2023-2024学年河南省漯河高级中学高一（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年河南省漯河高级中学高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的内角，，的对边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
2.我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
3.函数，的值域为( )
A. B. C. D.
4.已知角的终边经过点，若，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.设，是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于( )
A. B. C. D.
8.已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的图象如图所示，则( )
A. 的最小正周期为
B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称
D. 若在上有且仅有两个零点，则
10.设点是所在平面内一点，下列说法正确的是( )
A. 若，则的形状为等边三角形
B. 若，则点是边的中点
C. 过任作一条直线，再分别过顶点，，作的垂线，垂足分别为，，，若恒成立，则点是的垂心
D. 若，则点在边的延长线上
11.设函数，则( )
A. 函数的单调递减区间为
B. 曲线在点处的切线方程为
C. 函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值
D. 若方程有两个不等实根，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图所示，点是等边外一点，且，，，则的周长为______．
13.在中，内角、、的对边分别为、、，满足，则 ______．
14.已知函数，若关于的方程恰有两个不同解，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，且．
证明：；
若，求的值．
16.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的单调递增区间；
将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为，若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知向量，设．
，求当取最小值时实数的值；
若，问：是否存在实数，使得向量与向量的夹角为？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
如图，为直角三角形，斜边上有一点，满足．
若，求；
若，，求．
19.本小题分
已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围．
参考答案
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15.证明：由正弦定理及条件可得，
由余弦定理可得，
整理可证得：；
解：由得，
化简得，又，故，
所以，
故．
16.解：函数
，，
令，求得，
可得函数的增区间为，．
再结合，可得函数的增区间为，．
将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为，
若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，
即在区间上有两个不相等的实根．
令，则在区间上有个根．
令，则，或，
求得，或，
即实数的范围为．
17.解：根据题意，，则，
则，
则，当时，取得最小值；
根据题意，假设存在实数，使得向量与向量的夹角为，
若，则，则有，
，则，
，则，
又由向量与向量的夹角为，则有，
解可得：或，
故存在或符合题意．
18.解：为直角三角形，，，
由正弦定理：，
即，
，
可得，
为直角，可得，
．
设，
，，，
，
，
由余弦定理得：，得，
．
19.解：根据正弦定理有，
即，
展开化简得，
，，
，
，
，
，
，
，
．
由题意可知，设，，
，
，
，
在中，由正弦定理可得：．
即：，
，
，
，
，
所以三角形面积的取值范围为．
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