丰城中学2023-2024学年下学期高一数学
参考答案
1．A 2．D 3．A 4．C 5．D 6．D
7．B【详解】∵为三角形的两个内角，且，
∴，，
∵，，
，
，
，，∴．
8．A.【详解】因为.
由和差化积公式得：
.
所以或或.
若，则；
同理，当或时，都有.
9．ABD
10．ABD 【详解】对于A，因为，，由正弦定理可得，
又，所以有两解，A正确；
对于B，由，可得，，
由正弦定理可得，B正确；
对于C，由余弦定理，
，当且仅当时，取到等号，解得，C不正确； 对于D，由余弦定理，
即，当且仅当时，取到等号，
所以的面积，D正确.
11．ABC【详解】对于选项A，因为，所以，
所以，故A正确；
对于选项B，，设，若，则，
，，
所以，即，故B正确；
对于选项C，若，则，
所以，故C正确；
对于选项D，，
，所以，故D错误.
-6 13．
14．②③④ 【详解】对于④，由得的最大值点为，
因为在上的图象有且仅有3个最高点，
所以，解得，④正确；
对于①，由得的最小值点为，
因为，所以，
因为第3个正最小值点为，所以，
所以第3个正最小值点不一定在内，故①错误；
对于②，由得，
第7、8个正零点为，
因为，
所以第7个正零点有可能在内，第8个正零点不在内，
所以在至多有7个零点，②正确；
对于③，由得，
因为，所以在单调递增，③正确.
15【详解】（1）7-i
（2）
.
16．
【详解】（1）在中，由余弦定理可得：
，
.
故线段的长度.
（2）由（1）知，，
在中，由正弦定理可得：，
即， 得，
又，所以，
在中，由正弦定理可得：，
即， .
所以的值为.
17．【详解】（1）因为
.
当时，函数取到最大值，
所以，即，
令，，解得，，
所以当函数取到最大值时的集合为.
（2）由（1）得，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为（），
由，，解得，，
所以函数的对称中心为，.
18．【详解】（1）∵S为的面积且，,
∴,即，,∴.
∴，解得：.
（2）由（1）可知，，
∴
∵为锐角三角形，，∴，∴，∴，
设，则，
∴时，
19．【详解】（1）依题意得，；
（2）证明：由“余弦方差”定义得：
则分子
，
为定值，与的取值无关．
（3）分子
．
要使是一个与无关的定值，
则，
，
与终边关于轴对称或关于原点对称，
又，得与终边只能关于轴对称，
又
则当时，
当时，．
故，或，
故，或，时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值．
答案第1页，共2页丰城中学2023-2024学年下学期高一期末考试试卷
数 学
本试卷总分值为150分 考试时长为120分钟
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，则（ ）
A．10 B．9 C． D．
2．已知，，，，则与共线的条件为（ ）
A． B．
C． D．或
3．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列函数中，周期为且在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：
①振幅为，最小正周期为；
②振幅为，最小正周期为；
③点为图象的一个对称中心；
④在上单调递减．
其中所有正确结论的序号是（ ）．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
7．已知为三角形的两个内角，，则=（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
8．已知角，，满足，且，则()()()=（ ）
A．0 B．1
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．；
B．在中，是的充要条件；
C．在中，若，则必是等腰直角三角形；
D．在锐角中，不等式恒成立.
10．在中，角的对边分别为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则有两解
B．若，则
C．的周长有最大值6
D．的面积有最大值
11．对于非零向量，定义变换，得到一个新的向量，则关于该变换，下列说法正确的是（ ）
A．若为任意实数，则 B．若，则
C．若，则 D．存在使得
三、填空题;本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ．
13．已知复数满足为虚数单位，在复平面上对应的点为，定点为坐标原点，则的最小值为 .
14．已知函数（）在上的图象有且仅有3个最高点．下面四个结论：
①在上的图象有且仅有3个最低点；
②在至多有7个零点；
③在单调递增；
④的取值范围是；
则正确的结论是 ．（填写序号）
四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分）化简求值：
（1）计算：；
(2)；
16．（15分）如图，在平面四边形中，，，，.
(1)求线段的长度；
(2)求的值.
17．（15分）已知函数的最大值为.
(1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合；
(2)求函数的单调递增区间和对称中心.
18．（17分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知S为的面积且.
(1)若，求外接圆的半径；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
19．（17分）对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
(1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
(2)求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
(3)若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
