安徽省怀宁县新安中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷（含答案）

新安中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷
试题范围： 高中数学选修一、二、三册 （侧重二、三册）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．平行六面体中，所有棱长均为．则的长为（ ）
A． B． C． D．5
4．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在半径为R的球内放置一圆柱体，使圆柱体的两底面圆周上所有的点都在球面上，当圆柱体的体积最大时，其高为（ ）
A．R B．R C．R D．R
6．2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
7．已知函数满足：，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
0 1 2
8．已知随机变量满足下列分布列，当且不断增大时，
A．增大，增大 B．减小，减小
C．增大，先增大后减小 D．增大，先减小后增大
二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分．则
A． B．
C． D．
10．已知1是函数的一个极值点，则（ ）
A． B．在单调递增
C．1是函数的极大值点 D．的对称中心为
11．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3
C．在C上存在点M，使得 D．在C上存在点N，使得
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ．
13．已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是
14．如图所示：在一个无限延展的平面上，铺满了边长为1的正方形网格，已知某质点从出发，只能沿着网格线走，每次走一格，且每次向右走的概率为，向上走的概率为，向左走的概率为，向下走的概率为，且每一步之间相互独立.若要求质点按最短路径从到达，则可能的不同路径有 条（用数字作答）；设按最短路径从到达的概率记为，则当取得最大值的时候的取值为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）设为数列的前项和．已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
16．（15分）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图．
(1)求抛物线的方程及点M的坐标；
(2)证明：为定值；
17．（2024全国II卷）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
18．（2024全国甲卷）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
19．（17分）中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.小明是一名乒乓球运动爱好者，为提高乒乓球水平，决定在假期针对乒乓球技术的五个基本因素：弧线、力量、速度、旋转和落点进行训练.假设小明每天进行多次分项（将五个因素分别对应五项，一次练一项）训练，为增加趣味性，计划每次（从第二次起）都是从上次未训练的四个项目中等可能地随机选一项训练.
（1）若某天在五个项目中等可能地随机选一项开始训练，求第三次训练的是“弧线”的概率；
（2）若某天仅进行了次训练，五个项目均有训练，且第次训练的是“旋转”，前后训练项不同视为不同的训练顺序，设变量为次训练中“旋转”项训练的次数，求的分布列及期望；
（3）若某天规定第一次训练的是“力量”，从第二次起，后面训练项的选择服从上述计划的安排，设表示第次训练的是“力量”的概率，求的值.
参考答案：
1．D 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C 7．A 8．C
9．BC 10．AD 11．ABD
12．55 13．3 14． 35
15．（1）是首项为，公比为的等比数列．（2）解：由（1）可知，，则，所以，，，.
16．（1），由，故点坐标为：或.
（2）由（1）知：，显然直线的斜率存在，所以设直线方程为：，
由，设，，则，
由抛物线的定义得：，，所以：，即为定值1.
17．（1）,所以，则，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故； （2）连接，由，则，
在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，
所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，由是的中点，得，
所以，
设平面和平面的一个法向量分别为，
则，，
令，得，所以，
所以，设平面和平面所成角为，则，
18．（1）当时，，，故当时，，当时，，在处极小值为无极大值.
（2），设，则，当时，，故在上为增函数，
故，即，所以在上为增函数，故.
当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍；综上，.
19．（1）第一次训练选择“弧线”，且第三次训练的是“弧线”的概率为，第一次训练未选择“弧线”，且第三次训练的是“弧线”的概率为，所以第三次训练的是“弧线”的概率为；
（2）由题意知“旋转”项最多训练次，所以的不同取值为、，
（后五次训练次序列表）
①后五次训练中未练“旋转”：另四项中有一项训练了次，四项中选一项练次，可放、、、、、，共有种；
②“旋转”项练了次：“旋转项”可在、、、位置，故有种.
所以，，.；
（3）由题意，表示第次训练的是“力量”的概率，则第次训练的不是“力量”的概率为，则，，，即，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，，则.