(共27张PPT)
北师大版（2019版） 高中数学必修二
第一章 阅读与思考
数学与音乐
Math & Music
音乐是怎么通过数学计算得来的？我们是否也能做出简单的乐器？
Math & Music
音阶
思考：声音如何产生？声音的本质是什么？
声音的本质：物体振动产生的波！
声音二要素
音调
响度
三角函数三参数
频率越来越大！
声音的音调、响度与三角函数的三个参数有怎样的关系？
音调越来越高！
思考：音阶1(do)与i(do)之间的频率具体有什么关系？
根据视频，你学到了哪些知识？
古希腊数学家毕达哥拉斯
弦长比为1：2时，发出相同的音的不同版本！
弦长与频率成反比，弦长越短，频率越高；
思考：音阶2(re),3(mi),4(fa),5(so),6(la),7(xi)的频率应为多少？它们之间的频率又有怎样的关系？
思考：音阶2(re),3(mi),4(fa),5(so),6(la),7(xi)的频率应为多少？它们之间的频率又有怎样的关系？
f
do
do’
2f
so
能否用三角函数的知识来解释，为什么频率比为1：2及2：3
时，合奏的声音更和谐？
人耳认为：声音的波形越简单，周期性越好，就越和谐！
小组合作：乐器制作，并演奏《小星星》
注意：弦长与频率成反比，弦长越短，频率越高！
材料准备：
1.吸管
2.玻璃杯
3.尺子、剪刀、胶带等
知识储备：
国际标准音规定la的频率为440赫兹！
提出问题：他们演奏的音准吗？问题出在哪里？
音阶 1 do 2 re 3 mi 4 fa 5 so 6 la 7 si i do’
频率 264 297 330 352 396 440 495 528
音阶 1 do 2 re 3 mi 4 fa 5 so 6 la 7 si i do’
频率 264 297 330 352 396 440 495 528
x时间
y音高
音阶的发展
七个音比较单一、相邻音阶之间的频率比不同
十二平均律
思考：如何在f与2f之间等比例插入11个数？若每一项与其前一项的比为q，则比值q等于多少？
十二平均律：将一个八度音程，等比例分成十二个半音！从而产生十二个音阶！
=2,则q==
2f
f
qf
q2f
q3f
q4f
q5f
q6f
q7f
q8f
q10f
q9f
q11f
=q12f
q13f
re
so
mi
fa
la
si
do
2f
f
qf
q2f
q3f
q4f
q5f
q6f
q7f
q8f
q10f
q9f
q11f
=q12f
q13f
do
re
mi
fa
so
la
si
do’
2、3、5、8、13...
斐波那契数列
2f
f
qf
q2f
q3f
q4f
q5f
q6f
q7f
q8f
q10f
q9f
q11f
=q12f
q13f
实质是指数函数！
链接高考：
2020年全国二卷文科数学第3题
10个
说说你的收获！
课后作业：
1.查阅相关资料，学习音乐中还蕴含的其他数学知识，感受数学的魅力！
2.尝试利用几何画板自制音阶，并通过几何画板制作的这些音阶的复合函数来制作一首自己喜欢的音乐！
谢谢您的聆听！北师大版（2019版） 高中数学必修二
第一章 阅读材料
数学与音乐
《数学与音乐》教学设计
一.教学内容
《数学与音乐》这节课选自高中数学北师大版必修二第一章第八节的阅读材料，需要在学生系统学习第一章《三角函数》之后开展.它是学生有一定的音乐素养，以及在高中学习了三角函数的基础上，进一步探究的问题，重点学习音乐中蕴含的数学知识，让学生体会数学学科之美，体会数学学科的基础性，为学生发现数学和应用数学提供了素材和平台.
这节课是数学与音乐两个学科的相互交融，以音乐中的音阶为研究对象，从它的产生及发展史出发，引导学生学习并探究音乐中蕴含的数学知识，从而感受数学的魅力。本节主要分成三个部分，一是三角函数中三个参数对声音的音调及响度的影响；二是学习并探究音阶之间频率的关系，并根据频率关系制作乐器并演奏音乐《小星星》；三是学习音乐中的十二平均律，探究钢琴中的数学奥秘，体会数学之美.
教学目标
通过几何画板软件演示、视频学习、数学史学习、实例运算等方式，学习并掌握三角函数三个参数对声音音调及响度的影响、音阶之间的频率关系、音乐中的十二平均律所蕴含的数学知识.
2.通过将音乐学科与数学学科融合，信息技术与数学课堂融合，提升学生对数学学习的兴趣，让学生感受数学之美.
教学重难点
重点：探究三角函数对声音的音调与响度的影响，音阶的频率关系及其中蕴含的数学知识.
难点：提升学生对数学文化及数学思想的渗透，提升学生对数学学习的兴趣，让学生感受数学之美.
四.学情分析
一方面，学生在小学初中阶段对音乐音阶知识有一定的了解，对音乐有着欣赏、喜爱之情，对音乐中蕴含了哪些数学知识有一定的学习兴趣；另一方面，在学生学习了数学中的《三角函数》及物理中的简谐运动之后，学生已经掌握声音的本质是物体振动产生的三角函数波的相关理论，具有一定的数学运算能力，数学分析能力.
五.信息技术支持
本节课使用的信息技术工具有：PPT演示文稿，几何画板软件，视频及调音器软件.通过信息技术融合，培养学生的创新精神和实践能力，使教学过程整体优化，提高教学质量和效率.
六.教学过程
（一）课题引入——激发兴趣
师：图片上是我们河南省贾湖墓葬群中发掘的距今约九千多年的贾湖古笛，同学们注意观察，古笛音孔旁有明显的横线刻记，不难看出开孔前的刻线显然是根据某种特殊的比例关系计算好的。
提出问题1.音乐是怎么通过数学计算得来的？我们是否能做出类似简单的乐器？
提出问题2.古笛成比例钻孔，实际上是想产生音乐中的什么？
生：do、re、mi、fa、so、la、xi、do’
设计意图：引入课题，音乐中的音阶可以通过数学计算出来的，呼应后面利用所学知识制作乐器.
合作学习——感悟数学
知识模块一：探究三角函数的参数对声音的音调及响度的影响.
师：声音是如何产生的声音的本质是什么？
生：声音的本质是物体震动产生的波，波的本质是数学中的三角函数.
师：三角函数周期T什么关系？频率f又有什么关系？
生：回答问题.
师：音阶像阶梯一样音调越来越高？是三角函数中哪个参数的作用？声音的大小即响度又与三角函数的哪个参数有关？
设计意图：问题环环相扣，引入本模块探求内容.
师：接下来我们用会发声的几何画板，来一起探究这个问题.
设计意图：1.控制变量法：先改变振幅A的大小，再改变频率f的大小，最后改变初相的大小，来探究三角函数对声音的影响.
2.利用几何画板软件的发声功能，让学生直观感受三角函数对声音的影响，引起学生的兴趣.
知识模块二：音阶频率之间的关系
师：根据刚刚的学习音阶的音调越来越高是因为声音的频率越来越大，那高音do比中音do的频率大多少？它们之间的频率具体有怎样的关系？这个问题早在两千多年前著名数学家毕达哥拉斯就帮我们探究过.
师：播放视频
师：通过视频你学到了什么？
生：高音do的频率是中音do频率的两倍.
设计意图：通过视频中数学家毕达哥拉斯探究弦长与音调的关系故事，将数学文化、数学思想渗透到数学课堂中，引起学生的兴趣.
师：根据视频，假定中音do的频率为f，高音do的频率就为2f，那么问题又来了：其他音阶re,mi,fa,so,la,xi的频率分别为多少？它们之间的频率具体有怎样的关系？
设计意图：问题环环相扣，先探究音阶的频率的大小关系，再探究中音do与高音do的频率关系，最后上升到其他音阶的频率关系，层层递进，引起学生的探究欲望.
师：毕达哥拉斯用频率比为1：2及2：3得到了其他所有音阶的频率.
音阶 1 do 2 re 3 mi 4 fa 5 so 6 la 7 s i I do’
频率
师：为什么频率比为1：2及2：3的声音复合，发出的声音和谐？有什么理论依据？几何画板演示波形图.
设计意图：数学软件几何画板演示，让学生直观感知，从而解决问题，提升学生的积极性.
动手实践、乐器制作
师：现在给大家10分钟时间，小组合作，利用手边的器具，根据刚刚学习的音阶之间的频率关系，制作一个简单的乐器，并演奏《小星星》.这里需要注意弦长与频率成反比，同学们可以先规定好do的长度，然后根据比例就可以得到其他音阶的长度！
生：小组合作，制作乐器，成果展示.
设计意图：学生亲自动手实践，用数学计算音乐，调动了学生学习数学的积极性.
师：刚刚制作的乐器似乎有点音不准，问题出在哪里？
生：do的频率应该是固定的，它的长度不能随便规定.
师：现在国际标准音规定la的频率为440赫兹，根据音阶之间的比例关系，我们可以得到其他所有音阶的频率，因此老师用几何画板制作了一个小乐器，现在来给大家弹奏一曲.
设计意图：让学生体会数学与音乐中的联系，提高数学学习兴趣.
师：老师弹奏的什么乐器？
生：欢乐颂
师：没错，这是贝多芬的欢乐颂，当时贝多芬的耳疾日益严重，他是怎么创作出这首绝美的曲子的？
生：欢乐颂的曲子是音高随时间变化的函数，不难看出该函数与正弦曲线有着惊人的相似.
设计意图：通过音乐家贝多芬的励志故事，让学生进一步感受数学的魅力！
知识模块三：音阶的发展——十二平均律
师：随着音乐的发展，人们认为仅使用这七个音阶比较单一，并且相邻音阶之间的频率比不同，造成音乐上的转调非常不方便，因此产生了新的音律——十二平均律.它最早是由我国明朝王爷朱载堉发明的.十二平均律是将一个八度音程等比例分成12个半音，从而产生十二个音阶.
师：提问：如何在f与2f之间等比例插入11个数，若每一项与前一项的比值为q，则比值q等于多少？给大家三分钟小组讨论.
生：小组合作，探究问题，派代表上讲台展示结果
设计意图：学生通过数学思维解决了音乐问题，锻炼了学生的数学思维能力.
师：为无理数，它等于多少？试想在明朝没有科学计算机的情况下朱载堉是怎么计算出来的？
生：算盘！
师：没错，朱载堉就是利用了一个八十一位超级大算盘计算出了这个值，并精确到了小数点后二十五位！
设计意图：让学生体会数学家的坚韧与伟大.
师：十二平均律的代表乐器是钢琴，钢琴有黑白两种琴键它们分别表示什么意思？我们将朱载堉计算出来的q=1.059带入计算发现了一些巧合的数据.因此钢琴上的白键为原来的键，新产生的音我们设置成了黑键！
师：钢琴在一个八度区中共用13个键，其中8个白键、5个黑键又分成3个一组和2个一组，连续的5个数字：2、3、5、8、13，会发现后一项等于前面两项之和这正是我们数学中学习的斐波那契数列.
师：十二平均律的产生，用到了我们今后将要学习的等比数列，它的实质是一个指数函数，不知道同学们有没有注意：大型钢琴的轮廓线就是一条指数曲线！
设计意图：通过老师讲解，学生齐答的模式，让学生感受音乐中蕴含的数学知识，让学生感受到数学的威力，提升学生数学学习的兴趣.
链接高考——学以致用
2020年全国二卷文科数学第3题：
设计意图：用数学思维、数学运算解决音乐问题，让学生体会数学在音乐学科中的作用.
归纳总结——思想升华
教师鼓励学生自己总结本节课的收获,学生畅谈！
教师总结：数学无处不在，正如毕达哥拉斯所说“万物皆数”.希望同学们继续保持对数学学习的热情与努力，相信数学会为你的未来带来无限的可能！
设计意图：提高学生参与度，升华思想，提升学生对数学学习的兴趣，体会数学学科的基础性，让学生感受数学之美.
课后作业——拓展延伸
1.查阅相关资料，学习音乐中还蕴含的其他数学知识，感受数学的魅力！
2.尝试利用几何画板自制音阶，并通过几何画板制作的这些音阶的复合函数来制作一首自己喜欢的音乐！
设计意图：课后仍让学生参与起来，感受数学的魅力，提高数学学习的热情.
板书设计
数学与音乐 三角函数 A振幅 响度 f（频率） 音调初相与声音无关 PPT投影 学生演示讲解部分
八.教学评价
本节课主要学习音乐中蕴含的数学知识，与传统数学课堂不同，这节课的主要目的不是传授数学知识，而是让学生在合作参与中感受数学的魅力，提升对数学学习的热情！
课前，借助贾湖骨笛的发掘问题，引出课题，充分激发学生的求知欲.课上，先是利用几何画板软件的发声功能探究三角函数与声音的音调及响度的关系.接着利用视频讲解、合作探究、层层设问的方法得到音阶之间的频率关系.随后小组合作，制作简单乐器——排箫，并演奏《小星星》，充分调动了学习热情.教师还利用几何画板软件制作电子琴并弹奏《欢乐颂》.最后学习音乐中的十二平均律，探究钢琴中的数学奥秘.课后，给学生留下相关任务，使思维建设得以延展.
本节课也存在一些不足.首先，主要是教师分享教师所学习的音乐中的数学知识，少了学生自己的分享.其次问题的发现和研究的方向，是由教师提出，学生被动思考，应当给学生思维留下空间.
如何将信息技术与课堂融合创新，如何将数学课堂变得生动有趣，一直是一个难题.本节课是一次尝试，也希望在今后的教学过程中，能将这份热情延续.总之，为学生创设一节能够体验、能够操作、能够探究、能够质疑、能够思考的数学课，应该是我们不懈的追求！
附件：课本原文
