华师版八上数学13.5 逆命题与逆定理课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
华东师大版·八年级数学上册
复习导入
什么叫做命题？
表示判断的语气叫做命题。
例如“两直线平行，内错角相等”
“内错角相等，两直线平行”
例如“两直线平行，内错角相等”
“内错角相等，两直线平行”
探究新知
观察这两个命题的条件和结论，你发现什么？
两个命题的条件和结论恰好互换了位置
例如“两直线平行，内错角相等”
“内错角相等，两直线平行”
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
命题“两直线平行，内错角相等”
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
条件
结论
它的逆命题“内错角相等，两直线平行”
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
“两直线平行，内错角相等”
“内错角相等，两直线平行”
互逆定理
1. 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题并判断其真假。
（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
条件
结论
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.
真命题
随堂练习
（简单说成：两锐角互余的三角形是直角三角形。）
（2）等边三角形的每个角都等于60°；
条件：一个三角形是等边三角形，
结论：它的每个角都等于60°.
逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，
那么这个三角形是等边三角形.
写出一个命题的逆命题，并不是单一的交换题设和结论，还要重新组织语言，使语言通顺，条理清晰。
真命题
（3）全等三角形的对应角相等；
条件：两个三角形是全等三角形，
结论：它们的对应角相等.
逆命题：如果两个三角形的对应角相等，
那么这两个三角形全等.
假命题
（4）如果a=b，那么a3 =b3.
条件：a＝b
结论： a3＝b3
逆命题：如果a3＝b3，那么a＝b.
真命题
2. 举例说明下列命题的逆命题是假命题.
（1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被5整除.
逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.
例如10能5整除，但它的个位数是0.
2. 举例说明下列命题的逆命题是假命题.
（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
例如60°＝ 60°，但这两个角不是直角.
3. 在你所学过的知识内容中，有没有原命题与逆命题都正确的例子？试举出几对.
“两直线平行﹐同位角相等”
“同位角相等，两直线平行”
“内错角相等，两直线平行”
“两直线平行，内错角相等”
课堂小结
这节课我们学到了什么？
①逆命题、逆定理的概念.
②能写出一个命题的逆命题.
③在证明假命题时会用举反例说明.
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复习导入
C
A
B
P
M
N
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB. 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB有怎样的关系？
PA与PB完全重合
探究新知
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
C
A
B
P
M
N
你能证明这个定理吗？
C
A
B
P
M
N
已知：如图，MN⊥AB，垂足为C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点.
求证：PA＝PB.
证明：∵MN AB
∴ PCA= PCB
在△PCA和△PCB中，
AC=CB， PCA= PCB，PC=PC
∴PA=PB
∴ △PCA ≌ △PCB（S.A.S.）
探索
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
条件 结论
性质定理
逆命题
一直线是一线段的垂直平分线
该直线上的点到线段两端的距离相等
点到线段两端的距离相等
该点在线段的垂直平分线上
逆命题是否是一个真命题？
A
B
Q
已知：如图，QA＝QB.
求证：PA＝PB.
证明：∵过点Q作MN AB，垂足为点C.
M
N
C
故∠QCA＝∠QCB＝90°.
在Rt△QCA和Rt△QCB中，
∵QA＝QB，QC＝QC，
∴△QCA≌△QCB（H.L.）
∴AC＝BC
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
A
B
Q
M
N
C
线段垂直平分线的性质定理与判定定理互为逆定理
如何证明“三角形三条边的垂直平分线交于一点”？
只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.
A
B
C
m
n
l
O
A
B
C
m
n
l
O
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
OA＝OB
OB＝OC
OA＝OC
点O在AC的垂直平分线n上
试试看，现在你会证明了吗？
1. 如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA = PB.
随堂练习
A
B
l
提示：作AB的垂直平分线与直线l的交点.
P
2. 如图，BD⊥AC，垂足为点E，AE = CE.
求证：AB＋CD＝AD ＋BC.
D
A
C
B
E
证明：∵BD AC ，AE＝EC，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AB＝BC，
∴AB＋CD＝AD＋BC.
3. 如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且 BD + AD = BC. 求证：点D在AC的垂直平分线上 .
A
B
C
D
证明：∵BD＋DC＝BC
而 BD＋AD＝BC，
∴ AD＝DC，
∴ 点D在AC的垂直平分线上.
课堂小结
这节课我们学到了什么？
①掌握了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.
②利用线段垂直平分线性质定理证明两条线段相等.
华东师大版·八年级数学上册
复习导入
如图，你能画出∠AOB的对称轴吗？
射线OC就是的∠AOB的对称轴，也是角平分线.
A
O
B
C
探究新知
A
O
B
C
P
D
E
如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.
将∠AOB沿OC对折，我们发现PD与PE有什么关系？
PD与PE完全重合
你能证明吗？
A
O
B
C
P
D
E
已知：如图，OC是∠AOB 的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D和点E.
求证：PD = PE.
证明：∵OC平分∠ AOB
∴ ∠EOP= ∠DOP
∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°
A
O
B
C
P
D
E
已知：如图，OC是∠AOB 的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D和点E.
求证：PD = PE.
在△PDO 和 △PEO中
∠EOP＝∠DOP， ∠PDO＝∠PEO，OP＝OP
∴ △PDO≌△PEO（A.A.S.）
∴ PD＝PE
A
O
B
C
P
D
E
角平分线上的点到角两边的距离相等.
符号语言：
∵ ∠1= ∠2， PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD=PE
探索
这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
条件 结论
性质定理
逆命题
一直线是一角的平分线
该直线上的点到角两边的距离相等
点到角两边的距离相等
该点在线段的角平分线上
逆命题是否是一个真命题？
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE.
求证：点Q在∠AOB的平分线上.
证明：过点O、Q作射线OQ.
∵OQ⊥OA，QE⊥OB，
∴∠QDO＝∠QEO＝90°
在Rt△QDO和Rt△QEO中，
A
O
B
Q
D
E
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE.
求证：点Q在∠AOB的平分线上.
∵OQ＝OQ，QD＝QE，
∴Rt△QDO≌Rt△QEO（H.L.）
A
O
B
Q
D
E
∴∠DOQ＝∠EOQ
∴点Q在∠AOB的平分线上.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
角平分线的性质定理与判定定理互为逆定理
A
O
B
Q
D
E
如何证明“三角形三条边的角平分线交于一点”？
只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了.
A
B
C
F
I
D
G
E
H
O
AO是∠BAC的平分线
BO是∠ABC的平分线
OI＝OH
OG＝OI
OG＝OH
点O在∠BCA的平分线上
试试看，现在你会证明了吗？
A
B
C
F
I
D
G
E
H
O
1. 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等.
随堂练习
提示：作∠AOB的平分线OP，它与l的交点P，即为所求的点.
A
B
O
l
P
2.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上.
A
B
C
D
E
F
证明：作FG⊥AC，FH⊥BC，FM⊥AB﹐垂足分别为G、H 、M .
G
H
M
∵ CF平分∠ECB，BF平分∠CBD
∴ FG＝FH＝FM
∴点F在∠DAE的平分线上.
课堂小结
这节课我们学到了什么？
①掌握了角平分线的性质定理及其逆定理.
②利用角平分线性质定理证明两条线段相等.