长水教育集团2023-2024学年第二学期质量检测
高一年级 数学答案
一、选择题
1.B【解析】抽到的优质品数为.故选B.
2.C【解析】因为，所以，所以.故选C.
3.B【解析】因为，
所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.
4.C【解析】由题意，，，
所以.故选C.
5.A【解析】设，则，
所以为奇函数，
设，可知为偶函数，
所以为奇函数，则B，C错误，
易知，所以A正确，D错误．故选A.
6.A【解析】因为所以
因为三点共线，
所以即,
又因为，
所以，且为不共线的非零向量，
所以，解得.故选A.
7.B【解析】设的最小正周期为，
由题意可知：，，即，
且，则，
可得，
由图象可知：为的最大值点，
则，解得，
且，可知，所以.故选B.
8.A【解析】令，根据为上的单调减函数，
则在上单调递减，
且，，
所以函数在上存在唯一的零点，故；
又因为，所以，
所以，即，所以，
所以，即，所以;
因为，所以，所以，
即，所以，
综上可得：.故选A.
二、选择题
9.AC【解析】因为，所以，
所以，所以a=1，所以.
所以z在复平面上对应的点位于第一象限，所以A正确；
z的对应向量与x轴正半轴对应向量的夹角不为，所以B错误；
，所以C正确；，所以D错误.故选AC.
10.ACD【解析】对于A，这5天的最高气温的平均数为，最低气温的中位数为，它们的差为，A正确．
对于B，这5天的最低气温的极差为，B错误．
对于C，这5天的最高气温的众数为，C正确．
对于D，最低气温从小到大排列为，且，所以这5天的最低气温的第40百分位数是，D正确．故选ACD.
11.AD【解析】选项A，连接,过点作的垂线，垂足为,
在直角三角形中，,则圆台的母线长为,故选项A正确；
选项B，由圆台的全面积公式可得，故选项B错误；
选项C，该圆台可以看成由底面半径为的圆锥截去一个底面半径为的圆锥得到，
设截去底面半径为的圆锥的母线长为，由相似关系可知解得，
故大圆锥的母线长，由已知得圆台底面圆的周长为，
由弧长公式可知大圆锥侧面展开扇形的圆心角为,
所以圆台的侧面展开图如下图所示:
由,此时线段AC与小圆相交，
故点A出发沿侧面到达点C的最短距离大于，故选项C错误；
选项D，该圆台的轴截面可以补成一个边长为的正三角形，
由于,则圆台中能放下的最大球的半径为，
所以求圆台内放置一个可以任意转动的正方体即可以求最大球的内接正方体，
设正方体的棱长为，则，解得，故选项D正确.故选AD.
三、填空题
12.【解析】 因为为R上的递增函数，，所以，所以的值域为.故答案为.
13.【解析】因为所以，
因为，所以，所以，所以.故答案为.
14.【解析】将原正方体的一侧补上另一个正方体变为如图所示的长方体.
在上取点使，连接，则易得，
所以即为异面直线与所成的角(或其补角).
设，则，，
，
又，，
则，所以为锐角，
所以，解得，
所以.故答案为1.
四、解答题
15.解：（1）因为，所以，（3分）
所以，（6分）
所以，所以.（7分）
（2）因为，所以为一组基向量，（9分）
所以，所以，（11分）
所以，所以，
因为，所以.（13分）
16.解：（1）因为每组小矩形的面积之和为1，
所以，
则.（3分）
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，（6分）
设第75百分位数为m，
由，得，故第75百分位数为84.（9分）
（3）由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故这两组成绩的总平均数为，（12分）
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：
.（15分）
17.解：（1）因为，，
所以，所以，（2分）
由得，（4分）
即，解得或，（6分）
因为，所以.（8分）
（2）由（1）可知，，，（10分）
因为，且，所以，
所以，（12分）
所以，（14分）
又，，所以，
所以.（15分）
18.解：（1）
取中点，连接，（2分）
由为的中点，为的中点，
所以，
又，
则，（4分）
因此四边形为平行四边形，（5分）
于是，（7分）
而平面，平面，
所以平面.（9分）
（2）
过作于点，连接，
由，得≌，
则，即，（11分）
因为底面是边长为2的菱形，是等边三角形，
所以，
从而，
所以（13分），
又因为，平面，平面，
则平面，（15分）
又因为平面，
所以平面平面.（17分）
19.解：（1）因为，
根据正弦定理，（2分）
即,
即，又，
所以，
因为，
所以.（4分）
（2）由及余弦定理得，，（6分）
即，
又因为，所以，（8分）
所以，
所以，
即.（10分）
（3）因为E是AC的中点，所以，
则，（12分）
由正弦定理得，
即，（14分）
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即边上的中线的取值范围为.（17分）{#{QQABBYKEggCAQJIAAQhCAQGKCAEQkBGAASgGhAAAsAAAARNABAA=}#}
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