2023-2024学年山西省太原五中高一（下）段考数学试卷（含答案）

2023-2024学年山西省太原五中高一（下）段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，，是非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
4.在三角形中，，，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，若，则( )
A. B. C. D.
6.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.九章算术是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积单位：平方丈为( )
A. B. C. D.
8.在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 与向量平行的单位向量仅有 D. 向量在向量上的投影向量为
10.下列有关复数的说法中其中为虚数单位，正确的是( )
A.
B. 复数的共轭复数的虚部为
C. 若是关于的方程的一个根，则
D. 若复数满足，则的最大值为
11.如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上一个动点，则( )
A. 存在点，使
B. 存在点，使平面平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 平面截正方体所得截面的最大面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，复数，其中为虚数单位，若为纯虚数，则 ______．
13.如图，直角是水平放置的的直观图，对应直角坐标系中的坐标原点，，，则 ______．
14.设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求在上的投影向量的模；
若，向量，求与夹角的余弦值．
16.本小题分
如图，在梯形中，，，，，梯形绕着直线旋转一周．
求所形成的封闭几何体的表面积；
求所形成的封闭几何体的体积．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，，且．
Ⅰ求角的值；
Ⅱ若中，，，求的面积．
18.本小题分
如图，四棱锥，底面为平行四边形，、分别为 、的中点，面面．
证明：；
证明：平面．
在线段上是否存在一点，使面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形设．
当时，求四边形的周长；
克罗狄斯托勒密所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求．
问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，
因为，
所以在上的投影向量的模为．
因为向量，且，
所以，解得，即，，
所以．
所以与夹角的余弦值为．
16.解：依题意旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，
其表面积圆柱侧面积圆锥侧面积圆柱底面积．
其体积圆柱体积圆锥体积．
17.解：Ⅰ由，得，
化简得，
由正弦定理，得，
，
因为，所以．
Ⅱ由知由，
，
由，得，
得，，
18.证明：为平行四边形，
，又面，面，
面，面面，．
取中点，连接，，则，又，
，四边形为平行四边形，，
面，面，面．
取中点，连接，，则，面，面，
面，又面，，，面，
面面，且面面，面面，
，又为中点，为中点，
，又，
19.解：在中，
由余弦定理得，
即，于是四边形的周长为；
因为，且为等边三角形，，，
所以，所以，
即的最大值为，取等号时，
所以，
不妨设，
则，解得，
所以，
所以；
在中，由余弦定理得，
所以，，
于是四边形的面积为，
当，即时，四边形的面积取得最大值为．
所以，当满足时，四边形的面积最大，最大值为．
第1页，共1页