2023－2024 学年第二学期高一年级期末测试
数学试卷
命题：高一数学备课组 审核：朱骏
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知 i为虚数单位，复数 z满足|z|＝1，则|z－i|的最大值为 ( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
2．已知数据 3，7，a，6的平均数是 4，则这组数据的标准差为 ( )
A 15． B 29 C 30 D 29． ． ．
2 4 2 2
3．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是 3”，
B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是 4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正
面向上的点数之和是 7”，则 ( )
A． A与 B互斥 B． B与 C互为对立 C． A与 B相互独立 D． A与 C相互独立
4．已知两个不重合的平面α，β和三条不重合的直线 a，b，c，则下列四个命题中正确的是
( )
A．若 a∥b，b α，则 a∥α B．若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c
C．a∥β，b∥β，a α，b α，则α∥β D．a∥α，a β，α∩β＝b，则 a∥b
5．已知 sin(θ π＋ )＝2cosθ，则 tan2θ＝ ( )
6
A 3． B． 3 C．－ 3 D．2 3
3
6．已知非零向量 a，b 满足(a－b)⊥(a＋2b)，且 2|a|＝3|b|，则向量 a，b 的夹角的余弦值
为 ( )
A 1 3 1 3．－ B．－ C． D．
6 8 6 8
7．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 3，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且 EF＝ 2，
则三棱锥 A－BEF的体积是 ( )
A 3 B 3 2 C 2 D 1． ． ． ．
2 2 2 2
8．如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，
直径分别为直角三角形 ABC的斜边 AB，直角边 BC，AC，N为 AC的中 D
点，点 D在以 AC为直径的半圆上，已知 cos DNC 7∠ ＝ ，cos DAB 33 C∠ ＝ ，
25 65
N
A B
{#{QQABZYIEogAgAIIAAQgCAQWICkEQkAGAAagGhEAEoAAAQQNABAA=}#}
则以直角边 AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为 ( )
A．16：9 B．144：25
C．225：64 D．160：81
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分．
9． 已知复数 z1，z2，下列说法正确的是 ( )
A － －． 若 z1＝ z2，则 z1＝z2 B． 若|z1|＝|z2|，则 z21＝z22
－
－z1 z1C z － －．若 2≠0，则( )＝ D． 若|z |＝|z－ 1 2|，则 z1· z1＝z2· z2z2 z2
10．已知向量 a＝( 3，sinθ)，b＝(cosθ，1)，0≤θ≤π，下列说法正确的是 ( )
A．若 a⊥b，则 tanθ＝－ 3
B．a 与 b 一定不是平行向量
C．|a＋b|的最大值为 2 2
D 2 5π．若|a|＝ 6|b|，且 b 在 a 上的投影向量为－ a，则 a 与 b 的夹角为
4 6
11．如图，四边形 ABCD是边长为 2a的正方形，点 E，F分别为边 BC，CD的中点，将
△ABE，△ECF，△FDA分别沿 AE，EF，FA折起，使 B，C，D三点重合于点 P，则
( )
A．AP EF D F⊥ C P
B．点 P在平面 AEF内的射影为△AEF的外心
F
C．二面角 A－EF 1 E －P的正弦值为
3 E
D．四面体 P－AEF的外接球的体积为 6πa3 A B A
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．在正四棱台 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝ 2，则该棱台的体积为
__________．
13 2 3 2．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为 ， ， ，那么三人中恰有两人
3 4 5
合格的概率是_________．
14．如图，在△ABC中，D是 BC的中点，E在 AB边上，BE＝2EA，AD与 CE交于点 O，
→
若AB ·→AC 6→→＝ AO·EC AB，则 的值是_________． A
AC
E
O
B D C
{#{QQABZYIEogAgAIIAAQgCAQWICkEQkAGAAagGhEAEoAAAQQNABAA=}#}
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(13分)
已知复数 z＝1－i．
(1)若 z z1＝ ，求 z1；
3－4i
(2)若|z2|＝2，且 z·z2是纯虚数，求 z2．
16．(15分)
某学校承办了 2024年某次大型体育比赛的志愿志选拔面试工作．现随机抽取了 100名
候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45，55)，第二组[55
65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，
绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组
的频率之和为 0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求 a、b的值，并估计这 100名候选者面试成绩的中位
数；
(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取 5人，
然后再从这 5人中选出 2人，求选出的两个来自同一组概
率．(要求列出样本空间进行计算)
{#{QQABZYIEogAgAIIAAQgCAQWICkEQkAGAAagGhEAEoAAAQQNABAA=}#}
17．(15分)
如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，M为棱 AC的中点，
AB＝BC，AC＝ 2AA1． B1
(1)求证：B1C//平面 A1BM； A1 C1
(2)求证：AC1⊥平面 A1BM．
B
A M C
{#{QQABZYIEogAgAIIAAQgCAQWICkEQkAGAAagGhEAEoAAAQQNABAA=}#}
18．(17分)
如图，已知△ABC中，AC＝4，∠BCA＝90°，∠BAC＝60°，M，N为线段 AB上两点，
且∠MCN＝30°．
(1) →若 CM⊥AB，求CM·→CB的值；
(2)设∠ACM＝θ，试将△MCN的面积 S表示为θ的
函数，并求其最大值．
(3)若 BN 6＝ AM，求 cos∠ACM的值．
8
{#{QQABZYIEogAgAIIAAQgCAQWICkEQkAGAAagGhEAEoAAAQQNABAA=}#}
19．(17分)
已知如图一，在矩形 ABCD中，AB＝ 5，AD＝2 5．将△ABD沿 BD折起，得到大小
为θ的二面角 A'－BD－C． O
A D A' F
D
E
B C B C G
图一 图二
(1)当θ π＝ 时，求 A'C与平面 BCD所成角的正切；
2
(2)当θ π＝ 时，求 B到平面 A'CD的距离；
2
(3)①当 cosθ 1＝ ，求 cos∠A'BC的值．
3
②如图二，在三棱锥 O－EFG中，已知∠OEF＝α，∠FEG＝β，∠OEG＝γ，二面角
O－EF－G的大小为θ．试直接写出利用α，β，γ的三角函数表示 cosθ的结论，不需要证
明． A'
D
H
B C
{#{QQABZYIEogAgAIIAAQgCAQWICkEQkAGAAagGhEAEoAAAQQNABAA=}#}2023－2024 学年第二学期高一年级期末测试
数学试卷
命题：高一数学备课组 审核：朱骏
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知 i为虚数单位，复数 z满足|z|＝1，则|z－i|的最大值为 ( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】B
【解析】设复数 z在复平面内所对的点为 Z，由|z|＝1知，Z在以 (0，0)为圆心，半径为 1
的圆上，|z－i|表示点 Z与(0，1)的距离，∴|z－i|max＝1＋1＝2．故选 B．
2．已知数据 3，7，a，6的平均数是 4，则这组数据的标准差为 ( )
A 15 B 29 C 30 29． ． ． D．
2 4 2 2
【答案】C
3＋7＋a＋6 4 a 0 (3－4)
2＋(7－4)2＋(0－4)2＋(6－4)2 30
【解析】由 ＝ ，得 ＝ ，方差＝ ＝ ，故
4 4 4
30
标准差＝ ．故选 C．
2
3．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是 3”，
B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是 4”，C表示事件“两次抛掷，骰子
正面向上的点数之和是 7”，则 ( )
A． A与 B互斥 B． B与 C互为对立 C． A与 B相互独立 D． A与 C相互独立
【答案】D
【解析】显然选项 A，选项 B错误．对于选项 C与 D，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有
可能情况为 36 6 1 3 1种，P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ＝ ，P(C) 6 1 P(AB) 1 P(AC) 1＝ ＝ ， ＝ ， ＝ ．由
36 6 36 12 36 6 36 36
于 P(AB)≠P(A)P(B)，P(AC)＝P(A) P(C)，所以 A与 B不独立，A与 C相互独立，故选
D．
4．已知两个不重合的平面α，β和三条不重合的直线 a，b，c，则下列四个命题中正确的是
( )
A．若 a∥b，b α，则 a∥α B．若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c
C．a∥β，b∥β，a α，b α，则α∥β D．a∥α，a β，α∩β＝b，则 a∥b
【答案】D
【解析】a∥b，b α时存在 a α的情形，所以选项 A错误；当 a∩c＝A，且 b垂直于 a，c
确定的平面时也满足 a⊥b，b⊥c，所以选项 B错误；对于 C选项，当α∩β＝l时，存
在 a α，b α，且 a∥l，b∥l的情形，此时符合 a∥β，b∥β， 故选项 C错误；根据线
面平行的性质定理，知选项 D正确，故选 D．
5 π．已知 sin(θ＋ )＝2cosθ，则 tan2θ＝ ( )
6
{#{QQABZYIEogAgAIIAAQgCAQWICkEQkAGAAagGhEAEoAAAQQNABAA=}#}
A 3． B． 3 C．－ 3 D．2 3
3
【答案】C
π 3 1
【解析】由 sin(θ＋ )＝2cosθ，得 sinθ＋ cosθ＝2cosθ 3 3，化简得 sinθ－ cosθ＝0，解得 tanθ
6 2 2 2 2
3 2tanθ
2× 3
＝ ，由二倍角公式得 tan2θ＝ ＝ ＝－ 3，故选 C．
1－tan2θ 1－( 3)2
6．已知非零向量 a，b 满足(a－b)⊥(a＋2b)，且 2|a|＝3|b|，则向量 a，b 的夹角的余弦值
为 ( )
A 1 B 3 C 1 D 3．－ ．－ ． ．
6 8 6 8
【答案】A
【解析】∵向量 a，b 满足 (a－b)⊥(a＋2b)，∴(a－b)·(a＋2b)＝0，即 a2＋a·b－2b2＝0，
1
－ b2
∴a·b＝2b2 9－a2＝2b2－ b2 1＝－ b2，∴cos＜a，b a·b 1＞＝ ＝ 4 ＝－ ，故选 A．
4 4 |a||b| 3 2 6b
2
7．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 3，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且 EF＝ 2，
则三棱锥 A－BEF的体积是 C1 B1 ( )
E F
D1 A1
C B
D A
A 3 B 3 2 C 2 1． ． ． D．
2 2 2 2
【答案】A
1
【解析】由于△BEF的高＝BB1＝3，所以△BEF的面积 S＝ × 2×3 3 2＝ ，又 A到平面
2 2
BEF的距离即 A到平面 BB1D1D的距离，所以三棱锥 A－BEF 1 3 2的高＝ AC＝ ，所以
2 2
1 3 2 3 2 3
三棱锥 A－BEF的体积＝ × × ＝ ，故选 A．
3 2 2 2
8．如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角
三角形 ABC的斜边 AB，直角边 BC，AC，N为 AC的中点，点 D在以 AC为直径的半圆
cos DNC 7 33上，已知 ∠ ＝ ，cos∠DAB＝ ，则以直角边 AC，BC为直径的两个半圆的面
25 65
积之比为 D ( )
C
N
A B
A．16：9 B．144：25 C．225：64 D．160：81
{#{QQABZYIEogAgAIIAAQgCAQWICkEQkAGAAagGhEAEoAAAQQNABAA=}#}
【答案】B
DNC 2 DAN cos DAN 1＋cos∠DNC 4【解析】由题意可知∠ ＝ ∠ ，所以 ∠ ＝ ＝ ，sin∠DAN
2 5
1－cos∠DNC 3 33 33 56
＝ ＝ ，因为 cos∠DAB＝ ，所以 sin∠DAB＝ 1－( )2＝ ，
2 5 65 65 65
cos CAB cos( DAB DAN) 33 4 56 3 12∠ ＝ ∠ －∠ ＝ × ＋ × ＝ ，tan∠CAB 5＝ ，所以 Rt△BCA
65 5 65 5 13 12
AC 12
中， ＝ ，所以以直角边 AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为 144：25，故选 B．
BC 5
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分．
9． 已知复数 z1，z2，下列说法正确的是 ( )
A － －． 若 z1＝ z2，则 z1＝z2 B． 若|z1|＝|z2|，则 z21＝z22
－
－ z1
C．若 z z12≠0，则( )＝ D － －． 若|z1|＝|z2|，则 z1· z1＝z2· z2
z2 －z2
【答案】ACD
－ －
【解析】若 z1＝ z2，则 z1与 z2互为共轭复数，所以 z1＝z2，故选项 A正确；不妨取 z1＝1，
z2＝i，则|z1|＝|z2|，而 z12＝1，z22＝－1，所以 z12≠z22，故选项 B错误；根据共轭复数的
性质知，选项 C正确；若|z1|＝|z2|，又|z1|2＝z －1· z － －1，|z2|2＝z2· z2，则 z1· z1＝z2·－z2，故选项
D正确．故选 ACD．
10．已知向量 a＝( 3，sinθ)，b＝(cosθ，1)，0≤θ≤π，下列说法正确的是 ( )
A．若 a⊥b，则 tanθ＝－ 3
B．a 与 b 一定不是平行向量
C．|a＋b|的最大值为 2 2
D 2 5π．若|a|＝ 6|b|，且 b 在 a 上的投影向量为－ a，则 a 与 b 的夹角为
4 6
【答案】ABD
【解析】对于选项 A，若 a⊥b，则 a·b＝ 3cosθ＋sinθ＝0，所以 tanθ＝－ 3，故选项 A正
确；对于选项 B，由于 sinθcosθ＜ 3，所以 sinθcosθ≠ 3，a 与 b 一定不是平行向量，
故选项 B正确；对于选项 C，因为 a＋b＝( 3＋cosθ，sinθ＋1)，所以|a＋b|＝
( 3＋cosθ)2＋(sinθ＋1)2＝ 5＋4sin(θ π) π＋ ，所以当θ＝ 时|a＋b|取得最大值，最大
3 6
3 C D b a a·b a a·b值为 ，故选项 错误；对于选项 ， 在 上的投影向量为 · ＝ ·a＝
|a| |a| |a|2
2a a·b 2 a·b a·b 2－ ，所以 ＝－ ，所以 cos＜a，b＞＝ ＝ 6× ＝ 6×(－ )＝
4 |a|2 4 |a||b| |a|2 4
3
－ ，又 0≤＜a，b＞≤π，所以＜a，b 5π＞＝ ，故选项 D正确．故选 ABD．
2 6
11．如图，四边形 ABCD是边长为 2a的正方形，点 E，F分别为边 BC，CD的中点，将
△ABE，△ECF，△FDA分别沿 AE，EF，FA折起，使 B，C，D三点重合于点 P，则
( )
{#{QQABZYIEogAgAIIAAQgCAQWICkEQkAGAAagGhEAEoAAAQQNABAA=}#}
A．AP⊥EF D F C P
B．点 P在平面 AEF内的射影为△AEF的外心
F
C．二面角 A－EF－P 1 E 的正弦值为
3 E
D．四面体 P－AEF的外接球的体积为 6πa3 A B A
【答案】AD
【解析】对于选项 A，∵AP⊥PF，AP⊥PE，∵PE∩PF＝P，∴AP⊥平面 PEF，∵EF 平面
PEF，∴AP⊥EF，故选项 A正确；对于选项 B，设 P在底面 AEF上的射影为 O，又因
为 AP⊥EF，则 AO⊥EF，同理可证 EO⊥AF，FO⊥AE，即点 P
在平面 AEF内的射影为ΔAEF的垂心，又由△AEF的形状得其垂
心与外心不重合，所以选项 B错误；对于选项 C，设 AO与 EF交
于点 G，易得∠PGA为二面角 A－EF－P的平面角．在 Rt△APG
中，有 cos∠PGA PG 1＝ ＝ ，故选项 C错误；对于选项 D，由于三
AG 3
棱锥 P－AEF的三条侧棱 PA、PE、PF两两互相垂直，且 PA＝2a，
PE＝PF＝a．把该三棱锥补形为长方体，则其对角线长为 22＋12＋12a＝ 6a，则其外
6a V 4接球的半径为 ，则其外接球的体积 ＝ π 6×( a)3＝6πa3，故选项 D正确．故选 AD．
2 3 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．在正四棱台 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝ 2，则该棱台的体积为
__________．
7 6
【答案】
6
【解析】如图，将正四棱台 ABCD－A1B1C1D1补成正四棱锥，则 AO
2 SA 2 2 OO 6 1＝ ， ＝ ， 1＝ ，故 V＝ (S1＋S2＋ S1S2)h，
2 3
V 1＝ ×(22＋12＋ 22 12) 6 7 6× × ＝ ．
3 2 6
13 2 3 2．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为 ， ， ，那么三人中恰有两人
3 4 5
合格的概率是_________．
7
【答案】
15
【解析】由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有 2个合格，包括
1 3 2 2 1 2
三种情况，这三种情况是互斥的，∴三人中恰有两人合格的概率 × × ＋ × × ＋
3 4 5 3 4 5
2 3 3 7
× × ＝ ．
3 4 5 15
14．如图，在△ABC中，D是 BC的中点，E在 AB边上，BE＝2EA，AD与 CE交于点 O，
→AB ·→AC 6→AO·→EC AB若 ＝ ，则 的值是_________． A
AC
E
【答案】 3 O
→ → → λ→ λ→ 3λ→ λ→
【解析】设AO＝λAD，则AO＝ AB＋ AC＝ AE＋ AC，由于 C，O，E三点共线，所以
2 2 2 2 B D C
{#{QQABZYIEogAgAIIAAQgCAQWICkEQkAGAAagGhEAEoAAAQQNABAA=}#}
3λ λ 1 λ 1 →AO 1→AB 1→AC → → → → 1→ →→＋ ＝ ，解得 ＝ ．所以 ＝ ＋ ，又EC＝AC－AE＝AC－ AB．由AB ·AC
2 2 2 4 4 3
→
＝6AO·→EC →，得AB ·→AC＝6(1→AB 1→＋ AC )·(→AC 1→－ AB ) →，化简得3AC 2 →＝AB 2 AB，所以 ＝ 3．
4 4 3 AC
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(13分)
已知复数 z＝1－i．
(1)若 z z1＝ ，求 z1；
3－4i
(2)若|z2|＝2，且 z·z2是纯虚数，求 z2．
解 (1)∵复数 z＝1－i，
z z 1－i (1－i)(3＋4i) 3＋4i－3i－4i
2 7＋i 7 1
∴ 1＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i．·············· 6分
3－4i 3－4i (3－4i)(3＋4i) 32－(4i)2 25 25 25
(2)设 z2＝a＋bi，a，b∈R，
∵|z2|＝ a2＋b2＝2，∴a2＋b2＝4①． ······················································ 8分
又∵z·z2＝(1－i)(a＋bi)＝(a＋b)＋(b－a)i，
∴a＋b＝0，b－a≠0②， ······································································ 10分
a＝ 2 a＝－ 2
由①②联立，解得 b 或＝－ 2 b＝ 2 ，
∴z2＝ 2－ 2i或 z2＝－ 2＋ 2i．····························································13分
16．(15分)
某学校承办了 2024年某次大型体育比赛的志愿志选拔面试工作．现随机抽取了 100名
候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45，55)，第二组[55
65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，
绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组
的频率之和为 0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求 a、b的值，并估计这 100名候选者面试成绩的中位
数；
(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取 5人，
然后再从这 5人中选出 2人，求选出的两个来自同一组概
率．(要求列出样本空间进行计算)
解 (1)因为第三、四、五组的频率之和为 0.7，
所以(0.045＋0.020＋a)×10＝0.7，
解得 a＝0.005，····················································································· 2分
所以前两组的频率之和为 1－0.7＝0.3，
即(a＋b)×10＝0.3，所以 b＝0.025；·························································· 4分
{#{QQABZYIEogAgAIIAAQgCAQWICkEQkAGAAagGhEAEoAAAQQNABAA=}#}
面试成绩的中位数为 65 0.2＋ ×10≈69.4．··················································7分
0.45
(2)第四、第五两组志愿者分别有 20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为 4，分别设为 a，b，c，d，第五组志愿者人
数为 1，设为 e，···················································································· 9分
则样本空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)．(b，e)，(c，d)，(c，
e)，(d，e)}，样本空间共包含 10个样本点．·············································· 11分
设“从这 5人中选出 2人来自同一组”的事件记为 A，
则 A＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)},A包含 6个样本点，
········································································································· 13分
6 3
故选出的两人来自同一组的概率为 ＝ ．·················································15分
10 5
17．(15分)
如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，M为棱 AC的中点，
AB＝BC，AC＝ 2AA1． B1
(1)求证：B1C//平面 A1BM； A1 C1
(2)求证：AC1⊥平面 A1BM．
解 (1)连接 AB1，与 A1B两线交于点 O，连接 OM，
在△B1AC中 M，O
B
分别为 AC，AB1的中点，
所以 OM//B1C，·························································A··············M···············C
又 OM 平面 A1BM，B1C 平面 A1BM，
所以 B1C//平面 A1BM．·············································································
(2)因为在直三棱柱 ABC－A1B1C1中， B1
AA1⊥底面 ABC，BM 平面 ABC，所以 AA1⊥BM． A1 C1
又 M为棱 AC的中点，AB＝BC，所以 BM⊥AC． O
因为 AA1∩AC＝A，AA1，AC 平面 ACC1A1， B
所以 BM⊥平面 ACC1A1，··········································································
A M C
又 AC1 平面 ACC1A1，所以 BM⊥AC1．·······················································
因为 AC＝ 2AA1．不妨设 AC＝2，所以 AA1＝ 2，AM＝1．
在 Rt△ACC1和 Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝ 2，
所以∠AC1C＝∠A1MA，即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，
所以 A1M⊥AC1，···················································································13分
又 BM∩A1M＝M，BM，A1M 平面 A1BM，
{#{QQABZYIEogAgAIIAAQgCAQWICkEQkAGAAagGhEAEoAAAQQNABAA=}#}
所以 AC1⊥平面 A1BM．·········································································· 15分
18．(17分)
如图，已知△ABC中，AC＝4，∠BCA＝90°，∠BAC＝60°，M，N为线段 AB上两点，
且∠MCN＝30°．
(1)若 CM⊥AB →，求CM·→CB的值；
(2)设∠ACM＝θ，试将△MCN的面积 S表示为θ的
函数，并求其最大值．
(3)若 BN 6＝ AM，求 cos∠ACM的值．
8
解 (1) △CAM中，AC＝4，CM⊥AB，∠MAC＝∠BAC＝60°，
所以 CM＝AC·sin60°＝2 3．
→CM·→所以 CB →＝|CM|· →CB ·cos BCM →| | ∠ ＝|CM|·→CM|＝12．······························4分
(2)在△ACM中，∠ACM＝θ(0°≤θ≤60°)，AC＝4，∠MAC＝60°，
CM AC 2 3
所以 ＝ ，所以 CM＝ ，·······································6分
sin60° sin(60°＋θ) sin(θ＋60°)
在△ACN中，∠ACN＝θ＋30°，AC＝4，∠NAC＝60°，
CN AC CN 2 3 2 3所以 ＝ ，所以 ＝ ＝ ，······························ 8分
sin60° sin(90°＋θ) sin(θ＋90°) cosθ
1 3 3
所以 SΔCMN＝ CM·CN·sin30°＝ ＝
2 sin(θ＋60°)cosθ 1sinθcosθ 3＋ cos2θ
2 2
6 12
＝sin2θ 3cos2θ 3＝ ，······························ 11分
＋ ＋ 2sin(2θ＋60°)＋ 3
2 2 2
因为 0°≤θ≤60°，所以 60°≤2θ＋60°≤180°，所以当且仅当 2θ＋60°＝180°，即θ＝60°
时，△CMN的面积取最大值为 4 3．························································12分
(3) 6当 BN＝ AM 6时，S CBN＝ S CAM，
8 △ 8 △
1
即 ·BC·CN·sin∠BCN 6＝ ·1·AC·CM·sin∠ACM，
2 8 2
即 8 CN·sin∠BCN＝ 2 CM·sin∠ACM．
设∠ACM＝θ，由(2)得 CM 2 3 2 3＝ ，CN＝ ，且∠BCN＝60°－θ，
sin(θ＋60°) cosθ
所以 4 2sin(60°－θ)sin(60°＋θ)＝sinθcosθ，·················································14分
4 2[( 3cosθ)2 1－( sinθ)2]＝sinθcosθ，所以 2sin2θ＋sinθcosθ－3 2cos2θ＝0，
2 2
{#{QQABZYIEogAgAIIAAQgCAQWICkEQkAGAAagGhEAEoAAAQQNABAA=}#}
两边同除以 cos2θ，得 2tan2θ＋tanθ－3 2＝0，
解得 tanθ＝ 2，或 tanθ 3 2＝－ (舍去)．····················································· 16分
2
3
此时 cos∠ACM＝ ．············································································ 17分
3
19．(17分)
已知如图一，在矩形 ABCD中，AB＝ 5，AD＝2 5．将△ABD沿 BD折起，得到大小
为θ的二面角 A'－BD－C． O
A D A' F
D
E
B C B C G
图一 图二
(1) θ π当 ＝ 时，求 A'C与平面 BCD所成角的正切；
2
(2) θ π当 ＝ 时，求 B到平面 A'CD的距离；
2
(3)①当 cosθ 1＝ ，求 cos∠A'BC的值．
3
②如图二，在三棱锥 O－EFG中，已知∠OEF＝α，∠FEG＝β，∠OEG＝γ，二面角
O－EF－G的大小为θ．试直接写出利用α，β，γ的三角函数表示 cosθ的结论，不需要证
明． A'
解 (1) 过 A'作 A'H⊥BD于 H，连接 AH，CH． D
A' BD C π H因为二面角 － － 的大小为 ，
2
B C
所以平面 A'BD⊥平面 BCD，
因为 A'H⊥BD，平面 A'BD∩平面 BCD＝BD，A'H 平面 A'BD，
所以 A'H⊥平面 BCD，
所以∠A'CH为 A'C与平面 BCD的所成角．················································· 2分
5·2 5
在 Rt△BA'D中，A'B＝ 5，AD＝2 5，所以 A'H＝ ＝2．
( 5)2＋(2 5)2
Rt△A'HB中，BH＝ A'B2－A'H2＝ 52－22＝1．
因为在 Rt△DBC中，BC＝2 5，cos∠CBD 2 5＝ ，
5
所以在△HBC中，
HC2 BC2 BH2 2BC·BH·cos CBD (2 5)2 12 2·2 5·1·2 5＝ ＋ － ∠ ＝ ＋ － ＝13，
5
{#{QQABZYIEogAgAIIAAQgCAQWICkEQkAGAAagGhEAEoAAAQQNABAA=}#}
所以 HC＝ 13．
A'H 2 2 13
在 Rt△A'CH中，tan∠A'CH＝ ＝ ＝ ．
HC 13 13
2 13
即 A'C与平面 BCD所成角的正切是 ．·················································· 5分
13
(2)在(1)图中，A'C2＝A'H2＋HC2＝4＋13＝17，
2 2 2 (2 5)2＋( 5)2－17
在△A'DC中，cos A'DC A'D ＋DC －A'C 2∠ ＝ ＝ ＝ ．
2·A'D·DC 2·2 5· 5 5
所以 sin∠A'DC 2 21＝ 1－( )2＝ ，
5 5
△A'DC S 1的面积 ＝ ·A'D·DC·sin∠A'DC 1＝ ·2 5· 5· 21＝ 21．
2 2 5
因为 A'H⊥平面 BCD，
1 1 1 10
所以三棱锥 A'－BCD的体积 V＝ ·S△BCD·A'H＝ · ·2 5· 5·2＝ ．··················· 8分3 3 2 3
10
V 10 21
所以 B到平面 A'CD的距离的距离 d＝ 31 ＝ ＝ ．··························· 10分S 1 21
3 · 213
(3)①矩形 ABCD中找到 A'H的对应线段 AH，并设 AH的延长
线交 BC于 G．
A D
1
在 Rt△BHG中，BH＝1，tan∠DBC＝ ，
2 H
1 5
所以 HG＝ ，BG＝ ．
2 2 B G C
在三棱锥 A'－BCD中，由 A'H⊥BD，GH⊥BD，
所以∠A'HG为二面角 A'－BD－C的平面角，·············································12分
1 A'
即 cos∠A'HG＝ ．
3
D
在△A'HG中，A'G2＝AH2＋HG2－2·AH·HG·cos∠A'HG
H
22 (1)2 2·2·1·1 43＝ ＋ － ＝ ．
2 2 3 12 B G C
2 5 2 43
2 2 2 ( 5) ＋( ) －
在△A'BG中，cos A'BG A'B ＋BG －A'G 2 12 8∠ ＝ ＝ ＝ ．·············15分
2·A'B·BG 15
2· 5· 5
2
② cosθ cosγ－cosα·cosβ＝ ． ··································································· 17分
sinα·sinβ
{#{QQABZYIEogAgAIIAAQgCAQWICkEQkAGAAagGhEAEoAAAQQNABAA=}#}
