安徽省怀宁县新安中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷（含答案）

新安中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷
试题范围： 高中数学必修一、二 册 （侧重第二册）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（ ）
A．90 B．88 C．82 D．76
3．若圆台的高是，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成角的大小为，则这个圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
4．从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：），甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165.据此估计甲、乙两班学生的平均身高，及方差，的关系为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．设为锐角，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角对应的边分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
8．如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．若函数，则（ ）
A．函数的一个周期为 B．函数的图象关于轴对称
C．函数在区间上单调递减 D．函数的最大值为2，最小值为0
10．一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件是互斥事件 B．事件A与事件是互斥事件
C．事件A与事件相互独立 D．事件与事件是对立事件
11．如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若点在线段上，则四面体的体积为定值
C．若，则点轨迹的长度为
D．若点在直线上，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．若，，，的方差为2，则，，，的方差为 .
13．若，为单位向量，且，则在方向上的投影向量为 ．
14．在三棱锥中，平面平面是边长为4的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．如图，在菱形中，.
(1)若，求的值；
(2)若，，求.
16．已知角，满足，，且，.
(1)求的值；
(2)求的大小.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．
18．如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若二面角的大小为，求点到平面的距离.
19．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若是边长为1的等边三角形﹐点在棱上，，且三棱锥的体积为，求侧面与底面所成二面角的余弦值．
参考答案：
1．B
2．A
3．.
4．D
5．B
6．B
7．D因为点是线段的中点，则，
则，
因为三点共线，所以，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.故选：D
8．B直三棱柱的体积为6，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得，
即到平面的距离为.
故选：B.
9．ABC
，
故的一个周期为，A正确；
B选项，定义域为R，
，
故函数的图象关于轴对称，B正确；
C选项，当时，，在上单调递增，
故，
由于在上单调递减，
由同增异减，可知在区间上单调递减，C正确；
D选项，当时，，，
当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为0，
又的图象关于轴对称，的一个周期为，
故在R上的最大值为，最小值为0，D错误.
故选：ABC
10．AC
由题意可知：样本空间，
则，可得，
对于选项A：因为，所以事件A与事件是互斥事件，故A正确；
对于选项B：因为，所以事件A与事件不是互斥事件，故B错误；
对于选项C：由选项B可知，则，
可知，所以事件A与事件相互独立，故C正确；
对于选项D：因为，
所以事件与事件不是对立事件，故D错误；
故选：AC.
11．ABD
连接，由菱形可得，
再由直棱柱，可得底面，
又因为底面，所以，而，
所以平面，又因为平面，所以，故A正确；
取的中点为，连接，又由点为的中点，可得，
而，所以，即四点共面，
由平面，平面，所以平面，
因为动点，所以动点到平面的距离不变，
又因为三点固定，则四面体的体积为定值，故B正确；

动点在侧面内（包含边界），过作，垂足为，
由直棱柱，易证明平面，
而侧面，即有，
由菱形边长为2，，可得，
再由勾股定理得：，则点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，
则由侧面正方形，可知，，可得，
所以点的轨迹的圆弧长为，故C错误；
利用直棱柱的所有棱长为，可计算得：
再把这三角形与三角形展开成一个平面图，如下图：
先解三角形，由余弦定理得：，
利用平方关系得：，
所以，
再由余弦定理得：，
即，故的最小值为，故D正确；
故选：ABD．
12．18
方法一：因为，，，的方差为2
所以，，，的方差为；
方法二：设，，，的平均数为，则，
显然，，，的平均数为：，
所以它们的方差为,
故答案为：18.
13．
，为单位向量，且，
则，即，解得，
在方向上的投影向量为：．
故答案为：．
14．/
在中，，由余弦定理得，
即，解得，
所以，所以，
取的中点，连接，则.
记的外接圆的圆心为，又是等边三角形，
所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以，
所以为三棱锥的外接球的球心，为三棱锥的外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）因为在菱形中，.
故，
故，所以.
（2）显然，
所以
①，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
故①式.
故.
16．(1)
(2)
（1）因为，，所以，
所以，；
因为，所以；
所以.
（2）因为，，所以；
因为，所以，故，
所以；
又因为，所以，；
所以，
又因为，所以.
17．(1)
(2)
（1）因为，
由正弦定理得，
所以
，
又，所以，所以，即，
所以，可得，
所以或，
又，所以．
（2）由正弦定理，可得，
所以，
所以，
又由为锐角三角形，且，则，解得，
因为在上单调递增，所以，
所以，即的面积的取值范围是．
18．（1）因为，，为的中点，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）连接，因为，，为的中点，
则，所以四边形为菱形，所以，
又，所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（3）因为平面，平面，
所以，，，又，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以为二面角的平面角，即，
所以为等腰直角三角形，
所以，又，，，
所以，又平面，平面，所以，
所以，
设点到平面的距离为，则，即，
即，解得，即点到平面的距离为.
19．（1）在三棱锥中，因为，为的中点，
所以，又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面；
（2）因为点在棱上，，
又三棱锥与三棱锥底面积相同，高之比等于，
所以体积之比也为，
所以，又平面，所以为三棱锥的高，
又是边长为1的等边三角形，所以，
所以，
所以，解得，
取的中点，连接、，则，又平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以为侧面与底面所成二面角的平面角，
又，，平面，平面，所以，
所以，所以，
所以侧面与底面所成二面角的余弦值为.