安徽省怀宁县新安中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

新安中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
试题范围： 高中数学选修一、二、三册 （侧重二、三册）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知两个变量与的对应关系如下表：
1 3 5 7 9
6 18 39 53
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）
A．29 B．30 C．31 D．32
3．某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有（ ）
A．18种 B．36种 C．68种 D．84种
5．已知，则（ ）
A．0.05 B．0.27 C．0.68 D．0.32
6．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.2
7．已知变量之间具有线性相关关系，根据15对样本数据求得经验回归方程为，若，则（ ）
A．12 B．19 C．31 D．46
8．已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第7项 D．有理项共4项
10．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值但没有最大值
B．对于任意的，恒有
C．仅有一个零点
D．有两个极值点
11．已知为函数的极值点，则（ ）
（参考数据：）
A．在上单调递减 B．的极小值为-2
C． D．
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则 ．
13．某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是 .（用数字作答）
14．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．如图，在三棱锥中，底面，且为棱上一点，且.
(1)求的长；
(2)求二面角的余弦值.
16．记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：．
17．已知双曲线经过点.
(1)求的方程；
(2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点.
18．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，证明：；
(3)若既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．
19．某超市办了会员便可以携同伴进入购物．据统计，开业第一天人流量超过三万人，且大多组团来逛超市，如果单独一人逛超市，则视此人为单独一个团体．其中的团体拥有一张会员卡，结账时将会收到超市赠送的精美布袋一个；另外的团体拥有两张及以上会员卡，结账时将会收到超市赠送的精美布袋两个．假设每个团体之间相互独立，且将频率看做概率．
(1)随机抽取3个团体，记3个团体收到超市赠送的精美布袋总个数为，求的分布列和期望；
(2)将个团体获赠精美布袋总个数为个的事件概率记为，求；
参考答案：
1．A 2．A 3．C 4．B 5．C 6．D 7．B 8．A
9．AC 10．BC 11．BCD
12． 13．30 14．
15．（1）因为，所以，则.
因为底面，所以.
又，所以平面.
因为平面，所以.又，所以平面.
由平面，得.
又底面，所以，所以，由等面积法得，故.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
则设则
解得
则.
设平面的法向量为，则即
令，得.
由底面，得为平面的一个法向量，
则.
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
16．（1）∵，
两式相减可得，，可得，
又∵，
∴也符合．
∴，
∴，
故；
（2）证明：．
前项和，
∵，∴，
∴，∴.
17．（1）依题意可得，解得，
所以的方程为.
（2）
如图，由（1）知的右焦点为，则，
联立消去得，，
设，则，，即，
故，
因为点关于轴的对称点为，所以，
则直线的方程为，
根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上，
令，得
.
当且时，，
所以直线过定点；
当时，显然直线过定点；
综上，直线过定点.
18．（1）当时，，函数的定义域为，
，
令，解得；令，解得或，
故函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，．
（2）当时，，函数的定义域为，
不等式就是不等式（*），
当时，（*）式等价于；
当时，（*）式等价于．
设，，
故在上单调递增，
故当时，，即，
当时，，即．
所以原式成立．
（3）设，令，
既有极大值又有极小值等价于既有极大值又有极小值．
，记．
，
①当时，有，则在上单调递增，
故函数在上至多有1个零点，不合题意；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，且，
故在上没有零点，不合题意；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，，故函数在上没有零点，不合题意；
④当时，在上单调递减，在上单调递增，
且有，，，
（这里用不等式：当时，）
．
下面证明当时，，令，
则，令，则，
所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以当时，，
所以，，
又因为函数的图象分别在区间，上连续，
所以函数在，内各有1个零点，分别记为和，
故、分别为函数的极大值点、极小值点．即既有极大值又有极小值．
综上，当时，既有极大值又有极小值．
19．（1）据题意，获得一份精美布袋概率为，获得两份精美布袋概率为，
则精美布袋个数的可能取值为3，4，5，6
其中，，
，
所以的分布列为
3 4 5 6
（2）因为个团体获赠精美布袋总数为个，则只有1团体获得两份精美布袋，其余个团体获得一份精美布袋；
于是，
则，
所以
两式相减，得
所以