人教版九年级上学期数学课时进阶测试22.2二次函数与一元二次方程（三阶）
数学考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024九下·龙沙模拟）如图，抛物线（是常数，）的顶点在第四象限，对称轴是，过一、二、四象限的直线（是常数）与抛物线交于轴上一点，则下列结论正确的有（ ）个．
①，②，③，④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则，⑤为任意实数，则有．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
2．（2024九下·黄石月考） 在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中．以下4个结论：
①若这个函数的图象经过点，则它必有最小值；
②若这个函数的图象经过第四象限的点，则必有；
③若，则方程必有一根小于，
④若，则当时，必有随的增大而增大．正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①：将点(-2，0)代入，
∴4a-2b=0，
即b=2a，
∵a-b<0，
∴a-2a=-a<0，
∴a>0，
∴抛物线开口向上，有最小值，故①正确；
②：∵二次函数的图象经过第四象限的点P，
设P(x，y)，
∴当，
∴ax+b<0，
∵a-b<0，
∴a∴ax+a<0，即a(x+1)<0，
∵x>0，
∴a<0，故②正确；
③：方程可转化为，
∴x=0或ax+b=0，
在ax+b=0中，
∵a≠0，
∴，
∵a-b<0，
∴a∵a>0，
∴，
∴x<-1，
∴若a>0，则方程必有一根小于-1，故③正确；
④：若a<0，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∵a-b<0，
∴a∴，
∴，
∴当时，有，y随x的增大而减小，故④错误；
综上所述，正确的是：①②③.
故答案为：A.
【分析】将点(-2，0)代入，得到b=2a，进而得到a-2a=-a<0，即a>0，得到①正确；设P(x，y)，当，得到ax+b<0，即a3．（2024九下·浙江会考）已知实系数一元二次方程的两实根为，且，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
4．（2024九下·沅江模拟）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
5．关于一元二次方程有以下命题：①若a+b+c=0，则(≥0；②若方程(的两根为-1和2，则2a+c=0；③若方程(有两个不相等的实数根，则方程=0必有两个不相等的实数根；④若方程 有两个相等的实数根，则 无实数根.其中真命题是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①若，方程有一根为1，则，故①正确；
②由两根关系可知，，整理得：，故②正确；
③若方程有两个不相等的实根，则，得，故方程有两个不相等的实根，故③正确．
④若有两个相等的实数根，则，
化为一般形式：，，
当时，，方程有两个不相等的实数根，
当时，，方程无实数根，故④错误；
真命题有①②③.
故答案为：①②③．
【分析】①，说明原方程有一根是1，一元二次方程有根，；②根据根与系数的关系可得出结论；③由题意得，则，可判断③正确；④由题意得，则化为一般形式，，即可判断④错误.
6．（2024九上·黔东南期末）二次函数中，自变量与函数的对应值如下表：
若，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与轴的交点在轴的下方
C．对称轴是直线
D．若是方程的正数解，则
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】根据表格可知
若，
A：该函数图象开口向上，叙述错误，图象开口应向下，不符合题意
B：该函数图象与轴的交点在轴的下方，叙述错误，函数图象与轴的交点在轴的上方，不符合题意
C：对称轴是直线，叙述错误，对称轴是直线，不符合题意
D：若是方程的正数解，则，叙述正确，当 时，，有，符合题意
故选：D
【分析】根据表格分析，m=0和m=2时y值相等，对称轴为x=1；x由1增大到4，y值由m减小到 可知对称轴右侧图象递减，图象开口向下；，当x=0时，故 函数图象与轴的交点在轴的上方；由零点定理，函数必有一个交点在对应的x值之间。
7．（2020·岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值 等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 ，关于x的方程 有两个不相等的非零实数根 ，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 是 的两个不相等的零点
即 是 的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程 有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴ <0
∴
∵ ，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当m=3时， 无意义；
当 时， ，
∴ 取值范围不确定，
故答案为：B．
【分析】根据根与系数的关系可以求出 ， 的值，用作差法比较 的大小关系， 的大小关系，根据 可求出m的取值范围，结合 的大小关系， 的大小关系从而得出选项．
8．（2023九上·铜梁月考）已知函数f（x）＝x2+2x，g（x）＝2x2+6x+n2+3，当x＝1时，f（1）＝12+2×1＝3，g（1）＝2+6+n2+3＝n2+11．则以下结论正确的有（ ）
①若函数g（x）的顶点在x轴上，则；
②无论x取何值，总有g（x）＞f（x）；
③若﹣1≤x≤1时，g（x）+f（x）的最小值为7，则n＝±3；
④当n＝1时，令，则h（1） h（2）…h（2023）＝2024．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】①∵函数的顶点在x轴上，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，故①错误；
②∵
＝
＝，
∴当，时，，即，
故②错误；
③∵
＝
＝，
∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∴当﹣1≤x≤1时，时，有最小值，
∴，
解得：，故③正确；
④当时，
＝＝＝＝，
∴
＝
＝，故④正确．
综上所述：正确的结论有③④，共2个，
故答案为：B．
【分析】据函数的顶点在x轴上，则一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式可得关于的一元二次方程，解方程求求出的值可判断①；计算，根据二次函数的性质可判断②；计算，根据二次函数的增减性可判断③；化简，代入计算可判断④。
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024九下·青山模拟）已知二次函数的图象过点，交轴于点，，（在的左边），交轴于点，且，若，现有以下结论：
抛物线对称轴为；
关于的一元二次方程有一个根为；
当时，随增大而增大；
．
其中正确的序号为 .
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
10．（2023九上·长沙月考）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：
；
；
；
若方程有两个根和，且，则；
若方程有四个根，则这四个根的和为．
其中正确的结论为 ．
【答案】②③④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为( -2，-9a )，
∴ y=a(x+2)2-9a=ax2+4ax-5a，
∵抛物线的开口向上，
∴ a>0，
∴ b=4a>0，c=-5a<0，
∴ abc<0，所以①错误；
当y=0时，x2+4ax-5a=0，解得x1=-5，x2=1，
∴ 抛物线与x轴交点坐标为( -5，0 )，( 1，0 )，
∴x=2时，y>0，
∴4a+2b+c>0，所以②正确；
∵5a-b+c=5a-4a-5a=-4a，
∴ 9a-b+c=0，所以正确；
∵方程a( x+5 )( x-1 )=-1有两个根x1，x2，
∴ 抛物线y=a( x+5 )( x-1 )与直线y=-1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，
∴ -5∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴ 方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴ 所有根之和为，所以④正确．
综上分析可得，正确的有： ②③④⑤ 。
故答案为： ②③④⑤ 。
【分析】根据开口方向及顶点坐标求出b=4a，c=-5a，可求得①②③，根据图像和根与系数的关系即可判断④⑤。
11．（2021九上·定海期末）如图，将二次函数(其中)的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为，另有一次函数的图象记为，若与恰有两个交点时，则的范围是 .
【答案】或
【知识点】轴对称的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数(其中)的图象在轴下方的部分沿轴翻折得到的抛物线解析式为：，
直线，当时，，当时，，直线与轴交点为，与轴的交点为，
(1)如下图，当抛物线经过点时，，解得，
观察图象可知，当时，与恰有两个交点，
(2)由得，当时，解得：，
观察图象可知，当时，与恰有两个交点.
【分析】根据对称的性质得出翻折后抛物线的解析式为y=-x2+m，再求出直线y=x+2与坐标轴的交点为（-2，0）和（0，2），分两种情况讨论：（1）当直线与y=-x2+m有一个交点时求出m=4，再结合图象得出当m＞4时，y1与y2恰有两个交点，（2）当直线与y=-x2+m有两个交点时联立方程组，根据一元二次方程根的判别式求出m=，再结合图象得出当0＜m＜时，y1与y2恰有两个交点，即可得出答案.
12．（2021·海陵模拟）已知二次函数 的图象经过点 与 ，关于 的方程 有两个根，其中一个根是5，若关于 的方程 有两个整数根，则这两个整数根分别是 .
【答案】4或-2
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵二次函数 的图象经过点 与 ，
∴ax2+bx+c=0的两个根为3和-1，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）有两个根，
∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的两个根为函数y=ax2+bx+c与直线y=-m的两个交点的横坐标，
∵方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）一个根是5，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的另一个根为-3，函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，
∵方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）两个根是函数y=ax2+bx+c与直线y=-n的两个交点的横坐标，
∴方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）两个根，一个在在5和3之间，另一个在-3和-1之间，
∴关于 的方程 的两个整数根是4或-2，
故答案为： 4或-2.
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题.
13．（2019八下·北京期末）对于每个正整数 n，关于 x 的一元二次方程 = 0 的两个根分别为 an、bn，设平面直角坐标系中，An、Bn两点的坐标分别为 An（an，0），Bn（bn，0），AnBn表示这两点间的距离，则 AnBn= （用含 n 的代数式表示）；A1B1+ A2B2+ …+ A2011B2012 的值为 .
【答案】；
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程 的两个根分别为an、bn，
∴AnBn=
=
故答案为 、
【分析】由于关于x的一元二次方程 的两个根分别为an、bn，可知，二次函数y= 与x轴的交点间的距离为 ，据此求出AnBn的表达式，然后令n=1，n=2，…，据此列出A1B1+ A2B2+ …+ A2011B2012的表达式，计算即可．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024九下·邯郸模拟）抛物线：与直线：交于、两点，且．
（1）求和的值（用含的代数式表示）；
（2）当时，抛物线与轴的另一个交点为．
①求的面积；
②当时，则的取值范围是_________．
（3）抛物线：的顶点，求出与的函数关系式；当为何值时，点达到最高．
（4）在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当时，直接写出“美点”的个数_________．
【答案】（1），
（2）10；
（3）；
（4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
15．（2019·福田模拟）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）解：当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5），
当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）解：①解方程﹣x2+6x﹣5＝0得x1＝1，x2＝5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM AB 4＝2 ，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ＝AM＝2 ，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，
则∠PDQ＝45°，
∴PD PQ 2 4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，解得m1＝1，m2＝4，
当P点在直线BC下方时，
PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，解得m1 ，m2 ，
综上所述，P点的横坐标为4或 或 ；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1，
∴∠AM1B＝2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝NH＝2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（ ， ），
设直线EM1的解析式为y x+b，
把E（ ， ）代入得 b ，解得b ，
∴直线EM1的解析式为y x ，
解方程组 得 ，则M1（ ， ）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3 ，
∴x ，
∴M2（ ， ），
综上所述，点M的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，将二者的坐标代入抛物线中，即可得到抛物线的解析式。
（2）根据（1）中得到的式子，解出两个根，得到点A和点B和点C三个点的坐标，即可得到三角形OCB为等腰直角三角形，根据新的抛物线公式联立计算出两个点的坐标即可。
1 / 1人教版九年级上学期数学课时进阶测试22.2二次函数与一元二次方程（三阶）
数学考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024九下·龙沙模拟）如图，抛物线（是常数，）的顶点在第四象限，对称轴是，过一、二、四象限的直线（是常数）与抛物线交于轴上一点，则下列结论正确的有（ ）个．
①，②，③，④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则，⑤为任意实数，则有．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024九下·黄石月考） 在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中．以下4个结论：
①若这个函数的图象经过点，则它必有最小值；
②若这个函数的图象经过第四象限的点，则必有；
③若，则方程必有一根小于，
④若，则当时，必有随的增大而增大．正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．①②③④
3．（2024九下·浙江会考）已知实系数一元二次方程的两实根为，且，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·沅江模拟）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．关于一元二次方程有以下命题：①若a+b+c=0，则(≥0；②若方程(的两根为-1和2，则2a+c=0；③若方程(有两个不相等的实数根，则方程=0必有两个不相等的实数根；④若方程 有两个相等的实数根，则 无实数根.其中真命题是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④
6．（2024九上·黔东南期末）二次函数中，自变量与函数的对应值如下表：
若，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与轴的交点在轴的下方
C．对称轴是直线
D．若是方程的正数解，则
7．（2020·岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值 等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 ，关于x的方程 有两个不相等的非零实数根 ，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·铜梁月考）已知函数f（x）＝x2+2x，g（x）＝2x2+6x+n2+3，当x＝1时，f（1）＝12+2×1＝3，g（1）＝2+6+n2+3＝n2+11．则以下结论正确的有（ ）
①若函数g（x）的顶点在x轴上，则；
②无论x取何值，总有g（x）＞f（x）；
③若﹣1≤x≤1时，g（x）+f（x）的最小值为7，则n＝±3；
④当n＝1时，令，则h（1） h（2）…h（2023）＝2024．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024九下·青山模拟）已知二次函数的图象过点，交轴于点，，（在的左边），交轴于点，且，若，现有以下结论：
抛物线对称轴为；
关于的一元二次方程有一个根为；
当时，随增大而增大；
．
其中正确的序号为 .
10．（2023九上·长沙月考）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：
；
；
；
若方程有两个根和，且，则；
若方程有四个根，则这四个根的和为．
其中正确的结论为 ．
11．（2021九上·定海期末）如图，将二次函数(其中)的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为，另有一次函数的图象记为，若与恰有两个交点时，则的范围是 .
12．（2021·海陵模拟）已知二次函数 的图象经过点 与 ，关于 的方程 有两个根，其中一个根是5，若关于 的方程 有两个整数根，则这两个整数根分别是 .
13．（2019八下·北京期末）对于每个正整数 n，关于 x 的一元二次方程 = 0 的两个根分别为 an、bn，设平面直角坐标系中，An、Bn两点的坐标分别为 An（an，0），Bn（bn，0），AnBn表示这两点间的距离，则 AnBn= （用含 n 的代数式表示）；A1B1+ A2B2+ …+ A2011B2012 的值为 .
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024九下·邯郸模拟）抛物线：与直线：交于、两点，且．
（1）求和的值（用含的代数式表示）；
（2）当时，抛物线与轴的另一个交点为．
①求的面积；
②当时，则的取值范围是_________．
（3）抛物线：的顶点，求出与的函数关系式；当为何值时，点达到最高．
（4）在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当时，直接写出“美点”的个数_________．
15．（2019·福田模拟）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①：将点(-2，0)代入，
∴4a-2b=0，
即b=2a，
∵a-b<0，
∴a-2a=-a<0，
∴a>0，
∴抛物线开口向上，有最小值，故①正确；
②：∵二次函数的图象经过第四象限的点P，
设P(x，y)，
∴当，
∴ax+b<0，
∵a-b<0，
∴a∴ax+a<0，即a(x+1)<0，
∵x>0，
∴a<0，故②正确；
③：方程可转化为，
∴x=0或ax+b=0，
在ax+b=0中，
∵a≠0，
∴，
∵a-b<0，
∴a∵a>0，
∴，
∴x<-1，
∴若a>0，则方程必有一根小于-1，故③正确；
④：若a<0，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∵a-b<0，
∴a∴，
∴，
∴当时，有，y随x的增大而减小，故④错误；
综上所述，正确的是：①②③.
故答案为：A.
【分析】将点(-2，0)代入，得到b=2a，进而得到a-2a=-a<0，即a>0，得到①正确；设P(x，y)，当，得到ax+b<0，即a3．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
5．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①若，方程有一根为1，则，故①正确；
②由两根关系可知，，整理得：，故②正确；
③若方程有两个不相等的实根，则，得，故方程有两个不相等的实根，故③正确．
④若有两个相等的实数根，则，
化为一般形式：，，
当时，，方程有两个不相等的实数根，
当时，，方程无实数根，故④错误；
真命题有①②③.
故答案为：①②③．
【分析】①，说明原方程有一根是1，一元二次方程有根，；②根据根与系数的关系可得出结论；③由题意得，则，可判断③正确；④由题意得，则化为一般形式，，即可判断④错误.
6．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】根据表格可知
若，
A：该函数图象开口向上，叙述错误，图象开口应向下，不符合题意
B：该函数图象与轴的交点在轴的下方，叙述错误，函数图象与轴的交点在轴的上方，不符合题意
C：对称轴是直线，叙述错误，对称轴是直线，不符合题意
D：若是方程的正数解，则，叙述正确，当 时，，有，符合题意
故选：D
【分析】根据表格分析，m=0和m=2时y值相等，对称轴为x=1；x由1增大到4，y值由m减小到 可知对称轴右侧图象递减，图象开口向下；，当x=0时，故 函数图象与轴的交点在轴的上方；由零点定理，函数必有一个交点在对应的x值之间。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 是 的两个不相等的零点
即 是 的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程 有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴ <0
∴
∵ ，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当m=3时， 无意义；
当 时， ，
∴ 取值范围不确定，
故答案为：B．
【分析】根据根与系数的关系可以求出 ， 的值，用作差法比较 的大小关系， 的大小关系，根据 可求出m的取值范围，结合 的大小关系， 的大小关系从而得出选项．
8．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】①∵函数的顶点在x轴上，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，故①错误；
②∵
＝
＝，
∴当，时，，即，
故②错误；
③∵
＝
＝，
∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∴当﹣1≤x≤1时，时，有最小值，
∴，
解得：，故③正确；
④当时，
＝＝＝＝，
∴
＝
＝，故④正确．
综上所述：正确的结论有③④，共2个，
故答案为：B．
【分析】据函数的顶点在x轴上，则一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式可得关于的一元二次方程，解方程求求出的值可判断①；计算，根据二次函数的性质可判断②；计算，根据二次函数的增减性可判断③；化简，代入计算可判断④。
9．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
10．【答案】②③④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为( -2，-9a )，
∴ y=a(x+2)2-9a=ax2+4ax-5a，
∵抛物线的开口向上，
∴ a>0，
∴ b=4a>0，c=-5a<0，
∴ abc<0，所以①错误；
当y=0时，x2+4ax-5a=0，解得x1=-5，x2=1，
∴ 抛物线与x轴交点坐标为( -5，0 )，( 1，0 )，
∴x=2时，y>0，
∴4a+2b+c>0，所以②正确；
∵5a-b+c=5a-4a-5a=-4a，
∴ 9a-b+c=0，所以正确；
∵方程a( x+5 )( x-1 )=-1有两个根x1，x2，
∴ 抛物线y=a( x+5 )( x-1 )与直线y=-1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，
∴ -5∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴ 方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴ 所有根之和为，所以④正确．
综上分析可得，正确的有： ②③④⑤ 。
故答案为： ②③④⑤ 。
【分析】根据开口方向及顶点坐标求出b=4a，c=-5a，可求得①②③，根据图像和根与系数的关系即可判断④⑤。
11．【答案】或
【知识点】轴对称的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数(其中)的图象在轴下方的部分沿轴翻折得到的抛物线解析式为：，
直线，当时，，当时，，直线与轴交点为，与轴的交点为，
(1)如下图，当抛物线经过点时，，解得，
观察图象可知，当时，与恰有两个交点，
(2)由得，当时，解得：，
观察图象可知，当时，与恰有两个交点.
【分析】根据对称的性质得出翻折后抛物线的解析式为y=-x2+m，再求出直线y=x+2与坐标轴的交点为（-2，0）和（0，2），分两种情况讨论：（1）当直线与y=-x2+m有一个交点时求出m=4，再结合图象得出当m＞4时，y1与y2恰有两个交点，（2）当直线与y=-x2+m有两个交点时联立方程组，根据一元二次方程根的判别式求出m=，再结合图象得出当0＜m＜时，y1与y2恰有两个交点，即可得出答案.
12．【答案】4或-2
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵二次函数 的图象经过点 与 ，
∴ax2+bx+c=0的两个根为3和-1，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）有两个根，
∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的两个根为函数y=ax2+bx+c与直线y=-m的两个交点的横坐标，
∵方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）一个根是5，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的另一个根为-3，函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，
∵方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）两个根是函数y=ax2+bx+c与直线y=-n的两个交点的横坐标，
∴方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）两个根，一个在在5和3之间，另一个在-3和-1之间，
∴关于 的方程 的两个整数根是4或-2，
故答案为： 4或-2.
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题.
13．【答案】；
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程 的两个根分别为an、bn，
∴AnBn=
=
故答案为 、
【分析】由于关于x的一元二次方程 的两个根分别为an、bn，可知，二次函数y= 与x轴的交点间的距离为 ，据此求出AnBn的表达式，然后令n=1，n=2，…，据此列出A1B1+ A2B2+ …+ A2011B2012的表达式，计算即可．
14．【答案】（1），
（2）10；
（3）；
（4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
15．【答案】（1）解：当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5），
当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）解：①解方程﹣x2+6x﹣5＝0得x1＝1，x2＝5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM AB 4＝2 ，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ＝AM＝2 ，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，
则∠PDQ＝45°，
∴PD PQ 2 4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，解得m1＝1，m2＝4，
当P点在直线BC下方时，
PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，解得m1 ，m2 ，
综上所述，P点的横坐标为4或 或 ；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1，
∴∠AM1B＝2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝NH＝2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（ ， ），
设直线EM1的解析式为y x+b，
把E（ ， ）代入得 b ，解得b ，
∴直线EM1的解析式为y x ，
解方程组 得 ，则M1（ ， ）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3 ，
∴x ，
∴M2（ ， ），
综上所述，点M的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，将二者的坐标代入抛物线中，即可得到抛物线的解析式。
（2）根据（1）中得到的式子，解出两个根，得到点A和点B和点C三个点的坐标，即可得到三角形OCB为等腰直角三角形，根据新的抛物线公式联立计算出两个点的坐标即可。
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