2023-2024 学年第二学期高一数学期末调研考试
参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1.A. 2. D 3.C 4．B 5.D 6.B 7.C 8.C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。（部分选对中如有
三个正确选项，选对一个得 2 分，选对两个得 4 分；如有两个正确选项，选对一个得 3
分.）
9.ACD 10.BD 11.ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12. 13．225 2 14.2082
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.解：
（1） （0.002+0.003+0.006+a+0.018+0.008+0.004）×20=1 …………………1分
即 0.041+a=0.05
a=0.009 ……………………………………………………………2分
由图可知，学习时长在 170 分钟以下的团员所占比例为：
（0.002+0.003+0.006+0.009）×20=0.4=40% ……………………………………3分
学习时长在 190 分钟以下的团员所占的比例为：0.4+0.018×20=0.76=76% ……4分
170，190
因此，67%分位数一定位于 内，
0.67 0.40
法 1：由170 20 185
0.76 0.40
法 2：设样本数据的 67%分位数约为x,则（x-170）×0.018=0.67-0.40，解得x=185
可以估计学习时长的样本数据的 67%分位数约为 185. ……………………………8分
150，170（2）由图可知，学习时长位于 内的团员共有1000 0.009 20 180人，…10 分
因为采用的是比例分配的分层随机抽样方法，从 1000 人中再抽取 50 人参加座谈
50
150，170 180 9人
所以参加座谈的团员中学习时长在区间 内有1000 .……………13 分
16. 解：
(1)证明：连接 AD1 ,
1
{#{QQABDYIEogigQJBAAQgCAQEoCAIQkBCACQgGBAAEsAAAQRNABAA=}#}
ABCD A1B1C1D1 为长方体， AB 平面ADD1A1 …………1分
A1D 平面ADD1A , AB A1D …………………………………………………2分
又 点 E在棱 AB上移动， A1D AE …………………………………………………3分
AD AA1 1， 四边形 ADD1A1为正方形， A1D AD1 ………………………4分
又 AD1 D1E D1且AD1 面AD1E ,D1E 面AD1E
A1D 面AD1E ………………………………………6分
又 AE 面AD1E
A1D AE
………………………………………………………………………………………………7分
(2) 解： AE 1 AB, AE 1,BE 1 ………………………………………………8分
2
连接 DE,计算得DE 2, EC 2 ，DC= 2 ，由勾股定理逆定理得DE CE , ………10 分
法 1： D1D 面ABCD且CE 面ABCD D1D CE，
又 D1D 面D1DE，DE 面D1DE，D1D DE D CE 面D1DE , CE D1E
法 2：
D1D 面ABCD且DE 面ABCD D1D DE D1E 3
又 EC 2,D1C 5
EC2 D E2 5 DC21 1 D1E EC
D1ED为二面角D1 EC D的平面角 …………………………………………13 分
由题可知D1D DE ,所以在直角三角形D1DE中，
DE 2 ,D1D 1, tan 2 D ED= …………………………………………………15 分1 2
17. 解：
（1）用数字 m表示第一次抛掷骰子出现的点数是 m，数字 n表示第一次抛掷骰子出现的点数
是 n，则数组 m,n 表示这个试验的一个样本点。因此该试验的样本空间
= m,n m,n 1,2,3,4,5,6
其中共有 36 个样本点. ………………………2分
记“两次点数之和为 6”为事件 A,
则 A={（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3）}，即 n(A)=5 ………………………3分
2
{#{QQABDYIEogigQJBAAQgCAQEoCAIQkBCACQgGBAAEsAAAQRNABAA=}#}
记“两次点数之和能被 4整除”为事件 B,
则 B={（1,3），（3,1），（2,2），（2,6），（6,2），（3,5），（5,3），（4,4），（6,6）}，
即 n(B)=9 ………………………4分
连续掷骰子两次的基本事件总数为 36.
5
所以由乙先发球的概率为 ， ………………………5分
36
1
由丙先发球的概率为 4 ， ………………………6分
这个方法不公平. …………………………………………………………7分
（2）法 1:用树状图列举每局当裁判的可能一共 8种。
………………10 分
其中甲当两局裁判的可能为 6种. ………………………………………………13 分
6 = 3
所以在四局比赛中甲当 2局裁判的概率为 8 4 . ………………………………15 分
法 2：因为前三局各局比赛的胜负决定着这四局谁当裁判，所以只需要考虑前三局比赛各局
的胜负情况即可。样本空间 ={(乙胜，乙胜，乙胜),(乙胜，乙胜，丙胜),(乙胜，甲胜，甲
胜),(乙胜，甲胜，丙胜},(丙胜，丙胜，丙胜),(丙胜，丙胜，乙胜),(丙胜，甲胜，甲胜),(丙
胜，甲胜，乙胜)},一共有 8个样本点，且每个样本点是等可能发生的. ……………10 分
记“四局比赛中甲当两局裁判”为事件 A，
因为 A={(乙胜，乙胜，乙胜),(乙胜，乙胜，丙胜),(乙胜，甲胜，丙胜},(丙胜，丙胜，丙
胜),(丙胜，丙胜，乙胜),(丙胜，甲胜，乙胜)}，所以 n（A）=6， ………………13 分
从而
P(A) n(A) 6 3
n( ) 8 4 ………………15 分
3
{#{QQABDYIEogigQJBAAQgCAQEoCAIQkBCACQgGBAAEsAAAQRNABAA=}#}
18.解： (1)连接AC和BD,相交于点E,
取SC的中点，记为点P，连接EP ,DP , BP ，则DP,BP即为所画的线，……………………1分
理由如下：
四边形ABCD为平行四边形
点E为AC的中点
……………………………………………………………2分
又 点P为SC的中点
PE为三角形SAC的中位线
PE / /SA ……………………………………………………3分
又 PE 面PBD且SA 面PBD
SA / /面PBD
……………………………………………………………4分
(2) AB 4, AD BC 2, BAD 60
BD 2 AB 2 AD 2 2AB AD BAD
16 4 2 4 2 cos 60
12
BD2 AD2 12 4 16 AB2
AD BD
BC BD …………………………………………………5分
又 SD 面ABCD且BC 面ABCD
BC SD
又 SD 面SBD,BD 面SBD且SD BD D
BC 面SBD
又 SB 面SBD …………………………………………7分
BC SB
BP 1 SC
2
4
{#{QQABDYIEogigQJBAAQgCAQEoCAIQkBCACQgGBAAEsAAAQRNABAA=}#}
又 SD DC
DP 1 SC
2
又 SC SD2 DC 2 4 16 2 5
DP BP 5
…………………………………………………………9分
又 BD 2 3
BE 3
PE BP2 BE 2 2
1
S PBD 2 3 2 62
……………………………………………………………11分
(3)设点C到平面PBD的距离为h
VP BCD VC PBD
1
S 1 1 S …………………………13 分
3 BCD 3 PBD
h
1
即 2 2 3 1= 6 h
2
h= 2 …………………………15 分
h 2 10
直线SC与平面PBD所成角的正弦值为
PC 5 5
…………………………17分
19.解：（1）由余弦定理可知：BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos BAC
即：BC 2 =25+9 2 1 5 3 =19 2分
2
19 7
由题中定理可得：25+9=2(AD2 ),解得AD=
4 2
7
即三角形BC边上的中线长为 .
2
…………………………………………………………………… 4分
(2)证明：
2 2
:1 ABC cosB BC AB AC
2
法 ：在 中， …………………………5分
2BC AB
1
ABD BD2 AB2 AD2 BC
2 AB2 AD2
在 中， cos B 4 …………………………7分
2BD AB BC AB
cosB cosB , 1化简得 AB2 AC2 2AD2 BC2 2(AD2 BD2)…………………9分
2
5
{#{QQABDYIEogigQJBAAQgCAQEoCAIQkBCACQgGBAAEsAAAQRNABAA=}#}
2 2
2 ABD cos ADB AD BD AB
2
法 ：在 中 ,
2AD BD
2 2 2
在 ADC cos ADC AD CD AC中
2AD CD
cos ADB cos ADC 0 ,化简得 AB2 AC 2 2(AD 2 BD 2 )
法 3：向量方法
AD是三角形BC边上的中线
1
AD (AB AC),BC AC AB
2
2 1 2
：AD = (AB AC)2，BC （AC AB）2
4
1
即：AD2 (AB2 AC 2 2AB AC),BC 2 AC 2 AB2 2AB AC
4
4AD2 AB2 AC 2 2AB AC
4AD2 BC 2 2(AB2 AC 2),即：AB2 AC 2=2 AD2+ BC)2 （ 2
（3）解：(ⅰ) a sin A 3b sin B 3b sin(A C ) ， a sin A=3b[sin(A C ) sin B]，
a sin A=3b[sin(A C) sin（A C）] , a sin A= 6b cos A sinC
设 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c
a 2 = 6bc cos A，
b2 c2 a2a2 = 6bc ，b2
2
c2 a2 24 . …………………………12 分
2bc 3
AB2 AC 2 2(AD 2 BD 2 ) , BD 3 ,所以 AD 3 …………………………13 分
S ABC = 2S
1
ADC = 2 AD DC sin ADC =
3 3 ,
2 2
所以 sin ADC
1
= ，即 ADC= ， …………………………15 分
2 6
2 2 2
在 ADC中， cos ADC AD CD AC ，得 AC 3 . …………………16 分2AD CD
2
在等腰 ADC中， DAC=
3
1
所以 cos DAC= …………………………17 分
2
6
{#{QQABDYIEogigQJBAAQgCAQEoCAIQkBCACQgGBAAEsAAAQRNABAA=}#}2023一2024学年第二学期高一期末网所考试
二、进择丽：本题共3小题，年小题6分，共1B分。在每小愿给出的法攻中，有米买
符合哥目要求。全却选对的得日分，部分迹对的得部分分，有选前的得0分，
数学试题
9。已知是应效单位，下列说法中正确的是
A,若五为共起纹敢，则=马=名·名
注事项：
B.若复数x减足：一=3，则复效附攻的众在以点〔10)为因心，3为辛拉的图上
1.若业加，考生务心用极色宁速戒签字笔将自己的姓名、考生号、考杨号和座位
号共日在答题卡上，将条形马惜贴在芹区卡右角“张形码粉贴处”。
C.柱数5+4i与-2+分别表示向耐与成，则表示问量西的短效为-7+：
封
2,回答法拜时，选出每小四容案后，用好年把答想卡上对应题目的答案标号途
D.若5-3是关于的方征2x2+肛+寸=0的一个根，其中P,为实数，划加=12
洲。知需改动，用校皮赛干存后，再边徐其也密案标号。国答平选扑时，将答案写
10.设0%0是平西内相交的两条数轴，式中么0自0<日<年且罗，小
在答始卡上，写在本试学上效.
1,书甘始而，将木其差和咨题卡一并义可。
分别是与x相，轴正方向月向的单位向亚.若平西向意 博足。=经：+z,刘府
数对[￥，y际为向量，在“仿时垫标系0下的仿射坐家，记作ā=《s,y],
一、选择题：本距共8小题，每小题5分，共0分。在每小区给出的四个选面中，只
有一夏是符合江目亚求的.
下列命温中是真命江的及
1.若灯数z满足云=【-1，刘复数：的班部为
。
B.-1
C.i
D.-i
4.已知c(2,》,则l而
2:已妇直就m,平阿红、A,Y,下阿条件的推出：A茵是
h,已如m=(￥，y.b=(40,划m+6-(:+1+z}8
$
A.g1Y,B⊥y
B,mCt,m∥日
C.双与：、B所成的角相等
D.m山，网⊥B
C.已知4=〔-1,2)0。b=(2,18,川a-5=0
3.若一生3,4，m,了，9的平均磁为6，观这组激乐的方花是
D.已知a=(,)8,五=（知为9，若ab,则2'-'
A.3
B.
18
4
￥
5
C.5
D.
5
1】.正方体ABC0一A,B1C:D,的牌长为2，点时房四边形B,C,C为部及近界上一动点，
4在AAC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、G,且A+B=2G,ad=
点P是裁AH,上流近点A的三等分点，下列结抡正稀的行
3,c3,
A.D1⊥A,D
川e为
卫.当直盘时与平面AD,D以所成的州为45时，点M的轨连
h.2
C.2w6
D.5
长度为
5.底可积是开，德风积是2π的红地的休积是
h.w3π
B.2
C.27
D.3n
C.若0，上、则点M的运动幼迹长度为2
3
6.在正三按#AC一A,BG1巾，B=A]=2,则点A罚平AG的离为
A.2w27
D.直线D,P使正方体BCD-A8,C,的外接球所漱钟的使段的长度为0厘
13
4.w2
D,1
三、填空题：本共3小灯，每小题5分，共16分.
7.一个金子卫装腺制色外完全相问的四个小隙，其中器隙有两个，病号为【，2：红
玲有两个，编丹为3,4从中不议回的依次取出两个球。A表示外件“欧出的两球不
12,E知问量a=(1,-1.b=(21).若ia+)La,则1”
可色”，B我示事牛“第一次取出的是红越”。C示事件“取出的两隙同色”，列下
13.在山脚A测得山顶P的仰布a=、补食斜
列过法货沃的是〔)
州B=1的公路内上走600m到迷8处，在B
5
A,A与C互斥H,A与B相被YC.P(世UC)=号D.P(a=号
日.巳知△4C的外楼心为0，且2动=+花，风-花-1，点D是袋段
处测斜山P的物角y=60,如图.若在山高的
G上一对点，则耐，丽的最小位北
寻处的点3位置建菇下山案道.则此餐道高地面的
在，
0.6
9
C.-16
n.
高成为世.
高一数学试第1或（共4页）
商效举试粉第2页共4页的
