射洪中学高2023级强基班高一下期期末考试
数学答案
一、单选题：
D B B A D C D
8题【详解】六面体每个面都是等边三角形且每个面的面积，
由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，所以四面体的高为，
所以四面体的体积为，所以六面体的体积为，
根据图形的对称性可知，若内部丸子的体积最大，则丸子与六个面都相切，
连接丸子的球心与六面体的五个顶点，将六面体分为六个三棱锥，设此时丸子的半径为，
所以，所以，
所以丸子的体积为，
二、多选题：
ABC ACD BCD.
三、填空题：
1800
14. 【详解】由题意知，三棱锥的外接球半径为4，故，且，
由勾股定理由，
由题意知，，的伴随球是以，为切线，
故的最大值和最小值分别为5和1，
当三点共线且线段之间时取得最大值，
当三点共线且在线段之外，满足时取得最小值，故球的半径的取值范围为
，的伴随球的体积的取值范围是
四、解答题：
15．（13分）【详解】（1），
令，则，所以函数的单调递减区间为：．
（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再将图象向左平移个单位，得到的图象，因为，所以，
所以的值域为．
16．（15分）【详解】（1）由题意可知：，解得，
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数为，因为，
设第25百分位数为，则，则，解得，故第25百分位数为63．
（2）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，且两组频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．
17．（15分）【详解】（1）因为，根据正弦定理有，
所以，即，
，即，又，所以，因为，所以，由及余弦定理得，即，又因为，所以，
所以，所以，即，所以
（2）因为是的中点，所以，则，
因为，，由余弦定理有：，即，所以由正弦定理得： ，
即，
因为，所以，所以，所以，所以，所以，
所以，即边上的中线的取值范围为.
18．（17分）【详解】（1）∵且，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，所以平面.
（2）∵平面，平面，∴，
连接，∵且，∴四边形为平行四边形，
∵，，∴平行四边形为正方形，∴，
又，∴，又，面，∴面，∵面，∴平面平面.
（3）∵平面，平面，∴，
又，，平面，∴平面，
因为平面，∴∴为二面角的平面角，从而，所以，作于，连接，∵平面平面，平面，
平面平面，∴面，所以为直线与平面所成角，在直角中，，，，∴，因为面，面，所以，在直角中，，，∴，则直线与平面所成角的正切值为.
19. （17分）【解析】（1）解：因为与同向，设，
则，
又∠GAB，．因为，所以，所以，由，得，又，所以，．
（2）由（1）知，．所以，因为，，，所以，，，则，解得所以C的坐标为．
（3）设BC中点为D，则，又，
所以，即G为的重心，又是正三角形，点G是的中心，
所以，，，
由对称性，不妨设与的夹角为，，如图所示，，
，由图可知，与，与的夹角分别为，，所以，的值分别为，，
当时，，
所以，其取值范围是．
所以的取值范围是．射洪中学高2023级强基班高一下期期末考试
数学试题
（时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的。
1.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.在正方体中，直线与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，在中，，若的水平放置直观图为，则的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.改革后，其他收入减少
B.改革后，外出打工收入是改革前的
C.改革后，养殖收入增加了一倍
D.改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大
6.射洪市花果山登云楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地。射洪中学高一强基班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高AE，在B处测得楼顶A仰角为37°，向右前行25米到达点D，此时测得楼顶A的仰角为74°，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为1:，则楼高为() （ ）
A.24米
B.23.5米
C.23.65米
D.22.65米
7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状是（ ）
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
8.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（ ）.
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.对于两个平面，和两条直线m，n，下列命题中假命题是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，，则 D.若，，，则
10.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.函数最小正周期为
B.
C.在区间上单调递减
D.方程在区间内有个根
11.如图，在正方体中，，均为所在棱的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.平面
B.三棱锥的体积为
C.过三点的平面截正方体所得截面的面积为
D.若，则点的轨迹长度为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人.已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 人.
13.已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的体积为_________.
14.A，B，C，D为球面上四点，，分别是，的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，它的两条边，的长度分别为和，则，的伴随球的体积的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求函数的取值范围.
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16.（15分）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.
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17.（15分）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，.
（1）若，求边上的角平分线长；
（2）求边上的中线的取值范围.
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18.（17分）如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.
(1)证明：平面
(2)求证：平面平面
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.
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19.（17分）若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组.已知点A，B，C是可交换点组.
（1）求∠BAC；
（2）若，，，求C的坐标；
（3）记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围.
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