2023-2024学年广东省深圳市科学高中高二（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省深圳市科学高中高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.若角的终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
3.若数列满足，，且，则( )
A. B. C. D.
4.若向量满足，，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6.“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为( )
A. B. C. D.
7.若斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
8.已知双曲线的左，右焦点分别为，，为坐标原点，为左支上一点，与的右支交于点，中点为，若，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的最小正周期为，则( )
A. B. 是图像的一条对称轴
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最小值为
10.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，则下列说法正确的是( )
A. ，，，四点共面
B.
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离为
11.已知数列的首项为，且，数列、数列、数列的前项和分别为、、，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，抛物线的焦点为，为抛物线上的点，则周长的最小值为______．
13.甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，每天有且仅有一人值班，若甲不值周一，乙不值周六，则可排出不同的值班表数为______．
14.若函数有两个零点，则正整数的最小值为______．
其中是自然对数的底数，参考数据：，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的各项均为正数，，．
求数列的通项公式；
若数列满足，，求的通项公式及其前项和．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，角的平分线交于点，且．
求角；
若，的周长为，求的长．
17.本小题分
如图所示，在三棱锥中，，，求证：平面平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴．
求椭圆的方程；
直线交椭圆于，两点，，，三点不共线，且直线和直线关于对称．
(ⅰ)证明：直线过定点；
(ⅱ)求面积的最大值．
19.本小题分
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为．
已知函数．
求函数在点处的曲率的平方；
求函数的曲率的最大值．
函数，若在两个不同的点处曲率为，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：设的公差为，，，
，
解得，
．
由得，，
，
．
，
．
16.解：由题意根据正弦定理得，即，
利用余弦定理可知，
因为中，所以．
因为，，所以，
在中，由余弦定理可得：，解得，
因为在中，有，
又因为为角的平分线，所以，
所以，即，
解得．
17.证明：因为，所以，
同理可得，故BC，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
故平面平面；
解：以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，
过作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
则，，，，，
所以，，．
设为平面的法向量，
则，即，
令，得，
，
，，
可得，，
设直线与平面所成的角为，，
则，．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：因为垂直于轴且，所以，
所以，
将点代入椭圆方程有，，
解得，，
所以椭圆的方程为．
证明：由题意知，直线的斜率不可能为，设其方程为，，，
联立，整理得，
所以，即，
且，，
由直线和直线关于对称，知，
所以，
所以，
即恒成立，
因为不是恒成立，所以，即，此时直线的方程为，恒过定点，得证．
(ⅱ)解：由可得，直线的方程为，，，，
所以点到直线的距离为，
，
所以面积，
令，则，
所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以面积的最大值为．
19.解：，，，
由题意，，，．
由定义知为非负数，由题意得：
，，
，令，
，令，
则在上恒成立，
在上单调递增，即，
，当且仅当时取到，所以曲率的最大值为．
，
，
，，
在两个不同的点处曲率为，
有两个大于的实数解，
有两个大于的实数解．
令，，
在上单调递增，且值域为，
有两个大于的实数解，有两个实数解．
令，，则，
令得，时，，即单调递增；
时，，即单调递减；
，
又时，；时，；
图象如下图所示：
有两个实数解，．
的取值范围为．
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