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23.1 图形的旋转 学案
（一）学习目标：
通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质
在探索中发展学生直观想象能力，分析、归纳、抽象、概括的思维能力
3、体验数学的具体、生动、灵活、调动学生学习数学的主动性
（二）学习重难点：
学习重点：归纳图形旋转的特征，能根据特征绘制旋转后的图形
学习难点：对图形进行旋转变换
阅读课本，识记知识：
1.旋转的概念
在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．
这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)．
如图：三角形A′B′C′是三角形ABC绕点O旋转所得，则点Ａ和点A′，点B和B′，点C和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应线段，,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角．
2.旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应线段的长度相等；
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
3.旋转作图
（1）“找”：根据题目要求，找出旋转中心、旋转方向和旋转角.
（2）“定”：分析所作的图形，确定构成图形的关键点.
（3）“作”：沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，得到各个关键点旋转后的对应点.
（4）“连”：按原图中的顺序连接所作的各个关键点的对应点，并标上相应字母.
（5）“写”：写出作图结论
4.旋转对称图形
如果一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于周角）后能与原图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形
【例1】下列现象属于旋转的是（ ）
A．电梯的上下移动 B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的定义是解题的关键；因此此题可根据旋转的定义“把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度”进行求解即可．
【详解】解：A、B、D选项都不符合旋转的定义，而C选项符合旋转的定义，故C选项属于旋转现象；
故选C．
【例2】已知，三角形．
(1)请画出三角形绕点A逆时针旋转得到的三角形，其中B点与点是对应顶点；
(2)在（1）的条件下，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查图形的变换，掌握图形的旋转，及性质是解题的关键．
（1）三角形绕点A逆时针旋转，则对应线段相互垂直，由此即可作图；
（2）根据旋转的性质可得，，根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∴即为所求图形．
（2）解：∵三角形绕点A逆时针旋转到三角形的位置，
∴，
∵，
∴，则．
选择题
1．如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，若，，则旋转角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查旋转的性质．根据题意，易得，利用平角的定义求出，即可．掌握旋转角是对应点与旋转中心所形成的夹角，是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵点恰好落在的延长线上，
∴，
即：旋转角为；
故选：D．
2．图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它逆时针旋转后的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查旋转，找到旋转中心，旋转方向以及旋转角度即可得到答案．
【详解】解：逆时针旋转后的图形是 ，
故选A．
3．如图，已知是正三角形，Q是边上一点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，连接，若，，则下面四个结论中，错误的是（ ）
A．是等边三角形 B．
C．的周长是9 D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的判定，旋转的性质，结合已知逐一判断即可．
【详解】∵是正三角形，
∴，
∵绕点C按顺时针方向旋转，得到，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
故A正确，不符合题意；
故B正确，不符合题意；
∵绕点C按顺时针方向旋转，得到，是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴的周长是，
故C正确，不符合题意；
无法证明，
故D错误，符合题意，
故选D．
4．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，其中点是点的对应点，点是点的对应点，并且点恰好落在线段的延长线上，则的长为（ ）
A．12 B．20 C．8 D．16
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、旋转的性质，过点作于点，求出，，由勾股定理求出的长，由旋转的性质以及等腰三角形的性质可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：过点作于点，
，，
设，
，
，
，，
，
，
，
∵将绕点逆时针旋转到的位置，
，
，
，
故选：D．
5．如图，点P是等边的边上的一点，连接．将绕点A逆时针旋转得到，连接．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理，先由等边三角形的性质得到，再由旋转的性质得到，由此可证明是等边三角形，，再求出，即可利用三角形内角和定理求出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
故选B．
6．如图，绕点O顺时针旋转得到，若，当点C恰好在上时，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．55°
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形判定和性质．旋转，得到，根据，求出的度数，等边对等角，求出的度数，进而得到的度数，利用平角的定义，求出的度数即可．掌握旋转的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵绕点O顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
7．如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( )
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查菱形的性质和直角三角形的性质．根据已知可得重叠部分是个八边形，从而求得其一边长即可得到其周长．
【详解】解：
根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形，
旋转前后两菱形里鲁部分多边形的周长是．
故选：C．
8．如图，将绕顶点顺时针旋转得到，且点刚好落在线段上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质与三角形内角和定理可求出答案．
【详解】解：∵将绕顶点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9．正方形绕着它的中心旋转，要想与原来的图形重合，至少要旋转（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，然后根据旋转角及旋转对称图形的定义作答．
【详解】解：，
正方形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合．
故选：D．
10．如图，将正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质和网格当中的旋转作图．
作，将绕点D顺时针旋转至，即可得出B点的坐标．
旋转的三要素为旋转中心、旋转方向、旋转角度，正确的作出旋转以后的图形是解题的关键．
如图，作，将绕点D顺时针旋转至
则，，
，
，
∴正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为．
故选：A
【详解】详解片段
填空题
11．如图，边长4的等边中，点为上一点，且，点为边上的一个动点，点绕点顺时针旋转得到点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识．由“”可证，可得，可证，即点在过点平行于的直线上运动，则当时，有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，在上截取，连接，，
是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
点绕点顺时针旋转得到点，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
点在过点平行于的直线上运动，
当时，有最小值，
此时，
，
，，
，
故答案为：．
12．如图，将绕点顺时针旋转得到，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．证等边三角形是本题的关键．
由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，即可求出答案．
【详解】绕点A顺时针旋转得到，
，，
，
即，
是等边三角形
故答案为：
13．如图，已知，如果将绕点O顺时针旋转到的位置时，恰好点A、O、D在同一直线上，那么旋转角的度数为 度．
【答案】/145度
【分析】本题考查本题考查了旋转的性质，熟练掌握运用旋转的性质求出的度数是解题关键．
【详解】解：绕点O顺时针旋转到的位置，
∴，
∴旋转角的度数为，
故答案为：．
14．如图，在矩形中，，，在边上取一点E，使得，点F为直线上一动点，将沿翻折得，连接，将绕点C顺时针旋转得，连接，，则的最大值为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理．在射线的延长线上取点O，使，证明，推出，得到点在以点O为圆心，2为半径的圆上，当经过点O时，有最大值，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形中，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵将沿翻折得，
∴，
在射线的延长线上取点O，使，
此时，
∵将绕点C顺时针旋转得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点在以点O为圆心，2为半径的圆上，当经过点O时，有最大值，
∴的最大值为，
故答案为：12．
15.平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接，将绕A点顺时针旋转得到，当点A在x轴上运动，取最小值时，点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】分三种情况：当点在轴正半轴时；当点在原点时；当点在轴负半轴时，利用三角形全等的判定与性质、旋转的性质、两点间的距离公式，分别进行求解即可得到答案．
【详解】解：当点在轴正半轴时，如图，作轴于，设，则，，
，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，，
，，
，
，
，
，
在和，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当点在原点时，如图所示，
，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
，
；
当点在轴负半轴时，如图，作轴于，设，则，，
，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，，
，，
，，
，
在和，
，
，
，，
，
点在第四象限，
，
，
，
，
综上所述：当时，取到最小值，为，此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点间的距离等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想解题．
三、解答题
16．在如图的方格纸上，按要求完成下列各题，每个方格边长1厘米．
(1)若点O的位置用数对表示，则点A的位置用数对可以表示为_________；
(2)将圆O向左平移2个单位，画出平移后的图形；
(3)将梯形绕点A顺时针旋转，画出旋转后的图形．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查作图，平移变换，旋转变化，熟练掌握平移、旋转的性质是解题的关键．
（1）由图可得出答案；
（2）根据平移的性质作图即可；
（3）根据旋转的性质作图即可．
【详解】（1）解：由图可知，点O的位置用数对表示，
则点A的位置用数对可以表示为；
（2）解：如图，圆即为平移后的图形；
（3）如图，四边形即为所求．
17．如图，将直角三角形经过平移、旋转、翻折三种运动中的一种或多于一种运动后，得到三角形，其中点点点分别是点、点、点的对应点，且三点在同一直线上．连接，得到梯形．已知，．
(1)直角三角形如何经过一种或几种运动后得到三角形？请写出具体的运动过程．（可能有多种方法，只要写出一种方法即可）
(2)三角形是个什么形状的三角形？请简单说明理由．
(3)已知，梯形的面积为98，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)等腰直角三角形，理由见解析
(3)10
【分析】（1）根据旋转的性质即可得到结论；
（2）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（3）根据平移的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）直角三角形绕着点顺时针旋转，然后绕着的中点旋转得到三角形；
（2）是等腰直角三角形．
理由如下：，
，
经过运动后得到，
，，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）经过运动后得到，
，，
，
梯形的面积为98，
，
，
（舍去负值），
，
．
【点睛】本题考查了几何变换的类型，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，三角形内角和定理，熟练掌握平移、旋转、轴对称的性质是解题的关键．
18．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定；由旋转的性质可得，进而可得是等边三角形，得出，进而根据，即可求解．
【详解】解：由旋转的性质可得，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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23.1 图形的旋转 学案
（一）学习目标：
通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质
在探索中发展学生直观想象能力，分析、归纳、抽象、概括的思维能力
3、体验数学的具体、生动、灵活、调动学生学习数学的主动性
（二）学习重难点：
学习重点：归纳图形旋转的特征，能根据特征绘制旋转后的图形
学习难点：对图形进行旋转变换
阅读课本，识记知识：
1.旋转的概念
在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．
这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)．
如图：三角形A′B′C′是三角形ABC绕点O旋转所得，则点Ａ和点A′，点B和B′，点C和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应线段，,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角．
2.旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应线段的长度相等；
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
3.旋转作图
（1）“找”：根据题目要求，找出旋转中心、旋转方向和旋转角.
（2）“定”：分析所作的图形，确定构成图形的关键点.
（3）“作”：沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，得到各个关键点旋转后的对应点.
（4）“连”：按原图中的顺序连接所作的各个关键点的对应点，并标上相应字母.
（5）“写”：写出作图结论
4.旋转对称图形
如果一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于周角）后能与原图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形
【例1】下列现象属于旋转的是（ ）
A．电梯的上下移动 B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的定义是解题的关键；因此此题可根据旋转的定义“把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度”进行求解即可．
【详解】解：A、B、D选项都不符合旋转的定义，而C选项符合旋转的定义，故C选项属于旋转现象；
故选C．
【例2】已知，三角形．
(1)请画出三角形绕点A逆时针旋转得到的三角形，其中B点与点是对应顶点；
(2)在（1）的条件下，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查图形的变换，掌握图形的旋转，及性质是解题的关键．
（1）三角形绕点A逆时针旋转，则对应线段相互垂直，由此即可作图；
（2）根据旋转的性质可得，，根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∴即为所求图形．
（2）解：∵三角形绕点A逆时针旋转到三角形的位置，
∴，
∵，
∴，则．
选择题
1．如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，若，，则旋转角是（ ）
A． B． C． D．
2．图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它逆时针旋转后的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，已知是正三角形，Q是边上一点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，连接，若，，则下面四个结论中，错误的是（ ）
A．是等边三角形 B．
C．的周长是9 D．
4．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，其中点是点的对应点，点是点的对应点，并且点恰好落在线段的延长线上，则的长为（ ）
A．12 B．20 C．8 D．16
5．如图，点P是等边的边上的一点，连接．将绕点A逆时针旋转得到，连接．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，绕点O顺时针旋转得到，若，当点C恰好在上时，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．55°
7．如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( )
A．8 B． C． D．
8．如图，将绕顶点顺时针旋转得到，且点刚好落在线段上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．正方形绕着它的中心旋转，要想与原来的图形重合，至少要旋转（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．如图，边长4的等边中，点为上一点，且，点为边上的一个动点，点绕点顺时针旋转得到点，则的最小值为 ．
12．如图，将绕点顺时针旋转得到，则的度数为 ．
13．如图，已知，如果将绕点O顺时针旋转到的位置时，恰好点A、O、D在同一直线上，那么旋转角的度数为 度．
14．如图，在矩形中，，，在边上取一点E，使得，点F为直线上一动点，将沿翻折得，连接，将绕点C顺时针旋转得，连接，，则的最大值为 ．
15.平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接，将绕A点顺时针旋转得到，当点A在x轴上运动，取最小值时，点B的坐标为 ．
三、解答题
16．在如图的方格纸上，按要求完成下列各题，每个方格边长1厘米．
(1)若点O的位置用数对表示，则点A的位置用数对可以表示为_________；
(2)将圆O向左平移2个单位，画出平移后的图形；
(3)将梯形绕点A顺时针旋转，画出旋转后的图形．
17．如图，将直角三角形经过平移、旋转、翻折三种运动中的一种或多于一种运动后，得到三角形，其中点点点分别是点、点、点的对应点，且三点在同一直线上．连接，得到梯形．已知，．
(1)直角三角形如何经过一种或几种运动后得到三角形？请写出具体的运动过程．（可能有多种方法，只要写出一种方法即可）
(2)三角形是个什么形状的三角形？请简单说明理由．
(3)已知，梯形的面积为98，求的长．
18．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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