2023-2024学年四川省南充高级中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年四川省南充高级中学高二（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，共46分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果函数在处的导数为，那么( )
A. B. C. D.
2.数列，，，，的一个通项公式为( )
A. B.
C. D.
3.已知数列为等差数列，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数为，的图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知圆：，则直线：与圆( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切
6.已知双曲线：的左焦点为，过点的直线：与轴交于点，与双曲线交于点在轴右侧若是线段的中点，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
7.斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：已知是该数列的第项，则( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
9.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为的等差数列
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：是，判断下列说法正确的是( )
A. 运动员在时的瞬时速度是
B. 运动员在时的瞬时速度是
C. 运动员在附近以的速度上升
D. 运动员在附近以的速度下降
11.已知抛物线的焦点为，且，，三点都在抛物线上，则下列说法正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 若直线过点，为坐标原点，则
C. 若，则线段的中点到轴距离的最小值为
D. 若直线，是圆的两条切线，则直线的方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数的导函数为，则 ______．
13.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知面积为的椭圆的左焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为______．
14.数列满足，前项和为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
曲线在点处的切线与直线互相垂直，求点的坐标．
过点作曲线的切线，求此切线的方程．
16.本小题分
设正项数列的前项和为，，且满足_____给出下列三个条件：
，；
；
．
请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若在上是增函数，求的取值范围；
讨论的单调性．
18.本小题分
已知椭圆的上顶点为，右焦点为，点、都在直线上
求椭圆的标准方程及离心率；
设直线：与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
19.本小题分
已知数列中，，
Ⅰ证明：数列是等比数列，并求前项的和；
Ⅱ令，求证：．
参考答案
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14.
15.解：由，，
由题意可得，故，
当时，，当时，，
故点的坐标为或；
设切点坐标为，则有，
故，整理得，
即，故或，
当时，有，即，
当时，有，即，
故此切线的方程为或．
16.解：选：由得：
，所以，
又因为，因此数列为等比数列，
设数列的公比为，则，由，
解得或舍去，
所以；
选：因为，
当时，，又，
所以，即，所以，
所以当时，，
两式相减得，
即，
所以数列是，公比为的等比数列，
所以；
选：因为，
当时，，
所以，即，
当时，，
两式相减，得，
即，
当时，满足上式．
所以；
，
设数列的前项和，
故，
两式相减得：，
化简得，，
故数列的前项和．
17.解：当 时，，
，
令，则，
解得或舍，
当时，，当时，，
所以 的单调递增区间为，单调递减区间为．
因为，
所以，
因为在上是增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为的对称轴为，
当时，，则在上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，开口向下；
综上所述，要使得在上恒成立，
只需，解得，
所以的取值范围为．
因为，
所以，
当时，，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增；
当时，令，则，
解得或舍，
当时，，当时，，
所以在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在 上单调递增，在 上单调递减．
18.解：设椭圆的半焦距为，
由已知点的坐标为，点的坐标为，
因为点、都在直线上，
所以，，又，
所以，，，
所以椭圆的方程为：，
椭圆的离心率；
由，整理得：，
由，
此时方程可化为：，
解得：，由条件可知：、异号
设，则，，
即，所以，
因为，所以可设直线：，
由，整理得：，
当时，方程有两个不相等的实根，
设，，
则，，
因为，两点关于原点对称，所以，
所以，
所以．
19.证明：Ⅰ，，
则，
又，，从而，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
则，即；
；
Ⅱ由Ⅰ可知，，．
．
当时，．
当时，
．
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