2023-2024学年广西河池市十校联体高一（下）第一次联考数学试卷（含答案）

2023-2024学年广西河池市十校联体高一（下）第一次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.若，为非零向量，则“”是“，共线”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在中，若，则的形状一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形
6.已知内角、、的对边分别为、、，若的面积为，则为( )
A. B. C. D.
7.已知的外接圆的圆心为，且，则向量在向量上的投影向量( )
A. B. C. D.
8.已知三点，，共线，，不共线且在线段上不含端点，若，则的最小值为( )
A. 不存在最小值 B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面关于空间几何体叙述正确的是( )
A. 正四棱柱都是长方体
B. 以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
C. 两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D. 平行于同一直线的两直线平行
10.已知复数满足，则( )
A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C. D. 是方程的一个解
11.如图，在中，，，分别是，，的中点，是与的交点，则( )
A.
B. 对于任意一点，都有
C. 对于任意一点，都有
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为______．
13.某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东的方向，距离为海里，在处看灯塔在货轮的北偏西方向，距离为海里，货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东方向，则灯塔与处之间的距离为______海里．
14.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点已知平面点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面直角坐标系中，向量．
若，且，求向量的坐标；
若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
若，，求的面积．
17.本小题分
如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点．
求的长度；
求的正弦值．
18.本小题分
的内角，，所对边的长分别为，，，已知．
求的大小；
若为锐角三角形且，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
解不等式；
讨论函数的零点个数．
参考答案
1.
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15.解：根据题意，可得，设，
因为，所以，解得，
因为，解得，所以或．
根据，可得，
当与共线时，，此时，
因为与的夹角为锐角，
所以，解得，且，
综上所述，当与的夹角为锐角时，实数的取值范围为．
16.解：因为，
由正弦定理可得，
在中，，
可得，，
可得，
而，，
可得，即；
因为，，求，
由余弦定理可得，
即，
可得，
所以．
即的面积为．
17.解：，，，，为中线，
可得，可得，
可得，
即的长度为；
由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
由题意可得，，，
在中，由余弦定理可得，
所以．
18.解：因为，
由正弦定理可得，
而，
可得，
在中，，
可得，而，
可得；
因为为锐角三角形且，；
由正弦定理可得，
可得，，
可得，可得，
所以，
因为，可得，
可得，
可得．
即的取值范围为．
19.解：显然定义域为，，
所以是奇函数，又，显然该函数为单调增函数，
所以不等式可化为，
所以，即，所以不等式的解集为．
，
令得或，
由得；
由得，令，
易知函数是偶函数，当时，为增函数，在上为增函数，
所以在上为增函数，在上单调递减，
则，，由基本不等式得，时取等号，
当时，方程得解为，此时有两个解，即有两个零点；
当时，方程有两个解，，且，
此时有个解，即有个零点；
当时，方程有个解，且，
此时有个解，此时有两个零点，
综上，当时，有个零点；当或时，有个零点；当时，有个零点．
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