2023-2024学年广东省佛山市顺德区郑裕彤中学高二（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省佛山市顺德区郑裕彤中学高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记等差数列的前项和为，若，，则该数列的公差( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列满足，则的值为( )
A. B. C. D.
3.设是公差不为的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.曲线在处的切线与直线平行，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知数列的首项，且，则为( )
A. B. C. D.
6.函数( )
A. 有最值，但无极值 B. 有最值，也有极值
C. 既无最值，也无极值 D. 无最值，但有极值
7.是定义在上的可导函数，且，对任意正实数，则下列式子成立的是( )
A. B. C. D.
8.设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在等比数列中，，前三项和，则公比的值为( )
A. B. C. D.
10.定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”，有下列函数：
；
；
；
．
其中只有一个“新不动点”的函数有( )
A. B. C. D.
11.已知数列中，，，，则下列说法正确的是( )
A. B. 是等比数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线和曲线相切，则实数的值为______．
13.将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为______．
14.已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若，，求：
的单调增区间；
在上的最小值和最大值．
16.本小题分
已知数列满足，且，．
求通项；
求数列的前项之和．
17.本小题分
已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：，，成等比数列；；，请你从这三个条件中任选两个解答下列问题：
求的通项公式；
令，其前项和为，若恒成立，求的最小值．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
设，是否存在、，使得、、成等比数列．若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；
若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：，
由 解得或，
故的增区间为，；
令，舍或，
而，，，
故，．
16.解：依题意，当为奇数时，可令，，
由，可知数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
当为奇数时，，
同理，当为偶数时，可令，，
由，可知数列的偶数项是以为首项，为公比的等比数列，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
当为偶数时，，
综上，可得．
由题意，令，
则，
故，
，
两式相减，
可得，
，
．
17.解：由，，成等比数列可得：，即，
整理可得：，
由可得：，即，
由可得：，可得：，
若选：由，可得，所以，
若选：由可得，所以，
若选：由可得，所以，
综上所述：的通项公式为
由知：，
故，
恒成立，则，，
令，
则，
故在上单调递增，在上单调递减；
令，又，
故对于，当时，，当时，，
，
故时，有最大值，
此时，，
由，有．
故的最小值为．
18.解：设等差数列的公差为，则．
由已知，得
即解得
假设存在、，使得、、成等比数列，
则．
，
．
．
整理，得．
，．
解得．
，，
，此时．
故存在、，使得、、成等比数列．
19.解：，则，
因为切线与直线垂直，所以，解得．
，则，在上单调递增，
所以在上恒成立，即，
令，则，当时取得最小值，，所以，
即的取值范围是
当时，，则单调递增，不可能有两个零点；
当时，时，；时，，
则在上单调递增，上单调递减，
，解得，
此时，，，令，
则，，所以当时，单调递减，
，所以当时，，即，
所以所以有两个零点，故．
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