2023-2024学年山东省聊城一中等校高一（下）质检数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省聊城一中等校高一（下）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知在中，，则外接圆的周长为( )
A. B. C. D.
2.如图，在正三棱锥中，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
3.用斜二测画法画三角形的直观图，如图所示，已知，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.如图所示，，则( )
A. B. C. D.
5.下列命题是真命题的是( )
A. 上底面与下底面相似的多面体是棱台
B. 正六棱锥的侧面为等腰三角形，且等腰三角形的底角大于
C. 若直线在平面外，则
D. 若一个几何体所有的面均为三角形，则这个几何体是三棱锥
6.已知某圆柱的轴截面是面积为的正方形，则该圆柱的内切球的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.是内一点，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列结论正确的是( )
A. 若为实数，则
B. 若，则
C. 若在复平面内对应的点位于第一象限，则
D. 若，则
10.已知锐角的内角，，的对边分别为，，若，则的值可能为( )
A. B. C. D.
11.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制例如：正方体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为如图，在直三棱柱中，，，点的曲率为，，，分别为，，的中点，则( )
A. 直线平面
B. 在三棱柱中，点的曲率为
C. 在四面体中，点的曲率小于
D. 二面角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数的虚部为______．
13.如图，为了测量某建筑物的高度，测量小组选取与该建筑物底部在同一水平面内的两个测量基点与现测得米，米，在测量基点测得建筑物顶点的仰角为，则该建筑物的高度为______米
14.如图，在长方体中，，，，是线段上异于，的一点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，求的值．
设，向量与的夹角为，求的大小．
16.本小题分
如图，在正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点．
证明：平面．
证明：点在平面的投影为的垂心．
17.本小题分
如图，在中，．
证明：为等边三角形．
试问当为何值时，取得最小值？并求出最小值．
求的取值范围．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，为线段的中点，．
若，求；
若，，求的最大值．
19.本小题分
如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且，，分别为线段，，的中点．
证明：．
证明：平面平面．
若，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积．
参考答案
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14.
15.解：若，则，解得．
因为，所以，
即，解得，
所以，，
，
故，
因为，
所以．
16.证明：因为在正方形中，，，
所以折起后，可得，，
因为，，面，
所以平面；
设点在平面的投影为，则平面，得，，
连接并延长与交于点，连接并延长与交于点，
因为在正方形中，，所以折起后，可得，
又因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
同理由题意可知，正方形折起后，可得，，
，是面内两条相交直线，所以面，
又面，所以，
又，，是面内两条相交直线，
所以面，
因为面，所以．
综上，点在平面的投影为的垂心．
17.解：因为，所以，，
结合，，可得，，
因为，所以为等边三角形．
，
，
则
，
当时，取得最小值，最小值为．
由题意可得，
在中，，
设，则，
所以，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，
所以的取值范围为．
18.解：连接在中，，
，．
，，．
在中，，，
，为线段的中点，．
在中，．
设．
在中，由正弦定理得，
，
在中，由余弦定理知
，其中．
当时，，即．
故AE的最大值为．
19.解：证明：如图，连接，与交于点，
因为平面，平面，所以，
又因为，，
所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，则，
因为平面，所以，，
所以，即．
证明：延长交于点，连接，
由中位线性质可得，因为，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
所以为的中点，则，
因为平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面．
设，因为，
所以，则，，
设点到平面的距离为，与平面所成的角为，
则，
因为，
，
所以，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时与平面所成的角最大，
的体积
．
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