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23.2.2 中心对称图形 学案
（一）学习目标：
1.关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用．
2.复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质．
（二）学习重难点：
学习重点：中心对称的两条基本性质及其运用
学习难点：让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质
阅读课本，识记知识：
1.中心对称图形：如果一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形
2.画一个图形关于已知点的对称图形
(1)定关键点
(2)作对称点
(3)完成图形
【例1】如图所示的是一个八角形图案，它是一个旋转对称图形．让这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，则的度数可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】这个图形平均分成八部分，求出最小旋转角，只要旋转角为最小旋转角的整数倍即可．
【详解】解：这个图形平均分成八部分，最小旋转角为，则旋转的整数倍就能够与它本身重合．
故选：B．
【点睛】本题考查求旋转对称图形的旋转角，正确认识旋转对称图形的性质，能够根据图形的特点观察得到一个图形可以看作几个全等的部分.
【例2】在图中网格上按要求画出图形，并回答问题：
(1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形；
(2)画出三角形关于点D成中心对称的三角形；
(3)三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)是，画图见详解
【分析】本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
（1）由题意得出，需将点与点先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得；
（2）分别作出三顶点分别关于点的对称点，再首尾顺次连接可得；
（3）连接两组对应点即可得．
【详解】（1）如图所示，即为所求．
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图所示，与是关于点成中心对称，
故答案为：是．
选择题
1．在下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【详解】解：A.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形．本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握中心对称图形的定义，即可完成．
【详解】解：A、B、D均是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，本选项符合题意．
故选：C
3．下列图案，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
4．下面是四个手机解锁图案，其中是中心对称图像的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．此题考查了中心对称图形将一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合的图形叫中心对称图形，掌握轴中心对称图形的概念是解题关键．
【详解】解：A.该图形是中心对称图形，符合题意；
B.该图形不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
6．如图，下面的四个图案中，既是旋转对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形和旋转对称图形的识别；
根据轴对称图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，旋转对称图形绕某点旋转后与自身重合，逐项判断即可．
【详解】解：A.是旋转对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B.不是旋转对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C.不是旋转对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D.是旋转对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
7．在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A．等角螺旋线 B．心形线 C．四叶玫瑰线 D．蝴蝶曲线
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形，是解题的关键．
根据中心对称图形的定义，对选项逐个判断即可．
【详解】解：对于A选项，不是中心对称图形，不符合题意；
对于B选项，不是中心对称图形，不符合题意；
对于C选项，是中心对称图形，符合题意；
对于D选项，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的定义．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心旋转后与原图重合．
本题中根据中心对称图形与轴对称图形的定义，逐一判断即可．
【详解】A、能找到一个点使图形绕该点旋转后与原来图形重合，是中心对称图形，找不到对称轴，不是轴对称图形，故不符合题意；
B、能找到1条对称轴，是轴对称图形，但找不到一个点使图形绕该点旋转后与原来图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、能找到4条对称轴，是轴对称图形，也能找到一个点使图形绕该点旋转后与原来图形重合，是中心对称图形，故符合题意；
D能找到5条对称轴，是轴对称图形，但找不到一个点使图形绕该点旋转后与原来图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C
9．今年冬天寒潮来袭，气温持续走低，让人们更多关注天气资讯，下面是四种天气符号图标，其中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故此选项不符合题意；；
故选A．
10．下列四个有关环保的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
填空题
11．在平面直角坐标系中，三颗棋子A，O，B的位置如图所示，它们的坐标分别是，和．现要在其他点的位置上添加一颗棋子P，使以A，O，B，P为顶点的四边形是一个中心对称图形，则棋子P的坐标为 ．
【答案】或或
【解析】略
12．在①正三角形，②平行四边形，③正方形，④圆中，是中心对称图形的是 ．
【答案】②③④
【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论．此题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：根据中心对称图形的定义可知，在①正三角形，②平行四边形，③正方形，④圆中，是中心对称图形的是②平行四边形，③正方形，④圆，
故答案为：②③④
13．在平行四边形、菱形、矩形、正方形、等边三角形这五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 ．
【答案】菱形、矩形、正方形
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，
等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，
菱形、矩形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故答案为：菱形、矩形、正方形．
14．下列四种图案中，是中心对称图形的有 个，
【答案】3
【分析】本题考查了中心对称图形的概念．一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：前三个图案能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形；
最后一个图案不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形；
故答案为：3．
15．如图，D是边的中点，连接并延长到点E，使，连接．
（1）和 成中心对称，
（2）已知的面积为4，则的面积是 ．
【答案】 8
【分析】本题考查了中心对称图形及三角形中线的性质，
（1）根据中心对称图形的性质即可求解；
（2）根据三角形中线的性质即可求解；
熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：（1）根据中心对称图形的性质可得；
和成中心对称，
故答案为：；
（2）由（1）得：和成中心对称，
线段是的中线，
，
D是边的中点，
，
故答案为：8．
三、解答题
16．如图，三个顶点分别为，，．
\
(1)请画出绕点B逆时针旋转后的；
(2)请画出关于原点对称的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-旋转变换．
（1）分别作出A，C的对应点即可；
（2）分别作出A，B，C的对应点即可．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示．
．
17．如图，线段AC，BD相交于点O，，．线段AC上的两点E，F关于点O中心对称．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：如图，连接AD，BC．
∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴．
∵点E，F关于点O中心对称，
∴．
在△BOF和△DOE中，
∴，
∴．
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出以点A为旋转中心，把绕着点A逆时针旋转，得到的；（点B的对应点为，点C的对应点为）．
(2)在图中画出以为边的四边形，四边形为中心对称图形且一边长为，连接，请直接写出线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，或
【分析】（1）根据旋转方式找到B、C对应点，的位置，然后顺次连接A、，即可；
（2）根据题意画出平行四边形，且即可，再利用勾股定理求出对应的的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如下图所示，四边形即为所求；
根据网格的特点，可得四边形是平行四边形，且；
∴或．
【点睛】本题主要考查了画旋转图形，画中心对称图形，平行四边形的性质与判定，勾股定理等等，熟知画旋转图形和画中心对称图形的方法是解题的关键．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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（一）学习目标：
1.关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用．
2.复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质．
（二）学习重难点：
学习重点：中心对称的两条基本性质及其运用
学习难点：让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质
阅读课本，识记知识：
1.中心对称图形：如果一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形
2.画一个图形关于已知点的对称图形
(1)定关键点
(2)作对称点
(3)完成图形
【例1】如图所示的是一个八角形图案，它是一个旋转对称图形．让这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，则的度数可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】这个图形平均分成八部分，求出最小旋转角，只要旋转角为最小旋转角的整数倍即可．
【详解】解：这个图形平均分成八部分，最小旋转角为，则旋转的整数倍就能够与它本身重合．
故选：B．
【点睛】本题考查求旋转对称图形的旋转角，正确认识旋转对称图形的性质，能够根据图形的特点观察得到一个图形可以看作几个全等的部分.
【例2】在图中网格上按要求画出图形，并回答问题：
(1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形；
(2)画出三角形关于点D成中心对称的三角形；
(3)三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)是，画图见详解
【分析】本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
（1）由题意得出，需将点与点先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得；
（2）分别作出三顶点分别关于点的对称点，再首尾顺次连接可得；
（3）连接两组对应点即可得．
【详解】（1）如图所示，即为所求．
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图所示，与是关于点成中心对称，
故答案为：是．
选择题
1．在下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列图案，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下面是四个手机解锁图案，其中是中心对称图像的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，下面的四个图案中，既是旋转对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A．等角螺旋线 B．心形线 C．四叶玫瑰线 D．蝴蝶曲线
8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．今年冬天寒潮来袭，气温持续走低，让人们更多关注天气资讯，下面是四种天气符号图标，其中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列四个有关环保的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．在平面直角坐标系中，三颗棋子A，O，B的位置如图所示，它们的坐标分别是，和．现要在其他点的位置上添加一颗棋子P，使以A，O，B，P为顶点的四边形是一个中心对称图形，则棋子P的坐标为 ．
12．在①正三角形，②平行四边形，③正方形，④圆中，是中心对称图形的是 ．
13．在平行四边形、菱形、矩形、正方形、等边三角形这五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 ．
14．下列四种图案中，是中心对称图形的有 个，
15．如图，D是边的中点，连接并延长到点E，使，连接．
（1）和 成中心对称，
（2）已知的面积为4，则的面积是 ．
三、解答题
16．如图，三个顶点分别为，，．
\
(1)请画出绕点B逆时针旋转后的；
(2)请画出关于原点对称的图形．
17．如图，线段AC，BD相交于点O，，．线段AC上的两点E，F关于点O中心对称．求证：．
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出以点A为旋转中心，把绕着点A逆时针旋转，得到的；（点B的对应点为，点C的对应点为）．
(2)在图中画出以为边的四边形，四边形为中心对称图形且一边长为，连接，请直接写出线段的长．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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