赣州市 2023～2024 学年度第二学期期末考试
高二数学参考答案
2024年 7月
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B C B A C C
二、多选题
题号 9 10 11
答案 BC ABD ACD
三、填空题
2 202412． 13． 14．1350
2025
四、解答题
15．解：(1)因为函数 f (x) ax3 bx2 的图象过点P( 1,2)，
所以 a b 2 ①…………………………………………2 分
又因为 f (x) 3ax 2 2bx，
且 f (x)在点P处的切线恰好与直线3x y 4 0平行，
所以 f ( 1) 3a 2b 3 ②……………………………………………4分
联立①②，解得 a 1,b 3………………………………………………………5 分
所以 f (x) x3 3x2 ………………………………………………………………6 分
(2) 由(1)知 f (x) 3x2 6x 3x(x 2) ………………………………………………7分
令 f (x) 0，即3x(x 2) 0，解得 x< 2或 x 0……………………………8分
令 f (x) 0，即3x(x 2) 0，解得 2 x 0…………………………………9分
所以 f (x)在 ( 4, 2)单调递增，( 2,0)单调递减，(0,1)单调递增……………10分
又 f ( 4) 16， f ( 2) 4， f (0) 0， f (1) 4……………………………12 分
所以 f (x)在[ 4,1]上的最大值为 4，最小值为 16……………………………13 分
16．解：(1)∵设 an 的公差设为 d ( d 0 )，由题意可得：
a1 3d 5 ,
…………………………………………………………2 分
a
2
1(a1 6d ) (a1 2d )
解得： a1 2 ,d 1…………………………………………………………………3分
{#{QQABBYAEogiAAJBAAAgCEQXYCkCQkBEACagGQEAMsAIAQBFABAA=}#}
∴数列 an 通项公式为： an a1 n 1 d n 1………………………………4分
∵ Sn 2bn 2 ①
∴b1 S1 2b1 2，解得b1 2……………………………………………………5分
又 Sn 1 2bn 1 2 n≥2 ②
由① ②得：bn 2bn 2bn 1即 bn 2bn 1 n≥2 ………………………………7 分
∴数列 bn 是以b1 2为首项，公比为 q 2的等比数列，
∴数列 b 通项公式为： b b qn 1 nn n 1 2 ………………………………………8 分
(2) 由(1)可得 c a b n 1 2nn n n ……………………………………………………9分
∴数列 cn 的前n项和Tn为，
Tn 2 2
1 3 22 4 22 n 2 n 1 n 1 2 n ①………………………10 分
2T 2 22 3 23n 4 2
3 n 2 n n 1 2 n 1 ②………………………11分
由① ②得 T 4 22 23 2nn n 1 2n 1 ……………………………13 分
22 2n 2
即 Tn 4 (n 1) 2
n 1 n 2n 1…………………………………14 分
1 2
所以T n 2n 1n ……………………………………………………………………15 分
17．解：(1)因为函数 f x 为二次函数，设 f x ax2 bx c a 0 ，
1 3
由① f x f x (或②函数 f x 1 为偶函数)得函数的对称轴为
2 2
x 1…………………………………………………………………………………1 分
若选①(或②)，由题意可得：
a b c 0 ,
b
1, ……………………………………………………………………4分
2a
16a 4b c 5
解得：a 1,b 2 ,c 3…………………………………………………………5分
若选③，由题意可得：
a b c 0 ,
16a 4b c 5 ,…………………………………………………………………4 分
4a 2b c 3
{#{QQABBYAEogiAAJBAAAgCEQXYCkCQkBEACagGQEAMsAIAQBFABAA=}#}
解得：a 1,b 2 ,c 3…………………………………………………………5分
∴ f x x2 2x 3………………………………………………………………6 分
2
(2) 由 g x log2 (x 2 3) log2 (x 1) log
x 3
2 …………………………………7分x 1
2
令 t x x 3 ，则有：
x 1
2
t x x 3 4 (x 1) 2，
x 1 x 1
易知 t x 在 ( 1,2]上的最小值 t x t 1 2……………………………8 分min
∴ g x 在 ( 1,2]上的最小值 g x g 1 1………………………………9 分min
∵对任意的 x1 1,2 ，总存在 x2 ( 1,2]，使得 g x2 ≤ f (x1) mx1成立；
∴对任意的 x1 1,2 有1≤ x21 2x1 3 mx1 成立……………………………11 分
2 m x 4 4∴ ≤ 1 ，易知m(x1) x1 在 1,2 上为增函数…………………13 分x1 x1
∴m x 在 1,2 上的最小值为m x m 1 3……………………………14分min
∴m的取值范围是[5 , )………………………………………………………15 分
另：∵对任意的 x1 1,2 有1≤ x21 2x1 3 mx1 成立，
即 x21 (m 2)x1 4≥0对任意的 x1 1,2 恒成立，
t(x) x2 (m 2)令 (m 2)x 4 ，则图像开口向上，对称轴为 x ，
2
(m 2)
① 当 ≥ 2，即m≤ 2时， t(x)在 1,2 上单调递减，
2
t(x)min t(2) 2
2 (m 2) 2 4 2m 4≥0 ，即m≥ 2
∴m无解……………………………………………………………………………13 分
1 (m 2)② 当 ≤ 2，即 2 m≤0时，
2
t(x) 在 1
m 2
m 2
, 上单调递减，在 ,2 上单调递增， 2 2
t(x) t( m 2) ( m 2) 2 (m 2) ( m 2) 4 （m 2)
2
min 4 ≥0 ，2 2 2 4
解得 2≤m≤ 6，
{#{QQABBYAEogiAAJBAAAgCEQXYCkCQkBEACagGQEAMsAIAQBFABAA=}#}
∴m无解……………………………………………………………………………14 分
(m 2)
③ 当 1，即m 0时，
2
t(x)在 1,2 上单调递增，t(x)min t(1) 12 (m 2) 1 4 m 5≥0 ，即m≥5，
∴m≥5，
综上所述，m的取值范围是[5 , )……………………………………………15 分
注：求导的方法正确也可以给满分．
18．解：(1)定义域为 0, ，
∵ f x ln x 1 2ax ∴ g x ln x 1 2ax………………………………1 分
∵ g x 1 1 2ax 2a …………………………………………………………2分
x x
当 a≤0时， g (x) 0恒成立， g(x)在 0, 单调递增………………………3分
1
当 a 0时，令 g (x) 0，则1 2ax 0，解得 x ，
2a
令 g (x) 0，则1 2ax 1 0，解得 x ，
2a
g(x) 1 1∴ 在 0 , 单调递增，在 ,
单调递减
2a 2a
综上所述：当 a≤0时， g(x)在 0 , 单调递增；
当 a 0时， g(x) 0 1 1在 , 单调递增，在 ,
单调递减………………5分
2a 2a
(2) ①方法一：由(1)知，a≤0时，∵ f x 0最多一个根，不符合题意，故 a 0，
∵函数 f (x)有两个极值点 x1 ,x2 (x1 x2 )，
∴ g x 0在 (0, 1 1 ) 有两个不同零点的必要条件是 g ln 0，
2a 2a
解得 0 a 1 ………………………………………………………………………6 分
2
当0 a 1 g(x) (0, 1 ) ( 1 ， 在 单调递增，在 , )单调递减…………………7分
2 2a 2a
g 1 1 1 2a ln 0
， g
2a 2a
0， x ,g (x) ………………8 分
e e
{#{QQABBYAEogiAAJBAAAgCEQXYCkCQkBEACagGQEAMsAIAQBFABAA=}#}
∴由零点存在性定理得： f (x) 1 1 1 在 , ， , 各有 1个零点．
e 2a 2a
1
∴ a的取值范围是 0 , …………………………………………………………9 分
2
方法二：∵函数 f (x)有两个极值点 x1 ,x2 (x1 x2 )，
∴ f x ln x 1 2ax 0在 0 , 有两个不同实根．
即 a ln x 1 在 0 , 有两个不同实根，
2x
h(x) ln x 1令 ，
2x
则两图象 y h(x)和 y a在 0 , 有两个不同的交点．
1
2x 2(ln x 1)
h (x) x 2ln x ln x∵ ……………………………………6分
4x2 4x2 2x2
令 h (x) 0，解得 0 x 1，令 h (x) 0，解得 x 1…………………………7 分
∴ h(x)在 (0,1)单调递增，在 (1, )单调递减……………………………………8分
∴ h(x) 1max h(1) ，2
a 0 1 ∴ 的取值范围是 , …………………………………………………………9 分
2
②法一：∵函数 f (x)有两个极值点 x1 ,x2 (x1 x2 )，
∴ ln x1 1 2ax1 0 ①
ln x2 1 2ax2 0 ②………………………………………………………10 分
a ln x ln x① ②得： 1 2 ………………………………………………………12 分
2(x1 x2 )
1 2(x x )
要证 x1 x2 ，即证 x x 1 21 2 ……………………………………13 分a ln x1 ln x2
即证 ln x ln x 2(x1 x2 ) x1 2 ，令 t 1 (0 t 1)，x1 x2 x2
t 1 2
令 R(t) ln t 2(t 1) 1 4 ，则 R (t) 2 2 0…………………16 分t 1 t t 1 t t 1
∴ y R(t)在 0 ,1 上单调递增，∴R(t)max R(1) 0，
{#{QQABBYAEogiAAJBAAAgCEQXYCkCQkBEACagGQEAMsAIAQBFABAA=}#}
∴ x1 x
1
2 ，得证………………………………………………………………17 分a
法二：∵函数 f (x)有两个极值点 x1 ,x2 (x1 x2 )，
∴ g(x1) g(x2 ) 0………………………………………………………………10 分
1 1 1 1
由(1)知 x1 x2 ，要证 x1 x2 ，只需证 x1 x2 ，2a a 2a a
g(x ) g(x ) g( 1即证 2 1 x2 ) ……………………………………………………12分a
令 h(x) g(x) g( 1 x) ln x 2ax ln( 1 x) 2a( 1 x), 1 x 1
a a a a 2a
1 2a( 1 x)
∵ h (x) g (x) g ( 1 x) 1 2ax a
a x 1 x
a
1 2ax a 2ax 1 (2ax 1)2 1 0 …………………………………14 分
x 1 ax (1 ax)x
∴ y h(x) 1 1 在 , 单调递增…………………………………………………15分
2a a
∴ h(x) 1min h( )
1
g( ) g( 1 1 ) 0 ，∴ g(x2 )
1
g( x2 ) …………16 分2a 2a a 2a a
1
∴ x1 x2 ，得证………………………………………………………………17分a
注：用对称化构造函数利用单调性求解或对数均值不等式也可给满分．
19．解：(1)第三次得到数列1,6 ,5 ,9 ,4 ,11,7 ,10 ,3，则 a3 56…………………2分
(2)设第n次构造后得的数列为1,x1 ,x2 , ,xk ,3，则 an 4 x1 x2 xk ，
根据题意可得第 n 1次构造后得到的数列为：
1,1 x1 ,x1 ,x1 x2 ,x2 , ,xk 1 xk ,xk ,3 xk ,3，
所以 an 1 8 3 x1 x2 xk 8 3 an 4 3an 4 ，
即 an 1与an 满足的关系式为an 1 3an 4…………………………………………5分
由 an 1 3an 4，可得 an 1 2 3 an 2 ………………………………………7 分
且 a1 8， a1 2 6，
所以数列 an 2 是以 6为首项，3 为公比的等比数列…………………………9 分
所以 a 2 6 3n 1n ，即 an 2 3
n 2…………………………………………10 分
{#{QQABBYAEogiAAJBAAAgCEQXYCkCQkBEACagGQEAMsAIAQBFABAA=}#}
1 1 1 1 1
(3) 由(2)得 n n …………………………………………………12 分an 2 3 1 2 3
所以当 n 1 1 1 5， …………………………………………………………13分
a1 8 24
当 n≥ 2时，
1 1 1 1 1 1 ( 1 1 1 1 )…………………………14 分
a1 a2 a3 an 8 2 3
2 33 34 3n
1 1 1
1 1 n 1 5 1 1 5
9 3
8 2 1
n 1 ………………………………………16 分
1 24 12 3 24
3
1 1 1 1 5
综上述： ……………………………………………17 分
a1 a2 a3 an 24
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高二数学试卷
2024年7月
一、
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，
1.已知集合A={x<1号，B={2-3x<0,则AnB=
A.{xoc.{xx<1或x>3}D.{x<3
2.已知命题p:x>0,e≥x+1,则P为
A.x≤0，c"B.x>0,cC.3x≤0，cD.3r>0,e3.正项等比数列{an}中，a24446=27,则1og,4+log,a,=
A.1
B.2
c.3
D.4
4.己知函数∫(x)的定义域为R且导函数为(x),函数y=(x)的图像如图，则下列说法正
确的是
A.函数f()的增区间是(-2,0)，(2，+0)
B.函数f()的减区间是(”，-2)，(2，+∞)
C.x=-2是函数的极大值点
第4题
D.x=2是函数的极大值点
5.“m≤1”是“函数∫(x)=1og(x2-mx-1)在(1，+∞)单调递增”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要尔件
D.既不充分也不必要条件
6.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数tah
是比较常用的一种，其解折式为anh()=二c
。+心二关于函数anh(),下列结论错误的是
A.anh(x)≤-J有解
B.tanh(x)是奇函数
C.tanh(x)不是周期函数
D.tanh(x)是单调递增函数
赣州市期宋考试高二数学试卷第1页（共4页）
题是函数/-2h图像上的劲点。B1直线x+y+2=0上的动点，则4B两点间
距离A间的最小值为
A.4W2
B.4
C.2W2
D.5
8.设等差数列{@，}的前n项和为，公差为d<0,2<-l,则下列结论正确的是
A.a,+a,+a:<0
B.使得Sn<0成立的最小自然数n是20
c吾
D.
SaLSm
01a22
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分
以光海
9.已知a,beR,且a>b,则下列不等式一定成立的是
A.
B.a+c>b+c
C.
10.i
知正数a,b满足4a+b+ab=5,则下列结论正确的是
A.ab的最大值为1
B.4a+b的最小值为4
元水3
0
C.16a2+b2的最小值为9
D.
1+二的最小值为
a+l b
1山.记方程x0=1的实数解为R（2是无理数)，被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列
有关？的结论正确的是
A.ln2+2-0
2.n)
C.22+22-1>0
D.
函数f问=e_1+的最小值为f)
赣州市期宋考试高二数学试卷第2页（兆4页）
