＜0，据此可判断①；根据抛物线的对称性可判断出抛物线与x轴另一个交点 为（-3，0），则9a-3b+c=0，据此可判断②；由抛物线经过点（1，0）可得a+b+c=0，又b=2a，则c=-3a，结合-3＜c＜-2可得关于字母a的不等式组，求解即可判断③；方程ax2+bx+c=x+1的解，就是抛物线与直线y=x+1交点的横坐标，从而画出直线y=x+1的图象结合抛物线与x轴交点即可得出-3＜m＜1＜n，据此判断④.
2．（2024九下·高坪模拟）已知抛物线与直线交于两个不同交点，．若，均在直线的左侧．则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
3．（2024九下·天心模拟）已知图中抛物线的顶点的坐标为，，与轴的一个交点位于0和1之间，小明同学观察后得出以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
4．（2024九下·南京模拟）已知关于x的方程的解为，关于x的方程的解为．若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
5．（2024九下·威县模拟）对于二次函数，定义函数是它的相关函数，若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好有两个公共点，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
6．（2024九下·罗湖模拟）抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表，下列说法正确的有（ ）．
x … 0 1 …
y … 3 3 …
①当时，y随x的增大而减小； ②抛物线的对称轴为直线；
③当时，； ④方程的一个正数解满足．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
7．（2024·仙居二模）已知点是二次函数函数图象上的两个点，若关于的一元二次方程有两根，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、B在二次函数的图像上，故①，②
而m>0，故，由韦达定理知，即
②-①得得|n|>|m|，而m>0>n得-n>m故，由韦达定理得即
综上所述：
故答案为：C.
【分析】分别将A、B坐标代入函数得①，②，可得k>1，②-①得-n>m，得，由韦达定理即可得两根之和与积的范围.
8．（2024九下·大冶模拟）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其对称轴是直线，当时，与其对应的函数值．有下列结论：
①；
②若点，，均在函数图象上，则；
③若方程的两根为，且则；
④．
其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024·上海）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
【答案】4
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵
∴ m=，k=
根据题意，设点P（x， ）
∴
解得：x=或x=（不合题意，舍去）
∴ 开口大小==4
故答案为：4
【分析】本题考查二次函数顶点坐标，解一元二次方程及新定义，熟悉求二次函数的顶点坐标方法，解一元二次方程的方法等知识，是解题关键。根据配方法或者顶点公式求出顶点坐标，即m，k的值，再根据满足的条件，解出方程的根，可得点P的横坐标，根据开口大小公式求解即可。
10．（2024九下·武汉模拟）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④关于x的方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
11．（2024九下·蔡甸模拟）抛物线（、、是常数）的顶点在第一象限，且．下列四个结论：
①；②；③若，则当时，随的增大而减小； ④若抛物线的顶点为，则方程无实数根．其中正确的结论是 ．（填写序号）．
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
12．（2024八下·丰城月考）如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为 ．
【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
13．（2024九上·拱墅期末）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是 ．
【答案】或
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
（1）求m的值；
（2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围．
【答案】（1）解：∵点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，
∴4a+2b﹣3＝﹣3，
解得：b＝﹣2a，
∴抛物线为：y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴m＝1；
（2）解：∵点Q（1，﹣4）在y＝ax2﹣2ax﹣3的图象上，
∴a﹣2a﹣3＝﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1，
∵0≤x≤4，
∴当x＝1时，函数有最小值为1，
当x＝4时，函数有最大值为（4﹣1）2+1＝10
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11；
（3）解：∵y＝ax2﹣2ax﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．
∴x1+x2＝2，，
∵，
∴，
∵4＜x2﹣x1＜6，
∴即，
解得：．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】本题考查求二次函数解析式，平移规律，函数区间求最值，根与系数的关系等知识，熟练掌握二次函数的性质，最值，根与系数的关系等知识，是解题关键。
（1）点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，代入可得a，b的数量关系，结合对称轴求出m值；
（2）结合点Q（1，4）求出抛物线，求出平移后解析式y＝（x﹣1）2+1，由 0≤x≤4 求出新二次函数的最大值和最小值，求和即可；
（3）由函数与x轴的交点，结合根与系数的关系得x1+x2＝2，，求出，结合 4＜x2﹣x1＜6，求出a的范围即可。
15．（2024九下·成都模拟）抛物线：与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点，当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；
（3）如图2，将抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，得到抛物线，直线：交抛物线于、，若，求原点到距离的最大值．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
1 / 1人教版九年级上学期数学课时进阶测试22.2二次函数与一元二次方程（二阶）
数学考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024·遂宁）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个( )
①
②
③
④若方程两根为m，，则
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024九下·高坪模拟）已知抛物线与直线交于两个不同交点，．若，均在直线的左侧．则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·天心模拟）已知图中抛物线的顶点的坐标为，，与轴的一个交点位于0和1之间，小明同学观察后得出以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024九下·南京模拟）已知关于x的方程的解为，关于x的方程的解为．若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九下·威县模拟）对于二次函数，定义函数是它的相关函数，若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好有两个公共点，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·罗湖模拟）抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表，下列说法正确的有（ ）．
x … 0 1 …
y … 3 3 …
①当时，y随x的增大而减小； ②抛物线的对称轴为直线；
③当时，； ④方程的一个正数解满足．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④
7．（2024·仙居二模）已知点是二次函数函数图象上的两个点，若关于的一元二次方程有两根，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九下·大冶模拟）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其对称轴是直线，当时，与其对应的函数值．有下列结论：
①；
②若点，，均在函数图象上，则；
③若方程的两根为，且则；
④．
其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024·上海）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
10．（2024九下·武汉模拟）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④关于x的方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填写序号）
11．（2024九下·蔡甸模拟）抛物线（、、是常数）的顶点在第一象限，且．下列四个结论：
①；②；③若，则当时，随的增大而减小； ④若抛物线的顶点为，则方程无实数根．其中正确的结论是 ．（填写序号）．
12．（2024八下·丰城月考）如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为 ．
13．（2024九上·拱墅期末）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是 ．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
（1）求m的值；
（2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围．
15．（2024九下·成都模拟）抛物线：与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点，当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；
（3）如图2，将抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，得到抛物线，直线：交抛物线于、，若，求原点到距离的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图可知，
抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，
，，
则，
抛物线与y轴的交点B在，之间，
，
则，故①错误；
设抛物线与x轴另一个交点，
对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，
，解得，
则，故②错误；
，，，
，解得，故③正确；
根据抛物线与x轴交于点和，直线过点和，如图，
方程两根为m，n满足，故④正确，
综上，正确的有③④，共2个.
故答案为：B.
【分析】由抛物线开口向上得a＞0，由对称轴直线为x=-1可得b=2a＞0，由抛物线与y轴交点在y轴的负半轴可得c＜0，故abc＜0，据此可判断①；根据抛物线的对称性可判断出抛物线与x轴另一个交点 为（-3，0），则9a-3b+c=0，据此可判断②；由抛物线经过点（1，0）可得a+b+c=0，又b=2a，则c=-3a，结合-3＜c＜-2可得关于字母a的不等式组，求解即可判断③；方程ax2+bx+c=x+1的解，就是抛物线与直线y=x+1交点的横坐标，从而画出直线y=x+1的图象结合抛物线与x轴交点即可得出-3＜m＜1＜n，据此判断④.
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
3．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
4．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
5．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
6．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
7．【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、B在二次函数的图像上，故①，②
而m>0，故，由韦达定理知，即
②-①得得|n|>|m|，而m>0>n得-n>m故，由韦达定理得即
综上所述：
故答案为：C.
【分析】分别将A、B坐标代入函数得①，②，可得k>1，②-①得-n>m，得，由韦达定理即可得两根之和与积的范围.
8．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
9．【答案】4
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵
∴ m=，k=
根据题意，设点P（x， ）
∴
解得：x=或x=（不合题意，舍去）
∴ 开口大小==4
故答案为：4
【分析】本题考查二次函数顶点坐标，解一元二次方程及新定义，熟悉求二次函数的顶点坐标方法，解一元二次方程的方法等知识，是解题关键。根据配方法或者顶点公式求出顶点坐标，即m，k的值，再根据满足的条件，解出方程的根，可得点P的横坐标，根据开口大小公式求解即可。
10．【答案】①②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
11．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
12．【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
13．【答案】或
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
14．【答案】（1）解：∵点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，
∴4a+2b﹣3＝﹣3，
解得：b＝﹣2a，
∴抛物线为：y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴m＝1；
（2）解：∵点Q（1，﹣4）在y＝ax2﹣2ax﹣3的图象上，
∴a﹣2a﹣3＝﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1，
∵0≤x≤4，
∴当x＝1时，函数有最小值为1，
当x＝4时，函数有最大值为（4﹣1）2+1＝10
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11；
（3）解：∵y＝ax2﹣2ax﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．
∴x1+x2＝2，，
∵，
∴，
∵4＜x2﹣x1＜6，
∴即，
解得：．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】本题考查求二次函数解析式，平移规律，函数区间求最值，根与系数的关系等知识，熟练掌握二次函数的性质，最值，根与系数的关系等知识，是解题关键。
（1）点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，代入可得a，b的数量关系，结合对称轴求出m值；
（2）结合点Q（1，4）求出抛物线，求出平移后解析式y＝（x﹣1）2+1，由 0≤x≤4 求出新二次函数的最大值和最小值，求和即可；
（3）由函数与x轴的交点，结合根与系数的关系得x1+x2＝2，，求出，结合 4＜x2﹣x1＜6，求出a的范围即可。
15．【答案】（1）
（2）或
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
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