湖北省2024年春季高二期末考试
数学
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将答题卡上交
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1.集合A=1xx2-3x-4≤01，集合B={y1y=√4-x1,则AnB=(
)
A.[-1,2]
B.[-4,1]
C.[0,1]
D.[0,2]
2.已知函数y=f(x)的导函数f(x)图象如图所示，则函数y=
(x)的极大值点有()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
3.已知函数fx)在[a,b]的图象是连续不断的，则“f(a)·f(b)<0”是“f(x)在(a,b)
上有零点”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.等比数列1a的前n项积为T.,T,=512,则a+a,的最小值是(
A.2
B.2√2
C.4
D.42
5.空间向量a=(1,0,1)在b=(0,1,1)上的投影向量为(
A(0,2）
B(竖o)
co,2)
D.0)
新高考联考协作体高二数学试卷第1页（共4页）
6设P为椭圆号+号-1上一确点R、分别为据圆的左右焦点，已知点1少.则
PFI+1PD1的最小值为()
A.2
B.3
C.4
D.5
7.从数字0,12、34中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有(
A.52个
B.64个
C.66个
D.70个
8.已知5>e,a=3,b=5,c=e,则abc的大小关系是(
A.a
B.aC.bD.c二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.下列说法中正确的是(
)
A.若随机变量X~B(10,号)，则D(3X-1)=20
B.若随机变量X~N(4,σ)，当以不变时，σ越小，该正态分布对应的正态密度曲线
越矮胖
C.回归分析中，样本决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好
D.在独立性检验中，当X≥X,(X。为α的临界值)时，推断零假设H。不成立
10.定义在R上的非常数函数f(x)的导函数为F(x),若f(x+2)为偶函数且f(x)+
八x+2)=3.则下列说法中一定正确的是()
A.f(x)的图象关于直线x=2对称
B.6是函数f(x)的一个周期
c)=号
D.f(x)的图象关于直线x=3对称
11.已知不等式lx≤x-1对任意x>0恒成立，则下列不等式中一定成立的是(
Am≥1-}
B.C2 C
C
36+6+…+1
1
c.1+7++2a>lh2025
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.某中学举办女子排球赛，高二年级A班与B班进行比赛，每局比赛A班获胜概率为
号，每场比赛结果相互独立，若比赛采用三局两胜制（先案两局者获鞋）.，侧A班获
胜的概率是
13.已知函数x)=1以-ax在[2，号]上单调递增，则实数a的取值范围是
14,过点(0，)有且只有一条直线与曲线y=二相切，则实数：的取值范围是
新高考联考协作体高二数学试卷第2页（共4页）高二数学试卷参考答案与评分细则
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1. D 2. C 3. A 4. C
5. C 6. B 7. D 8. B
1【解析】 A [ 1,4]，B [0,2]，所以 A B [0,2]，故选 D.
2【解析】由极大值点的定义结合导函数图像可知个数为 2个，故选 C.
3【解析】若 f (a) f (b) 0，由零点存在性定理知 f (x)在 a,b 上有零点，充分性满足；取 f (x) x2 1，
x [ 2,2]，必要性不满足，故选 A.
a
4 9【解析】由等比数列的性质可知T9 a5 512，所以 a 55 2，所以 a3 a7 2 a q
2
5 2a5 4，故选 C.q
a b 1 1 1
5【解析】由投影向量的定义和公式可知 a在b的投影向量为 2 b (0,1,1) (0, , )，故选 C.
b 2 2 2
6【解析】易知D在椭圆内部，所以 | PF1 | | PD | 4 | PF2 | | PD |，由几何关系可知 | PF2 | | PD | [ 1,1]，
所以最小值为 3，故选 B.
7 3 2【解析】当首位大于 2时有 2A4 48种；当首位为 2，第二位非 0时有3A3 18种；当首位为 2，第二位为 0
时有 2A12 4种；综上，总共有 48+18+4=70种，故选 D.
8【解析】对于 a、b，同时 12 4次方可得3 与53 34 53 e，易知 ，所以 a b；对于b、c，同时 4e次方可得5 与
e4 52e 55 e8 5e e4 b c a c ln3 1 ln3 1，由题干可知 ，所以 ，即 ；对于 、 ，同时取对数可得 与 ，易知 ，
3 e 3 e
所以 a c，综上可得 a c b，故选 B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的
得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. ACD 10. ACD 11. ABC
说明：多选题有错选得 0分，第 9、10、11题选对一个答案给 2分，选对两个答案给 4分，选对 3个答案给 6分.
9【解析】对于选项 A，由方差的运算性质可知D(3X 1) 9D(X ) 9 10 1 2 20，故 A正确；
3 3
1 (x )
2
2
对于选项 B，由正态密度函数 f (x) e 2 可知，当 不变时， 越小，函数值越大，该正态分布对
2
应的正态密度曲线越瘦高；由决定系数和卡方独立性检验的定义和规则易知选项 CD正确.故选 ACD.
10【解析】对于选项 A：因为 f (x 2)是偶函数，所以 f ( x 2) f (x 2)，即 f (x)的图象关于直线 x 2对
称，所以选项 A正确；对于选项 B：由 f (x) f (x 2) 3得 f (x 2) f (x 4) 3，所以 f (x) f (x 4)，
即 4是函数 f (x)的一个周期，若 6也为函数 f (x)的一个周期，则 2为函数 f (x)的一个周期，那么
f (x) f (x 2) 3 2 f (x)，即 f (x) 3 为常数函数，不合题意，所以选项 B错误；对于选项 C：由 A可知
2
新高考联考协作体 高二数学答案 第 1 页（共 6 页）
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f (1) f (3)，对于 f (x) f (x 2) 3可令 x 1 f (1) 3得 f (3) 3，所以 f (1) ，所以选项 C正确；
2
对于选项 D：由 A可得 f ( x 2) f (x 2) '，求导可得 f (2 x) f '(2 x) 0 f '即 (x) f '(4 x) 0，对
于 f (x) f (x 2) 3 ' ' ' ' '求导可得 f (x) f (x 2) 0，所以 f (4 x) f (x 2)，即函数 f (x)的图像关于直
线 x 3对称，所以选项 D正确；故选 ACD.
1 1 1 1
11【解析】对于选项 A，将 x等量替换为 ，则 ln 1，所以 ln x 1 ，所以 A 正确；对于选项 B，
x x x x
C 0 1 66 C6 C
6 5
6
0 (1
1 1 1 1
)6 ，因为 ln(1 ) (1 )n，所以 e ，所以 B 正确；对于选项 C，因为
6 6 6 6 n n n
1 1 2024 1 2024ln(1 ) ln(n 1) ln 2025 n 1 ，所以 ，所以 C 正确；对于选项 D，由 A 令 x 得n n n 1 n n 1 n n
n 1 n 1 2024 1 2024ln( ) 1 ln n 1 ，即 ln 2025，所以 D错误；故选 ABC.n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
44 ( 1 412. 13. , ] [3, ) 14. ( , ) {0}
125 2 e2
2 2 3 2 44
12 2 1【解析】 p ( ) C
5 2
.
5 5 5 125
13【解析】 x [1 , 3]，当 a 0 f (x) x2时， ax 1在 [ , 3]上单调递增； x [0, ) ，当 a 0 时，
2 2 2 2
x2 ax,0 x af (x) 3 a 1 1 ，利用二次函数对称性可得 或 a 即 a 3或0 a .综上所述，a的取
2 x ax , x a 2 2 2 2
( , 1值范围是 ] [3, ) .
2
x
14【解析】设直线与曲线 y x 的切点为 (x1, y ) y
x1 1 x
1 ，则切线方程为
1 (x x )，则过 (0, t)的切线需
e e x1 e x1 1
x2 2
满足： t 1 xx .令 f (x) f
'
x ，则 (x)
x(2 x)
e 1 e e x
，所以 f (x)在 ( ,0)和 (2, )单调递减，在 (0,2)单调递
4
增，且当 x 时， f (x) ，当 x 时， f (x) 0，而 f (0) 0，所以 t ( , ) {0} .
e2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15.解：
1 n（ ）展开式所有项的二项式系数和为 2 512，所以 n 9，·······································3分
令 f (x) (1 2x)9 ，则所有项系数和为 a0 a
9
1 a10 f (1) (1 2) 1；······················6分
b b C k 2k C k 1 2k 1n
（2）由题意得 an C9 ( 2)
n b | a | C n 2n k k 1 9 9，不妨令 n n 9 ，则 ，即 ，化简可得
bk b
k k k 1 k 1k 1 C9 2 C9 2
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10 k
2 1 k 17 20
解得 k ，因为 k N，所以 k 6········································10分
1 9 k 2 3 3 k 1
C 6 ( 2x)6 6所以展开式中系数绝对值最大的项是第七项： 9 5376x .································13分
【备注】若最终式子均正确且结果算错，扣 1分.
16.解：
（1）因为 11.8， 3.2， 15，
1 P( x )
所以旅游费用支出不低于 1500 元的概率为 P(x ) 0.15865，········4 分
2
所以500 0.15865 79.325，
估计 2023年有 79.325 万的游客在本市的年旅游费用支出不低于 1500 元.······························7 分
（2）假设H 0 :“客户星级”与“客户来源”独立，没有关联
客户星级
游客来源 合计
三星客户 一星客户
当地游客 200 400 600
····················10 分
外地游客 100 300 400
合计 300 700 1000
2 100（0 200 300 100 400）
2
7.937 6.635，···········································13 分
400 600 300 700
根据小概率值 0.01的独立性检验，H 0不成立，
即“客户星级”与“客户来源”有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.01.···························15 分
【备注】根据评分细则酌情扣分.
17.解：
a 1 a x2f '(x) 1 ax a 1 (x 1)[x (a 1)]（1） ， x 1， x a 1，·················2分
x2 x x2 x2 1 2
①当 a 1 0即 a 1时，易知 f (x)在 (0,1)单调递减，在 (1, )单调递增；······················3分
②当 a 1 1即 a 2 '时， f (x) 0，则 f (x)在 (0, )单调递增；·····························4分
③当0 a 1 1即1 a 2时，易知 f (x)在 (0,a 1)和 (1, )单调递增，在 (a 1,1)单调递减；···5分
④当 a 1 1即 a 2时，易知 f (x)在 (0,1)和 (a 1, )单调递增，在 (1,a 1)单调递减；·········6分
综上所述：
新高考联考协作体 高二数学答案 第 3 页（共 6 页）
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当 a 1时， f (x)在 (0,1)单调递减，在 (1, )单调递增；
当 a 2时， f (x)在 (0, )单调递增；
当1 a 2时， f (x)在 (0,a 1)和 (1, )单调递增，在 (a 1,1)单调递减；
当 a 2时， f (x)在 (0,1)和 (a 1, )单调递增，在 (1,a 1)单调递减；·························8分
（2）由（1）可知，只有当1 a 2和 a 2时， f (x)才有极大值，
①当 a 2时， f极大值 f (1) 2 a 3，解得 a 5；······································10 分
②当1 a 2时， f极大值 f (a 1) a 2 a ln(a 1)，
令 g(a) a a 1 2 a ln(a 1) g '，则 (a) 1 ln(a 1) ln(a 1) ，
a 1 a 1
g ''(a) 1 1 2 a 2 0
'
，所以 g (a)在 (1,2)单调递增，
a 1 (a 1) (a 1)2
g '(a) g '所以 (2) 1 0，所以 g(a)在 (1,2)单调递减，
即 g(a) g(2) 0，所以 g(a) 3在 (1,2)无解，故不存在符合题意的a；······················14分
综上所述：a 5·········································································15分
【备注】没有“综上所述”扣 1分，过程不规范酌情扣分.
18.解：
记事件 Ai：学生通过第 i轮，事件 Bi：学生通过第 i轮就选择奖品离开，事件Ci ：学生通过第 i轮且继续答题，
（ i 1,2,3） .由题意得 P(A1)
1
， P(B 11 | A1) ， P(C | A )
2 P(A |C 1 1 ，
2 3 1 1 3 2 1
) ， P(B
2 2
| A2 ) ，2
P(C | A ) 1 P(A |C ) 12 2 ，2 3 2
.
2
（1）记事件 B：学生获得奖品. 则 B B1 B2 B3，
P(B1) P(A1B1) P(A1)P(B | A
1 1 1
1 1) ···················································1分2 3 6
P(B2 ) P(A1)P(C1 | A1)P(A2 |C1)P(B2 |C
1 2 1 1 1
2 ) ··································2分2 3 2 2 12
P(B3) P(A
1 2 1 1 1 1
1)P(C1 | A1)P(A2 |C2 )P(C2 | A2 )P(A3 |C2 ) ·····················4分2 3 2 2 2 24
P(B) P(B ) P(B 1 1 1 7 1 2 ) P(B3) ···············································6分6 12 24 24
1 1
P((B B ) | B) P(B B) P(B B) P(B ) P(B )
3
（2） 2 3
2 3 2 3 12 247 ；························9分P(B) P(B) 7
24
（3） X 可取0, 1, 2, 3，P(X 0) P(A1)
1
················································10分
2
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P(X 1) P(A1B1 C1A2 ) P(A1B1) P(C1A2 )
P(A1)P(B1 | A1) P(A1)P(C1 | A1)P(A2 |C1)··········································12分
1 1 1 2 1 1
2 3 2 3 2 3
P(X 3) P(A1)P(C1 | A1)P(A2 |C1)P(C2 | A2 )P(A3 |C2 )
1 2 1 1 1 1 ·······································13分
2 3 2 2 2 24
P(X 2) 1 P(X 0) P(X 1) P(X 3) 1 1 1 1 1 ······························15分
2 3 24 8
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 1 1 1 1
2 3 8 24
E(X ) 1 1 1 1 17 0 1 2 3 .······················································17分
2 3 8 24 24
【备注】解答没有用字母表示，只用数字计算，若结果正确不扣分，过程酌情扣分.
19.解：
（1）证明：因为 f (x)在[ 1,1]单调递增， xi，x j [ 1,1]且 xi x j ，则 | f (x j ) f (xi ) | f (x j ) f (xi )，
n n
所以 | f (xi ) f (xi 1) | [ f (xi ) f (xi 1)] f (xn ) f (x0 ) f (1) f ( 1)，
i 1 i 1
n
取M f (1) f ( 1)，即可得 | f (xi ) f (xi 1) | M ，所以 f (x)是[ 1,1]上的有界变差函数·········4分
i 1
（2） xi、x j [ 1,1]，且 xi x j ，则 | f (x j ) f (xi ) | | (x j xi )(x j xi ) | 2 | x j xi | 2(x j xi )，
n n n
所以 | f (xi ) f (xi 1) | 2 (xi xi 1) 2[1 ( 1)] 4，取M 4，即可得 | f (xi ) f (xi 1) | M ，
i 1 i 1 i 1
2
所以 f (x) x 是定义在[ 1,1]上的有界变差函数··················································9分
（3）取 x 1i ， i 1, ,n，其中 x0 0
1 n i 1 1
，则 f (xi ) cos(n i 1) ( 1) ，n i 1 n i 1 n i 1
所以当 i 2时， | f (xi ) f (xi 1) | | ( 1)
n i 1 1 ( 1)n i 2 1 | 1 1 ，
n i 1 n i 2 n i 1 n i 2
n n
| f (x ) f (x ) | | f (x ) f (0) | ( 1 1 1
n 1 1 n 1
i i 1 1 ) ( ) 2 1·········13分
i 1 i 2 n i 1 n i 2 n i 2 i 1 i i 1 i
n 1
下证 2 1无界：
i 1 i
h(x) x ln x x 1令 1， h ' (x) ， h(x)在 (0,1)单调递减，在 (1, )单调递增，所以 h(x) h(1) 0，
x
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x 1 n 1 n 1 1
n 1 n i 1
即 ln x，取 x ，即可得 ln ，所以 2 2 ln 2ln(n 1)，n n n i 1 i i 1 i
n 1 n
那么 2 1 2ln(n 1) 1，易知当 n 时， 2ln(n 1 1) 1 ，所以 2 1无界·········16分
i 1 i i 1 i
n
所以不存在常数M 0使得 | f (xi ) f (xi 1) | M ，因此 f (x)在[0,1]不是有界变差函数.···········17分
i 1
【备注】解答过程根据评分细则酌情扣分.
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