2023-2024学年北京市中国人民大学附属中学高二下学期数学统练4试题（含答案）

2023-2024学年北京市中国人民大学附属中学高二下学期数学统练4试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某选修课有门体育课程和门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.已知等比数列满足，，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知离散型随机变量的分布列如下：
则其数学期望等于( )
A. B.
C. D.
4.若随机变量，则( )
A. B. C. D.
5.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为( )
A. B. C. D.
6.若抛物线的焦点到直线的距离为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则( )
A. 两人都成功破译的概率为 B. 两人都成功破译的概率为
C. 密码被成功破译的概率为 D. 密码被成功破译的概率为
8.已知正项等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.有一支医疗小队由名医生和名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生名和护士名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有种．
A. B. C. D.
10.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中单位：是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若随机变量服从二项分布，则 ．
12.袋中装有个黑球，个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是 ．
13.某项羽毛球单打比赛规则是局胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为 ．
14.从双不同尺码的鞋子中任取只，使其中至少有只能配成一双，则有 种不同的取法．
15.已知数列满足，给出下列四个结论：
数列每一项都满足；
数列是递减数列；
数列的前项和；
数列每一项都满足成立．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
时长小时
人数
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，
从该校高二学生中随机选取人，估计该生可以在小时内完成各科作业的概率；
从样本“完成各科作业的总时长在小时内”的学生中随机选取人，其中共有人可以在小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望；
从该校高二学生学生人数较多中随机选取人，其中共有人可以在小时内完成各科作业，人在小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系．
17.本小题分
已知函数在点处的切线方程为．
求、的值：
求函数的单调区间；
令，若函数的极小值小于，求的取值范围．
18.本小题分
设是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称为自邻集记集合的所有子集中的自邻集的个数为．
直接写出的所有自邻集；
若为偶数且，求证：的所有含个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
若，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：设“从该校高二学生中随机选取人，这个学生可以在小时内完成各科作业”为事件，
所以
因为样本中“完成各科作业的总时长在小时内”的学生有人，
其中可以在小时内完成的有人，
若从这人中随机取人，
则的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
所以的数学期望为
由题意可知，∽，∽，
所以，，
所以
17.因为，所以，
又函数在点处的切线方程为，
所以，即，解得．
由可得定义域为，
所以，
所以当时，当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
因为定义域为，
则，
当，即时恒成立，所以在定义域上单调递增，不符合题意；
对于方程，当，即时恒成立，
所以恒成立，所以在定义域上单调递增，不符合题意；
当则时方程有两个不相等的正实数根、，
不妨设，则且
所以当或时，当时，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
此时在处取得极大值，在处取得极小值，
则，
令，，则，
所以在上单调递减，所以，
即，所以．

18.由题意可得，的所有自邻集有：；
对于的含个元素的自邻集，
不妨设．
因为对于，都有或，，，，，，
所以，，或．
对于集合，
因为，所以，，，，，，
，
所以．
因为，，或．
所以，，
或，
所以对于任意或，，，，，，
所以集合也是自邻集．
因为当为偶数时，，
所以．
所以对于集合的含个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有个元素的自邻集与其对应．
所以，的所有含个元素的子集中，自邻集的个数是偶数．
记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，
当时，，，
显然．
下面证明：．
自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为
因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是，
所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为．
自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素，
记自邻集除，之外最大元素为，则，每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集．
此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为个；
其中含有最大数为的集合个数为，
含有最大数为的集合个数为，，
含有最大数为的集合个数为．
则这样的集合共有个
自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有个．
综上可得，
所以，
故时，得证．

第1页，共1页