安徽省安庆市怀宁县新安中学2023-2024学年高一下学期期末数学调研试卷（含答案）

新安中学2023-2024学年高一下学期期末数学调研试卷
试题范围： 高中数学必修一、二 册 （侧重第二册）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．复数的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知一组数据8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的25%分位数是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
3．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于
5．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.已知甲 乙 丙三人在笔试部分合格的概率分别为，在面试部分合格的概率分别为，所有考试是否合格相互之间没有影响.假设甲 乙 丙三人都同时参加了笔试和面试，则三人中只有一人被录取的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则（ ）
A．A与B互斥 B．A与B独立 C．A与C互斥 D．A与C独立
8．在边长为的菱形中，，将沿着折叠，得到三棱锥，若，则该三棱锥的外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若为实数，则
C．若在复平面内对应的点在直线上，则
D．在复平面内对应的点不可能在第三象限
10．供电部门对某社区100位居民6月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则有关这100位居民，下列说法正确的是（ ）
A．6月份人均用电量人数最多的一组有40人
B．6月份人均用电量在内的有30人
C．6月份人均用电量不低于20度的有50人
D．在这100位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在一组的人数为3
11．如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（ ）
A．点的运动轨迹为一条线段
B．直线与所成角可以为
C．三棱锥的体积是定值
D．若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．在中，已知是x的方程的两个实根，则 ．
13．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为 .
14．如图， 平面四边形 中，,， 则的长为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的取值范围．
16．已知向量，，设.
(1)求的最小正周期；
(2)若，，求的值.
17．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.已知某学校高一学生共有800人，为了解该学校高一学生阅读时间的分配情况，从该学校随机抽取了100名高一学生进行调查，得到了这100名学生的日平均阅读时间（单位：分钟），将样本数据按分成7组，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)从总体中随机抽取1名学生，估计其日平均阅读时间大于或等于60分钟的概率；
(2)求样本数据的中位数的估计值；
(3)已知样本中日平均阅读时间大于或等于70分钟的学生中，男 女学生恰好各占一半，日平均阅读时间小于70分钟的学生中男生占；估计该学校高一男学生的人数.
18．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到的距离.
19．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若是边长为1的等边三角形﹐点在棱上，，且三棱锥的体积为，求侧面与底面所成二面角的余弦值．
参考答案：
1．B
2．C
3．C
4．D
5．A
6．D
7．D
8．C
】在菱形中，，所以和均是边长为的等边三角形，
如图在三棱锥中，设的中点为，连接，，设、分别为、外接圆的圆心，
过点、分别作平面、平面的垂线，设两垂线交于点，则点为该三棱锥外接球的球心，
连接、，则为外接球的半径，
依题意，且、，
由余弦定理，
所以，
由、分别为、外接圆的圆心，
所以，，
因为，，，
所以，所以，所以，
所以，即外接球的半径，
所以外接球的体积.
9．BD
10．ACD
11．ACD 不妨设正方体的棱长为1，
对于选项A：取的中点，连接，
由题意可知：∥，且，
可知为平行四边形，则∥，
又因为分别为的中点，则∥，可得∥，
且平面，平面，可得∥平面，
因为分别为的中点，则∥，且，
又因为∥，且，可得∥，且，
可知为平行四边形，则∥，
且平面，平面，可得∥平面，
由，平面，可得平面∥平面，
若∥平面，可知平面，
且侧面，侧面平面，可知，
所以点的运动轨迹为一条线段，故A正确；
对于选项B：因为点的运动轨迹为线段，
则直线与所成角为，
因为侧面，侧面，则，
在中，，
又因为，则有：
当为线段的中点时，取到最小值；
当为线段的端点时，取到最大值；
则，即，可知，故B错误；
对于选项C：由选项A可知：平面∥平面，且平面，
则∥平面，
且，可知点到平面的距离为定值，
即三棱锥的高为定值，且的面积为定值，
所以三棱锥的体积是定值，故C正确；
对于选项D：取的中点，连接，
因为分别为的中点，则∥，
由选项A可知：∥，则∥，
所以平面与正方体的截面为四边形，
由题意可知：，
则等腰梯形的高，
所以截面的面积为，故D正确；
12．
13．
14．在中，，所以，又，
由正弦定理可得，，即，
解得，在中，，所以，又，由正弦定理可得，，即，解得，又因为，所以
在中，由正弦定理可得，
即，所以.故答案为：.
15．（1）根据题意得，，
由正弦定理得，，
即，
即，
因为，则则，
则，，则．
（2）由正弦定理得，，所以．
所以，，
因为锐角，则，即，解得．
则，故．
所以，则的取值范围．
16．（1）因为
，
所以函数的最小正周期；
（2），
，
，
故
.
17.（1）日平均阅读时间大于或等于60分钟的概率为
；
（2）设中位数为，前两个矩形的面积之和为
，
所以可设中位数为，
由中位数的定义可得，解得.
（3）样本中日平均阅读时间大于或等于70分钟的频率为
，
又男 女学生恰好各占一半，
所以中日平均阅读时间大于或等于70分钟的男生的频率为，
日平均阅读时间小于70分钟的学生中男生的概率为，
故样本中男生所占的概率为，估计该学校高一男学生所占的频率为，
则该学校高一男生的人数为人.
18．（1）因为为的中点，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）如图所示，作交于，连接，
因为四边形为等腰梯形，，所以，
由（1）知为平行四边形，可得，
又，所以为等边三角形，为中点，所以，
又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，
四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形，
与底边上中点重合，，
，因为，所以，
因为，平面，所以平面，
所以是三棱锥的高，
又，而，
又，得到，
所以，
设点到的距离为，
则， 解得，
所以点到的距离为.
19．（1）在三棱锥中，因为，为的中点，
所以，又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面；
（2）因为点在棱上，，
又三棱锥与三棱锥底面积相同，高之比等于，
所以体积之比也为，
所以，又平面，所以为三棱锥的高，
又是边长为1的等边三角形，所以，
所以，
所以，解得，
取的中点，连接、，则，又平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以为侧面与底面所成二面角的平面角，
又，，平面，平面，所以，
所以，所以，
所以侧面与底面所成二面角的余弦值为.