2023-2024学年福建省福州二中高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省福州二中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. 或 B.
C. D. 或
2.已知，，三点共线，则的值为( )
A. B. C. D.
3.某校文艺部有名学生，其中高一、高二年级各名从这名学生中随机选名组织校文艺汇演，则这名学生来自不同年级的概率为( )
A. B. C. D.
4.若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A. B. C. D.
6.某校举办了数学知识竞赛，把名学生的竞赛成绩满分分，成绩取整数按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为( )
A. 的值为 B. 估计这组数据的众数为
C. 估计这组数据的第百分位数为 D. 估计成绩低于分的有人
7.设，，，设，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
10.函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在上单调递增
C. 的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数
D. 在上的零点有个
11.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在，，使得为曲线的对称轴
D. 存在，使得点为曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则的虚部为______．
13.已知函数是增函数，则实数的取值范围为______．
14.如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论：
四棱锥的体积为定值
三棱锥的体积的最大值为
的最小值为
请写出所有正确结论的序号______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
试判断的形状；
若，求周长的最大值．
16.本小题分
在各项均不相等的等差数列中，，且，，等比数列，数列的前项和满足．
求数列、的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数在点处的切线与直线垂直．
求；
求的单调区间和极值．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点．
求证：平面；
求平面与平面所成角的余弦值；
求到平面的距离．
19.本小题分
已知抛物线：经过点．
求抛物线的方程；
设直线与的交点为，，直线与倾斜角互补．
求的值；
若，求面积的最大值．
参考答案
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15.解：由，利用余弦定理得，即，
所以，
所以是直角三角形；
由知是直角三角形，且，
可得，，
所以周长为，
所以当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为．
16.解：设数列的公差为，则，，
，，成等比数列，，即，
整理得，解得舍去或，
，
当时，，
当时，满足上式，
数列的通项公式为．
，
则数列的前项和
．
17.解：，则，
由题意可得，解得；
由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值．
18.解：证明：，，为的中点，
，又四棱锥的底面是矩形，
，
∽，，
又，，
底面，底面，
，又，且，平面，
平面；
平面，又，平面，
，，又四棱锥的底面是矩形，
，建立如下图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：
，
，，，
平面，平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，取，
平面与平面所成角的余弦值为：
；
由可知平面的法向量为，，
到平面的距离为．
19.解：由题意可知，，所以，
所以抛物线的方程为；
设，如图，
联立方程，消去得：，则，即，
所以，，
因为直线与倾斜角互补，
所以，
即，
所以，
即，解得：；
由，，
则，
因为，所以，即，
又点到直线的距离为，
所以，
因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以面积最大值为．
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