2023-2024学年重庆市南开中学高一（下）段考数学试卷（3）（含答案）

2023-2024学年重庆市南开中学高一（下）段考数学试卷（3）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则的实部与虚部的和为( )
A. B. C. D.
2.在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，满足，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.碧津塔是著名景点，某同学为了测量碧津塔的高，他在山下处测得塔尖的仰角为，再沿方向前进米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，那么碧津塔高约为( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.瑞士数学家欧拉于年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式根据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A.
B. 的最大值为
C. 复数在复平面内对应的点位于第二象限
D. 若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，下列结论正确的有( )
A. B. 若，则
C. D.
10.对任意两个非零向量，，定义新运算：已知非零向量，满足，且向量，的夹角，若和都是整数，则的值可能是( )
A. B. C. D.
11.在中，，为线段上的两点，且，下列结论正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则为直角三角形
D. 若，则的面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则中线的长为______．
13.已知是虚数是实数，是虚数的共轭复数，则的最小值是______．
14.已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
；
．
16.本小题分
如图，在中，，，，是内的一点．
若是等腰直角三角形的直角顶点，求的长；
若，设，求的面积的解析式，并求的最大值．
17.本小题分
如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取，，，四个点，使得，测得，，．
若，选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求，两点间距离；
求的值．
18.本小题分
在平面四边形中，点，在直线的两侧，，，四个内角分别用，，，表示，．
求；
求与的面积之和的最大值．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
已知是边上的两个动点不重合，记．
当时，设的面积为，求的最小值；
记，问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：
；
．
16.解是等腰直角三角形的直角顶点，且，
，，
又，
，
在中，由余弦定理得，
．
在中，，，
，由正弦定理得，
，，
的面积
，，
当时，面积的最大值为．
17.解：在中，由正弦定理得，
即，
解得，
所以，
则为等腰直角三角形，
所以，
则，
在中，由余弦定理得，
故，
故A，两点间距离为；
设，则由题意可知，，，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
又，
所以，
解得，
所以．
18.解：在中，由余弦定理，得，
，，，
，即，
，
；
设，，
，，
，，，四点共圆，且为该圆的直径，
，，
，，
在中，，，
，
因为，，
，，，
当即时，，
与的面积和的最大值为．
19.解：因为，由正弦定理可得：，
即，
整理可得：，即，
因为，则，
故A，即，又，
所以；
因为，所以，又，所以，．
如图，因，设，则，
则在中，由正弦定理可得：，
所以，
在中，由正弦定理，得，
所以，
所以，
因，则，
故当，即时，；
假设存在实常数，，对于所有满足题意的，，都有成立，
即都有，
由题意，代入整理得对于所有满足题意的，成立，
故有，从而有，即，
因为，所以．
即存在实常数，对于所有满足题意的，，都有成立．
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