云南省保山市实验中学2023-2024学年高二下学期6月教学测评月考卷数学（七）试题（含解析）

保山市实验中学2023-2024学年高二下学期6月教学测评月考卷数学（七）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题）共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设随机变量，则（ ）
A.3 B.6 C.7 D.9
2.随机变量的分布列如下表所示，且，则（ ）
0 1 2 3
0.1 0.1
A.-0.2 B.0.4 C.0.2 D.0
3.已知各项均为正数的数列的前项和为，则（ ）
A.511 B.93 C.72 D.41
4.北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星，北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点表示某季节的北斗七星，其中看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ）
A.35 B.34 C.31 D.30
5.已知随机事件满足，则（ ）
A. B. C. D.
6.函数是（ ）
A.偶函数，且没有极值点 B.假函数，且有一个极值点
C.奇函数，且没有极值点 D.奇函数，且有一个极值点
7.已知随机变量的分布列是
-2 0 2
随机变量的分布列是
3 5 7
下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C.当增大时，递增 D.当增大时，递减
8.“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线的焦点分别为，点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
二 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A.各二项式系数的和为64 B.各项系数的绝对值的和为729
C.有理项有3项 D.常数项是第5项
10.已知椭圆的左 右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（ ）
A.椭圆的短轴长为
B.的最大值为8
C.离心率为
D.椭圆上不存在点，使得
11.已知函数在上可导，其导函数满足且，令，则（ ）
A.函数的单调递减区间为 B.是函数的极大值点
C.函数必有零点 D.
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为__________.
13.已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为__________.
14.在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为__________；的最小值为__________.（第一空2分，第二空3分）
四 解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16.（本小题满分15分）
会员足够多的某知名咖啡店，男会员占，女会员占.现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为.
（1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
（2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若到的距离为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为的空心小球，球内装有难度不同的谜语.每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏.已知标号为的小球个数比为，且盒中2号球的个数为4.
（1）求取到异号球的概率；
（2）若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如下表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序.（猜对谜语的概率相互独立）
球号 1号球 3号球
答对概率 0.8 0.5
奖金 200 500
19.（本小题满分17分）
已知曲线在处的切线过点.
（1）试求的值；
（2）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
2022级高二年级教学测评月考卷（七）
数学参考答案
第I卷（选择题，共58分）
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C A B C D
【解析】
1.由题意得，故，故选B.
2.由分布列的性质可得，，即，，故选D.
3.由条件知，所以，则，故选B.
4.从这七个点中任意取三个点作三角形有个，其中共线，有个不能构成三角形，则所作的不同三角形的个数为，故选.
5.因为，所以.又.所以.又，所以，故选A.
6.由条件知的定义域为，关于原点对称，设，则，所以为偶函数，当时，；当时，，所以先增后减，有一个极值点，故选B.
7.由题意知：，
所以A错误，C正确；因为
即
，故B错误；由，由二次函数的单调性可知D错误，故选C.
8.如图，过点作于点，则，又点在抛物线上，，则
，在中，，
，故选D.
二 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ABD BD ABD
【解析】
9.对于A，各二项式系数的和为，故正确；对于B，各项系数的绝对值的和与的各项系数和相等，令，则各项系数的绝对值的和为，故B正确；对于的展开式的通项公式为：，令，解得，，故有理项有4项，故C错误；对于D，令，解得，故常数项是第5项，故D正确，故选ABD.
10.易知当轴时，即线段为通径时，最短，，解得，
椭圆方程为，对于，椭圆的短轴长为，故A错误；对于，因为的周长为，且，故B正确；对于C，
离心率，故C错误；对于，易知当点位于短轴顶点时，最大，此时，又为三角形内角，椭圆上不存在点，使得，故D正确，故选BD.
11.由，得，当时，，故在上单调递增，当时，，当时，，故在上单调递减，所以是函数的极大值点，故A正确，B正确；若，则没有零点，故C错误；由在上单调递增，得，即，化简得，故D正确，故选ABD.
第II卷（非选择题，共92分）
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 ；
【解析】
12.由题意可得，，可得的分布列为：
0 1 2 3
期望.
13.圆，其圆心，半径，圆化为标准方程为：，其圆心，半径为，因为，所以，故两圆相交，如图，连接，，则四边形为直角梯形，过作的垂线，垂足为，则，在中，，所以，故.
14.由条件得，故，即，可得，可得，故，为开口向上的二次函数，对称轴，又因为为正整数，故的最小值为.
四 解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
解：（1），
又，
数列是首项 公比均为3的等比数列，
，即
（2）由（1）得，
则，
则，
两式相减得
，
.
16.（本小题满分15分）
解：（1）记事件：会员为男会员，：会员为女会员，事件：对服务质量满意，由题可知，，
所以.
（2）可能的取值为，
则，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以.
17.（本小题满分15分）
（1）证明：取的中点，
因为，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，
所以，
因为，即，
又平面，
所以平面.
（2）解：如图，取的中点，
又为的中点，所以，又，
所以，
所以平面即为平面，
平面平面，
取的中点，连接，
由（1）可知，两两垂直，，
如图建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则即
取，可得，
设直线与平面夹角为，
直线的方向向量为，
，
，
所以，
则，
故直线与平面夹角的正弦值为.
18.（本小题满分17分）
解：（1）由题意可得号球的个数分别为，
则取到异号球的概率.
（2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，
因为猜对谜语的概率相互独立，记为甲获得的奖金总额，则可能的取值为0元，200
元，700元，
则，
，
所以的分布列为：
0 200 700
0.2 0.4 0.4
所以；
若甲先回答3号球再回答1号球，
因为猜对谜语的概率相互独立，记为甲获得的奖金总额，则可能的取值为0元，500元，700元，
则，
，
，
所以的分布列为：
0 500 700
0.5 0.1 0.4
所以，
因为，
所以推荐甲先回答1号球中的谜语再回答3号球中的谜语.
19.（本小题满分17分）
（1）解：由，得，
则，
故曲线在处的切线方程为，
即，
由题意得，
则.
（2）解：由（1）知，定义域为，
当时，在上单调递减；
当时，由，得，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：由（2）得，
要证明，即证，
即证，
令，则，
令，则，令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
即恒成立，
即当时，.