2023-2024学年重庆市璧山区来凤中学等九校联考高一（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年重庆市璧山区来凤中学等九校联考高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知的直观图是一个边长为的等边三角形，则的面积是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4.某班同学利用课外实践课，测量，两地之间的距离，在处测得，两地之间的距离是千米，，两地之间的距离是千米，且，则，两地之间的距离是( )
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
5.已知某扇形的周长是，则该扇形的面积的最大值是( )
A. B. C. D.
6.已知复数满足，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知是的边的中点，且所在平面内有一点，使得，若，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，，在线段上，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体
B. 圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的
C. 棱台的所有侧棱交于同一点
D. 用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点中心对称
C. 是偶函数 D. 在上恰有个零点
11.在中，角，，的对边分别是，，，且，点在边上，，，则( )
A. B.
C. 面积的最小值是 D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在三棱台中，和的面积分别为和，若，则 ______．
13.已知，则 ______， ______．
14.已知复数，且，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，这是由一个半圆柱和一个长方体组合而成的几何体，其中，．
求该几何体的体积；
求该几何体的表面积．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
求在上的值域．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且，．
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
求不等式的解集；
若对任意的，恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
对任意两个非零向量，，定义：．
若向量，，求的值；
若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值；
若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围．
参考答案
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15.解：长方体的体积为，
半圆柱的底面积为，
半圆柱的体积为，
该几何体的体积为．
长方体去掉上底面后的表面积为，
由得半圆柱的底面积为，
半圆柱的侧面积为，
所以该几何体的表面积为．
16.解：由图象可知，，
由，则，即，得，
则，
因为，
所以，由，得，
所以．
因为，所以，
余弦函数在上单调递增，在上单调递减，
，
，，
则．
所以在上的值域为．
17.解：根据，由正弦定理得，
由，得，可得，
根据余弦定理得，
因为，所以舍负；
由，可得，所以，
根据，，由余弦定理得，
所以．
18.解：由题，
令，，
故函数的单调递增区间为．
由即，
所以，
故不等式的解集为．
由，
因为，所以，
所以，故，
所以若对任意的，恒成立，
则，，
故的取值范围为：．
19.解：因为，，所以，
所以，
故的值为；
因为向量、是单位向量，所以，，
由，
可得，
解得，
由，可得，
则，
故向量与的夹角的余弦值为；
设向量与的夹角为，由题意可知，则，
因为，所以，，
因为，所以，
因为是整数，所以，所以，，
而，所以，
因为，
又，所以，
故的取值范围为．
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