2023-2024学年上海市浦东新区上南中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海市浦东新区上南中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点异于长轴端点，则的周长为( )
A. B. C. D.
3.现有个礼品盒，前三个礼品盒中分别装了一支钢笔，一本书以及一个笔袋，第个礼品盒中三样均有现随机抽取一个礼盒，事件为抽中的盒子里面有钢笔，事件为抽中的盒子里面有书，事件为抽中的盒子里面有笔袋，则下面选项正确的是( )
A. 与互斥 B. 与相互独立 C. 与互斥 D. 与独立
4.若是函数的极值点，则的极小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.直线：的一个法向量是______．
6.等差数列中，，则 ______．
7.直线与直线的夹角大小为______．
8.已知，则 ______．
9.已知圆锥的底面周长为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______．
10.若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______．
11.某校共有名学生参加了趣味知识竞赛，且每位学生的竞赛成绩均不低于分将这名学生的竞赛成绩分组如下：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，则这名学生中竞赛成绩不低于分的人数为______．
12.与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为______．
13.同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为的概率是______．
14.已知函数，，则该函数的严格增区间是______．
15.、分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点若为等边三角形，则双曲线的离心率为______．
16.已知点在正方体的表面上，到三个平面、、中的两个平面的距离相等，且到剩下一个平面的距离与到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点的个数为______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
等比数列中，，．
求的通项公式；
记为的前项和．若，求．
18.本小题分
如图，点为正四棱柱的上底面的中心，底面的边长为，点到平面的距离为试求：
二面角的平面角的大小用反三角函数表示角的大小；
点到平面的距离．
19.本小题分
随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，为某区的一条健康步道，、为线段，是以为直径的半圆，，，．
求的长度；
为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道在两侧，其中，为线段．若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？精确到
20.本小题分
已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为，过，的直线为，原点到直线的距离是．
求双曲线的方程；
已知直线交双曲线于不同的两点，，问是否存在实数，使得以为直径的圆经过双曲线的左焦点若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知函数．
若，求函数的单调区间和最值；
当时，求函数在上的最小值．
参考答案
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17.解：等比数列中，，．
，
解得，
当时，，
当时，，
的通项公式为，，或．
记为的前项和．
当，时，，
由，得，，无解；
当，时，，
由，得，，
解得．
18.解：连接、相交于点，过作，交于，连接，则，
所以是二面角的平面角的大小，
因为在中，，，，
所以，
则，
即二面角的平面角的大小为；
设点到平面的距离为，
由，
得．
即，
解得，
所以点到平面的距离为．
19.解：连接，中，由余弦定理得，
，即；
设，，
中，由余弦定理得，
所以，
解得，当且仅当时取得等号，
新建健康步道的最长路程，，
故新建健康步道的路程最多可比原来有健康步道的路程增加．
20.解：，
原点到直线：的距离，．
故所求双曲线方程为 ．
把代入中消去，整理得 ．
设，，则，，
因为以为直径的圆经过双曲线的左焦点，所以，
可得 ，把，代入，
解得：，
解，得，
满足，
．
21.解：当时，，函数的定义域为，
求导函数可得，
由，，得，
由，，得，
故函数的单调递增区间为，单调减区间是，
所以时，函数取得最大值，没有最小值；
当，即时，函数在区间上是减函数，
的最小值是．
当，即时，函数在区间上是增函数，
的最小值是．
当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数．
又，
当时，最小值是；
当时，最小值为．
综上可知，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为．
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