2022级高二年级教学测评月考卷（八)
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分.第I卷第1页至第3
页，第Ⅱ卷第3页至第4，页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，
考试用时120分钟
第I卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
题卡上填写清楚，
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的)
1.甲、乙、丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决
定从政治、历史、地理、生物中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的
选法种数为
A.A
B.3C
C.34
D.4
2.某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是
男生
女生
篮球迷
30
15
非篮球迷
45
10
n(ad-bc)2
附：K=(a+b)(c+d)(a*e)(6+d)'
其中n=a+btc+d.
a
0.10
0.05
0.01
Xa
2.706
3.841
6.635
A.没有95%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B.有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
高二数学·第1页（共4页）
3.某工厂5月份生产5000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布
N(1000,σ2)，已知P(X>1200)=0.1,则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以
上的个数约为
A.4400
B.4500
C.4600
D.4900
第3
4已知等比数列{a,的前n项积为T,“1=32,公比g=2,则T,取最大值时n的值为
分，
A.3
B.6
C.4或5
D.5或6
5.已知元1=(5，x,2),2=(3,-3,25)分别是平面a,B的法向量，若a上B,则
x三
A.-7
B.-1
C.7
D.1
6.已知随机变量专的分布列如表：
5
-2
0
2
生答
6
a
b
c
动，
其中a,b,c成等差数列，则P(||=2)的值是
A号
B.2
D.
3
7.已知x(x-2)7=ao+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+ag(x-1),则a6-a5=
项
A.-14
B.28
C.14
D.-28
决
,设，B,为椭圆+=1的两个焦点，点P在此椭圆上，且P丽·P丽=-8，则
的
△PF,F2的面积为
A.4
B.42
C.45
D.8
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有
多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.某学校一名同学研究温差x(℃)与本校当天新增感冒人数y(人)的关系，该同学记录
了5天的数据：
5
6
8
9
12
y
17
20
25
28
35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程y=2.6x+à，则下列说法正确的有
(参考公式：相关系数公式r=
8 (
(,-)2含列2
A.样本中心点为(8,25)
B.a=4.2
C.当x=5时，残差为-0.1
D.若去掉样本点(8,25)，则样本的相关系数r增大
高二数学·第2页（共4页)2022 级高二年级教学测评月考卷（八）
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题所给的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B D C A B C
【解析】
1．根据题意，甲、乙、丙三名高一学生需要在 4 门科目中任选一科作为自己的第三门高考选
考科目，即每人有 4 种选法，则 3 人有 4 4 4 43 种不同的选法，故选 D．
2．根据题目中的列联表数据，
男生 女生 合计
篮球迷 30 15 45
非篮球迷 45 10 55
合计 75 25 100
2 n(ad bc)
2 100 (30 10 45 15)2
得到 3.030 3.841，所以，没有
(a b)(c d )(a c)(b d ) 75 25 45 55
95%的把握认为是否是篮球迷与性别有关，故选 A．
3．∵灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布 N (1000， 2 ) ，且 P(X 1200) 0.1，
∴ P(X 800) (X 1200) 0.1，∴ P(X ≥800) 1 P(X 800) 1 0.1 0.9 ，∴工厂该
月生产灯泡寿命在 800 小时及其以上的个数约为5000 0.9 4500 个，故选 B．
4 1 1．等比数列{an}的前 n项积为Tn ， a1 32，公比 q ，则 a a q
4 2， a 1， a ，
2 5 1 6 7 2
故Tn 取最大值时 n的值为 5 或 6，故选 D．
5 ． 因 为 n1 ( 3，x，2) ， n2 (3， 3，2 3) ， 又 ， 所 以 n1 n2 ， 所 以
n1 n2 3 3 x ( 3) 2 2 3 0，解得 x 7 ，故选 C．
6 a c．因为 a， b ， c 成等差数列，所以 b ，根据随机变量分布列的性质： a b c 1，
2
3(a c) 2 2
所以 1 a c ，所以 P(| | 2) P( 2) P( 2) ，故选 A．
2 3 3
高二数学参考答案·第 1 页（共 7 页）
{#{QQABDYCEggCgQIAAAAgCAQ3ICAIQkBCACagGwBAAoAAAQAFABAA=}#}
7．令 x 1 t ，整理得： (t 1)(t 1)7 a a 2 80 1t a2t a8t ，∵ a5与 a6 分别是展开式中 t
5
与 t6 的系数， (t 1)7 展开式的通项公式为T Cr t7 r rr 1 7 ( 1) ，∴ a5 C
3
7 ( 1)
3 C27 ( 1)
2
14， a C2 2 16 7 ( 1) C7 ( 1) 14，∴ a6 a5 28，故选 B．
2 2
8．设 P(x，y) x y，则满足 1， c 16 4 2 3 ，取 F1( 2 3，0)， F2 (2 3，0) ， 16 4
∵ PF1 PF2 8 ，∴ ( 2 3 x， y) (2 3 x， y) x
2 12 y2 8 ，即 x2 y2 4，联
x2 y2
1， 1
立 16 4 解得 | y | 2 ，则△PF1F2 的面积为 | F1F2 | | y |
1
4 3 2 4 3 ，故选C．
2 2 2 2
x y 4，
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11
答案 AB ACD ABD
【解析】
9 x 5 6 8 9 12 17 20 25 28 35． 8， y 25，所以样本中心点为 (8，25) ，故 A
5 5
正确；由 y 2.6x a ，得 a y 2.6x 25 2.6 8 4.2 ，故 B 正确；由 B 知，y 2.6x 4.2，
当 x 5 时， y 2.6 5 4.2 17.2，则残差为17 17.2 0.2 ，故 C 错误；因为 x3 x 8，
y3 y 25，x3 x 0 ，y3 y 0 ，所以 (x3 x )(y3 y) 0 ，(x3 x )
2 0，(y y)23 0，
所以去掉样本点 (8，25) 后，相关系数 r 的公式中的分子、分母的大小都不变，故相关系数
r 的大小不变，故 D 错误，故选 AB．
10．对于 A，由直线 l 的方程 kx y 1 0，可知直线 l 恒经过定点 P(0，1)，故 A 正确；对于
B ，由圆 M 的方程 (x 1)2 (y 2)2 4 ，可得圆心 M (1，2) ，半径 r 2 ，又由
| CM | (0 1)2 (0 2)2 5 3 1 2 ，所以圆M 与圆C ：x2 y2 1相交，圆M 与圆
C ： x2 y2 1有两条公切线，故 B 错误；对于 C，由 | PM | 2 ，根据圆的性质，可得
当直线 l 和直线 PM 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为 2 4 2 2 2 ，故 C 正
确；对于 D，将圆心M (1，2)代入直线 l 的方程 x y 1 0，可得1 2 1 0，所以圆M
上存在无数对关于直线 l 对称的点，故 D 正确，故选 ACD．
高二数学参考答案·第 2 页（共 7 页）
{#{QQABDYCEggCgQIAAAAgCAQ3ICAIQkBCACagGwBAAoAAAQAFABAA=}#}
11．对于 A，因为随机变量Y 的方差 D(Y ) 2 ，所以 D(3Y 2) 32 D(Y ) 9 2 18 ，故 A 正
确；对于 B 1 1，因为随机变量 X 服从二项分布 B n，2
，所以 E(X ) n ，因为 E(3X 1) 6，
3
所以3E(X ) 1 1 3 n 1 6，得 n 5 ，故 B 正确；对于 C，因为随机变量 服从正态分
3
布 N (5， 2 ) ， P( ≤ 2) 0.1，所以 P(2 8) 2[0.5 P( ≤ 2)] 2 (0.5 0.1) 0.8 ，
故 C 错误；对于 D，因为事件 A 与 B 相互独立，且 P(A) 0.5 ， P(B) 0.2 ，所以
P(AB) P(A)P(B) P(A)[1 P(B)] 0.5 (1 0.2) 0.4，故 D 正确，故选 ABD．
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
题号 12 13 14
1
答案 4 8.6 2，2
e
【解析】
12．∵随机变量 X B(100，0.8)，∴ D(X ) 100 0.8 (1 0.8) 16，∴ (X ) D(X ) 4．
13 x 8.2 8.6 10 11.3 11.9 10 y 6.2 7.5 t 8.0 9.7 31.4 t． ， ，∴样本点的中心
5 5 5
的坐标为 10
31.4 t
， ，代入 y 0.76x 0.4
31.4 t
，得 0.76 10 0.4 ，解得 t 8.6．
5 5
14．∵关于 x 的方程 2x2 x ln x ln x ax2 有两个不相等的实数根 关于 x 的方程 2 a 有两
x
ln x 1 ln x
个不相等的实数根，令 g(x) 2 ，则 g (x) 2 0 x e ，∴函数 g(x) 在 (0，e)x x
1
上为增函数，在 (e， ) 上为减函数，又 g(1) 2 ，g(e) 2 ，当 x 时，g(x) 2，
e
a 2 2 1 ∴实数 的取值范围为 ， ．
e
高二数学参考答案·第 3 页（共 7 页）
{#{QQABDYCEggCgQIAAAAgCAQ3ICAIQkBCACagGwBAAoAAAQAFABAA=}#}
四、解答题（共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）零假设为 H0 ：性别与锻炼的经常性无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到
2 200 (20 60 80 40)
2
9.524 7.879 x ， …………………………（3 分）
100 100 60 140 0.005
根据小概率值 0.005 的独立性检验，我们推断 H0 不成立，
即认为性别与锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.005．
………………………………………………………………（5 分）
（Ⅱ）根据分层抽样可知，随机抽取的 7 名同学中男生 3 人，女生 4 人，
随机变量 X 所有可能的取值分别为 0，1，2，3， ………………………………（6 分）
C0C3 4 C1C2 18
根据古典概型的知识，可得 P(X 0) 3 43 ， P(X 1)
3 4
C 3
，
7 35 C7 35
2 1 3 0
P(X 2) C3C 4 123 ，P(X 3)
C
3
C4 1
3 ， ………………………………（10 分） C7 35 C7 35
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
4 18 12 1
P
35 35 35 35
…………………………………………………………………（11 分）
所以 E(X ) 4 0 1 18 12 2 3 1 9 ． ……………………………（13 分）
35 35 35 35 7
16．（本小题满分 15 分）
解：（Ⅰ）∵ an 1 Sn 2，
∴当 n≥ 2 时， an Sn 1 2，
两式相减，得 an 1 an an ，即 an 1 2an ，……………………………………………（4 分）
又∵ a1 2，
∴ a2 S1 2 2 2 4 ，满足上式，
即数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
所以 a 2nn ． ………………………………………………………………………（8 分）
2 2
（Ⅱ）∵bn log a n
2 n log2 an 2 log2 2 log2 2
n 2
高二数学参考答案·第 4 页（共 7 页）
{#{QQABDYCEggCgQIAAAAgCAQ3ICAIQkBCACagGwBAAoAAAQAFABAA=}#}
2 1 1
， ………………………………………………………………（11 分）
n(n 2) n n 2
∴Tn b1 b2 bn
1 1 1 1
1 1 1 1
3 2 4 n 1 n 1 n n 2
1 1 1 1
2 n 1 n 2
3 1 1
． ………………………………………………………………（15 分）
2 n 1 n 2
17．（本小题满分 15 分）
（Ⅰ）证明：抛物线的焦点坐标为 F (1，0)，……………………………………………（1 分）
设直线 l 的方程为 x my 1，点 P(x1，y1) ，Q(x2，y2 ) ，
y2 4x，
联立 2 消去 x得 y 4my 4 0 ，则 16m2 16 0，
x my 1，
所以 y1 y2 4m， y1y2 4， ………………………………………………………（4 分）
因为M ( 1 y，y1) ，所以 k 1OM y1， ………………………………………（5 分） 1
k y y
2 4
又 OQ
2 ， x 2
x 2
， y1 ，
2 4 y2
k k y y2 4 y 4所以 OM OQ 1 2 0， ………………………………………（7 分） x2 y2 y22
即 kOM kOQ ，
所以O，Q，M 三点共线． ……………………………………………………（8 分）
（Ⅱ）解：因为 PF 16FO ，所以 y1 16y2 ， ………………………………（9 分）
1
于是 y 21 y2 16y2 4 ，即 y2 ， ………………………………………（11 分） 2
m y1 y2 16y2 y2 15y2 15所以 ，………………………………………（13 分）
4 4 4 8
所以直线 l 的方程为8x 15y 8 0． ………………………………………………（15 分）
18．（本小题满分 17 分）
（Ⅰ）解：记事件“第 i 次摸到红球” Ai (i 1，2，3， ，10) ，
则第 2 次摸到红球的事件为 A2 ，
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{#{QQABDYCEggCgQIAAAAgCAQ3ICAIQkBCACagGwBAAoAAAQAFABAA=}#}
4 2 1 3 4
由题意可得， P(A1) ， P(A | A ) ， P(A ) ， P(A | A10 5 2 1 3 1 5 2 1
) ，
9
………………………………………………………………………（3 分）
所以 P(A2 ) P(A1)P(A2 | A1) P(A )P(A
2 1 3 4 2
1 2 | A1) ． 5 3 5 9 5
………………………………………………………………………………（6 分）
P(AB) P(ABC)
（Ⅱ）证明：因为 P(B | A) ，P(C | AB) ， ……………………（9 分）
P(A) P(AB)
所以 P(A)P(B | A)P(C | AB) P(A) P(AB) P(ABC) P(ABC)．
P(A) P(AB)
………………………………………………………………………………（12 分）
4 2 1 1
（Ⅲ）解：由题意可知， P(A1) ， P(A | A ) ， P(A | A A ) ， 10 5 2 1 3 3 1 2 4
………………………………………………………………………………………（14 分）
由（Ⅱ）中结论 P(ABC) P(A)P(B | A)P(C | AB) ，
可得 P(A 2 1 1 11A2 A3 ) P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2 ) ． 5 3 4 30
………………………………………………………………………………………（17 分）
19．（本小题满分 17 分）
（Ⅰ）解：当 a 0时，则 f (x) x ln x ，其定义域为 (0， )，
………………………………………………………………………（1 分）
f (x) 1 1 x 1 ，……………………………………………………………………（2 分）
x x
当 0 x 1时， f (x) 0 ；当 x 1时， f (x) 0； ………………………………（3 分）
可知 f (x) 在 (0，1)内单调递减，在 (1， ) 内单调递增，
所以函数 f (x) 的最小值为 f (1) 1． ………………………………………………（5 分）
（Ⅱ）证明：当 a 1时，则 f (x) 1 x2 2x ln x ，
2
1
构建 g(x) f (x) 4ln x x2 2x 3ln x ， x [1，3]，
2
…………………………………………………………………………………（6 分）
g (x) 3 (x 1)(3 x)则 x 2 ≥0在[1，3] 内恒成立， ………………………（7 分）
x x
高二数学参考答案·第 6 页（共 7 页）
{#{QQABDYCEggCgQIAAAAgCAQ3ICAIQkBCACagGwBAAoAAAQAFABAA=}#}
可知 g(x)在[1，3] 3内单调递增，则 g(x)≥ g(1) 0 ，
2
所以当 x [1，3]时， f (x) 4ln x ．……………………………………………………（9 分）
f (x) (0 ) f (x) ax (1 a) 1 (x 1)(1 ax)（Ⅲ）解：因为 的定义域为 ， ，且 ，
x x
……………………………………………………………………………………（10 分）
令 f (x) 1 0，解得 x 1或 x 0 ， ………………………………………………（11 分）
a
1 1 1 ①当 ，即 a 1时， f (x) 的单调递减区间为 0， ， (1， ) ，单调递增区间为a a
1
，1 ； ………………………………………………………………………（13 分）
a
1
②当1 ，即 a 1时， f (x) 的单调递减区间为 (0， )，无单调递增区间；
a
……………………………………………………………………………………（15 分）
1 1
③当1 ，即 0 a 1时， f (x) 的单调递减区间为 (0，1) ， ， ，单调递增区间为a a
1
1， ． ……………………………………………………………………（17 分）
a
高二数学参考答案·第 7 页（共 7 页）
{#{QQABDYCEggCgQIAAAAgCAQ3ICAIQkBCACagGwBAAoAAAQAFABAA=}#}
