2023-2024学年云南省昆明市云南大学附中星耀学校高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年云南大学附中星耀学校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：存在，使得；命题：对任意，都有，则下列命题中为真命题的是( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是假命题
3.已知向量满足，，，则( )
A. B. C. D.
4.某校运动会，一位射击运动员次射击射中的环数依次为：，，，，，，，，，则下列说法错误的是( )
A. 这组数据的平均数为 B. 这组数据的众数为
C. 这组数据的极差为 D. 这组数据的第百分位数为
5.已知圆：，从这个圆上任意一点向轴作垂线段在轴上，在直线上且，则动点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上有且仅有一个零点，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，体积为，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递减
D. 的图象关于点对称
10.已知函数，则( )
A. 当时，函数存在极值点
B. 若函数在点处的切线方程为直线，则
C. 点是曲线的对称中心
D. 当时，函数有三个零点
11.已知圆：，抛物线：的焦点为，为上一点( )
A. 存在点，使为等边三角形
B. 若为上一点，则最小值为
C. 若，则直线与相切
D. 若以为直径的圆与相外切，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，若，，则 ______．
13.在中，，是方程的两个根，则的值是______．
14.如表为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态例如，按将导致，，，，改变状态如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知函数．
当时，求过点的切线方程；
若有极值且恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
如图，已知四边形为矩形，，，为的中点，将沿进行翻折，使点与点重合，且．
证明：；
求平面与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分；若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中．
在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得分的概率；
针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ：随机选一个选项；Ⅱ：随机选两个选项；Ⅲ：随机选三个选项．
若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望；
以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
19.本小题分
已知双曲线的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为为坐标原点．
求双曲线的标准方程；
设，是双曲线上不同的两点，是的中点，直线、的斜率分别为、，
证明：为定值；
直线与双曲线的右支交于点，在的上方，过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为的直线与双曲线交于点，在的上方，再过点，分别作，的平行线，交于点，，这样一直操作下去，可以得到一列点证明：，，，共线．
参考答案
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15.解因为，
由正弦定理得，
因为角，，为的内角，
所以，，
所以，
而，
所以；
因为，，
所以，
由余弦定理得：，
解得，
所以的周长为．
16.解：定义域，当时，，，，，
所以过点的切线方程为，即．
，．
当时，，在上单调递减，无极值，故舍去；
当时，，在上单调递减，上单调递增，存在极小值，
．
令，．
，因为，所以在上大于零，
所以在上单调递增，因为，所以．
17.解：证明：由题知，
所以，
所以为直角三角形，，
因为，，，
所以，
所以为直角三角形，，
因为，
所以平面，因为平面，
所以．
由题知以为原点建立如图空间直角坐标系，
取中点，由题知，所以，
由知平面，所以，
因为，所以平面，
，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，
，，令，则，
所以，
由知平面，
所以是平面的一个法向量，，
设平面与平面所成角为，
所以，
所以．
18.解：记事件为“正确答案选两个选项”，事件为“学生甲得分”，
，
即学生甲该题得分的概率为；
记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
所以可以取，，，
则，
，
，
所以的分布列为：
则数学期望；
记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则，
，
，
所以；
记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，
则，
，
，
所以；
记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，
则，
，
所以，
要使选择方案Ⅰ最好，则，解得：，
故的取值范围为．
19.解：因为双曲线的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，
所以，
解得，，
则双曲线的标准方程为；
证明：设，，，
因为，为双曲线上的两点，
所以，
两式相减得，
整理得，
则，
故为定值，定值为；
证明：设斜率为，与双曲线右支相交于，两点的直线方程为，，，
联立，消去并整理得，
因为该方程有两个正根，
解得，
由韦达定理得，
直线的方程为，
因为，
即，
直线的方程为，
因为，
即，
联立，
两式相加得，
所以，
因为，
所以，
则，，，都在直线上．
故，，，共线．
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