浠水县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B．4 C． D．或4
2．复数，则复数的虚部是（ ）
A． B．2 C． D．1
3．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向
4．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远"的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径R=6371km，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置(人的高度忽略不计)，按每层楼高3m计算，“欲穷千里目”即弧的长度为500km，则需要登上楼的层数约为（ ）（参考数据：，，）
A．5800 B．6000 C．6600 D．7000
8．在中，若，，则的周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．将函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度，然后再向下平移2个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B．函数为奇函数
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
11．如图，△，△，△是全等的等腰直角三角形（，处为直角顶点），且，，，四点共线.若点，，分别是边，，上的动点（包含端点），记，，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，则 ．
13．在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为 ．
14．如图，在中，，，点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知， ，.
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值．
16．（15分）在中，内角、、所对的边分别是，，，且．
(1)求；
(2)已知，，求的面积.
17．（15分）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在上有实根，求实数的取值范围.
18．（17分）已知在平面直角坐标系中，点 点（其中 为常数，且），点为坐标原点．
（1）设点为线段靠近点的三等分点，，求的值；
（2）如图，设点是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含 的式子表示）
（3）若，，求的最小值．
19．（17分）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式.
(1)设复数，，求、的三角形式；
(2)设复数，，其中，求；
(3)在中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
①；
②，，.
注意：使用复数以外的方法证明不给分.浠水县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学试卷答案
1．D【详解】由两向量共线可知，即，解得或.
故选：D.
2．A【详解】由题意可得：，所以复数的虚部是.故选：A.
3．C【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误；对于B，向量不能比较大小，B错误；对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确；对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误.故选：C
4．A【详解】设中点为，则，即，故边为圆的直径，
则，又，则为正三角形，
则有，向量在向量上的投影向量，故选：A
5．A 【详解】由已知得，即（），则.从而.故选：A.
6．A 【详解】解：如图设，，则，则，故选：
7．C【详解】O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置，的长度为km，
令，则，∵，，，
∴，又，所以按每层楼高m计算，需要登上6600层楼.故选：C.
8．A【详解】由可得，
两边同乘得，
两边同加得，
即，又，
则，设角对应的边分别为，由正弦定理得其中，
不妨设，易得当时，取得最大值，此时周长最大值为. 故选：A.
9．BCD【详解】解：设，则，
所以，，则，故A错误；
，，所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为，所以，
而，所以，故D正确
故选：BCD
10．BD【详解】函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，可得，再向右平移个单位长度，可得，
然后再向下平移2个单位长度，可得，故A错误；，因为，所以函数为奇函数，故B正确；因为，所以点不是函数的对称中心，故C错误；
因为，所以的图象关于直线对称，故D正确. 故选：BD.
11．BCD【详解】构建下图示的平面直角坐标系，
∴，，，，，，∴，，，由在，若且，由在，若且，由在，若且，∴，，，∴，，，故A错误，B、C、D正确.故选：BCD
12．【详解】，所以，，所以 ，故答案为：.
13． 【详解】由题知 ，则
，当且仅当时取等号. ，而， . 故答案为：
14．【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示直角坐标系，
设，，，设，，，
，，，，，，
，，，即，解得，
，因为为中点，，设，，，, ,，所以当时，即，故答案为：.
15．【详解】（1），由，得，所以.
（2）因为，，所以，.令向量与的夹角为θ，则，即向量与夹角的余弦值是.
16．【详解】（1）方法1：，由正弦定理：可得；而，故；又，
，，且，，
，.
方法2：，由正弦定理：，可得；即；
其中，，即；
，，.
（2）方法1：由正弦定理：，由余弦定理：，故；解得
由（1）可知，，.
方法2：，，，得，，，，，即，等边三角形，.
17．【详解】（1）由图知，，∴，又∵，∴，解得.
又由图知函数经过点，∴，∵，∴，∴.
（2）∵，，∴，∴.∵，∴，∴，
∴，∴，即实数的取值范围为.
18．【详解】（1）因为,
而点为线段上靠近点的三等分点，所以，所以，所以.
（2）由题意得，，所以，
事实上，对任意正整数，，且，有，
，所以，所以，
（3）当时，线段上存在一点，使得，，且存在点，，则，，所以，即线段上存在一点，到点和点的距离之和，
如图所示：
作点关于线段的对称点，则最小值为.
19．【详解】（1）
,
；
（2）设，的模为，的模为，，
对于有，，
对于有，，
所以，
所以，
，故,即的角的终边在轴上，
又，所以，即
（3）如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点作的平行线，过作的平行线，交于点，则，所以，即，即根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得，所以，，同理，，，，所以，，，.
