2024年吉林省中考数学真题（含答案）

2024年吉林省中考数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．若（﹣3）×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
2．长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达2040000000m3．数据2040000000用科学记数法表示为（　　）
A．2.04×1010 B．2.04×109
C．20.4×108 D．0.204×1010
3．葫芦在我国古代被看作吉祥之物．如图是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同
B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．主视图、左视图与俯视图都相同
4．下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．（x﹣2）2＝﹣1 B．（x﹣2）2＝0 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝2
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC．若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（2，4） D．（4，2）
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（　　）
A．50° B．100° C．130° D．150°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 　 　．
8．因式分解：a2﹣3a＝　 　．
9．不等式组的解集是　 　．
10．如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 　 　．
11．正六边形的一个内角的度数是 　 　°．
12．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF．若∠FEO＝45°，则的值为 　 　．
13．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 　 　．
14．某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D．OA＝1m，OB＝10m，∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为 　 　m2（结果保留π）．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（a+1）（a﹣1）+a2+1，其中．
16．（5分）吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道舰丽的风景线．某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．
17．（5分）如图，在 ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E．求证：AE＝BC．
18．（5分）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的⊙O．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出四边形ABCD的一条对称轴．
（2）在图②中，画出经过点E的⊙O的切线．
20．（7分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
（2）当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．
21．（7分）中华人民共和国2019﹣2023年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．
（以上数据引自《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》）
根据以上信息回答下列问题：
（1）2019﹣2023年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？
（2）直接写出2019﹣2023年全国居民人均可支配收入的中位数．
（3）下列判断合理的是 　 　（填序号）．
①2019﹣2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势．
②2019﹣2023年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年，因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．
22．（7分）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB＝873m，如图②．从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究．第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x mm，凳面的宽度为y mm，记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
凳面的宽度y/mm 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
（2）当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
24．（8分）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：
【探究论证】
（1）如图①，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC，垂足为点D．若CD＝2，BD＝1，则S△ABC＝　 　．
（2）如图②，在菱形A′B′C′D′中，A′C′＝4，B′D′＝2，则S菱形A′B′C′D′＝　 　．
（3）如图③，在四边形EFGH中，EG⊥FH，垂足为点O．
若EG＝5，FH＝3，则S四边形EFGH＝　 　；
若EG＝a，FH＝b，猜想S四边形EFGH与a，b的关系，并证明你的猜想．
【理解运用】
如图④，在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，点P为边MN上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图；
（ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN，KM于点R，I；
（ⅱ）以点P为圆心，KR长为半径画弧，交线段PM于点I′；
（ⅲ）以点I′为圆心，IR长为半径画弧，交前一条弧于点R′，点R′，K在MN同侧；
（ⅳ）过点P画射线PR′，在射线PR′上截取PQ＝KN，连接KP，KQ，MQ．
请你直接写出S四边形MPKQ的值．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，AD是△ABC的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线AD﹣DB向终点B运动．过点P作PQ∥AB，交AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S（cm2）．
（1）当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点E与点C重合时，求t的值．
（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
26．（10分）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为﹣2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．
（1）直接写出k，a，b的值．
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程ax2+bx+3﹣t＝0（t为实数），在0＜x＜4时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图象上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为﹣m+1．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．解：（﹣3）×2＝﹣6，故A选项错误；
（﹣3）×1＝﹣3，故B选项错误；
（﹣3）×0＝0，故C选项错误；
（﹣3）×（﹣1）＝3，故D选项正确；
故选：D．
2．解：2040000000＝2.04×109．
故选：B．
3．解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同，
故选：A．
4．解：A、（x﹣2）2＝﹣1化简为方程x2﹣4x+5＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝5，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，
此方程没有实数根，不符合题意；
B、（x﹣2）2＝0，化简为x2﹣4x+4＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝4，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，
∴此方程有两个相等实数根，符合题意；
C、（x﹣2）2＝1，化简为方程x2﹣4x+3＝0中，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝3，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、方程（x﹣2）2＝2，化简为可化为x2﹣4x+2＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝2，
∴Δ＝42﹣4×1×2＝16﹣8＝8＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
故选：B．
5．解：∵点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2），
∴OA＝4，OC＝2，
∵四边形ABCO是矩形，
∴BC＝OA＝4，
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，
∴OC′＝OC＝2，B′C′＝BC＝4，
∴点B′的坐标为（2，4）．
故选：C．
6．解：∵BE∥AD，
∴∠ADC＝∠BEC＝50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．解：∵＞0，1＞0，
∴x+1＞0，即x＞﹣1，
则满足条件x的值可以为0（答案不唯一）．
故答案为：0（答案不唯一）．
8．解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
9．解：，
由①得：x＞2，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集是：2＜x＜3．
故答案为：2＜x＜3．
10．解：其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
11．解：由题意得：180°×（6﹣2）÷6＝120°，
故答案为：120．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AD＝BC，
∵∠FEO＝45°，
∴∠FEO＝∠DAC，
∴EF∥AD，
∵点E是OA的中点，
∴点F是OD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF＝AD，
∴EF＝BC，
即，
故答案为：．
13．解：在Rt△AB'C中，由勾股定理得，
AC2+B'C2＝AB'2，
即x2+22＝（x+0.5）2，
故答案为：x2+22＝（x+0.5）2．
14．解：阴影部分的面积为：＝11π（m2）．
故答案为：11π．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解：（a+1）（a﹣1）+a2+1
＝a2﹣1+a2+1
＝2a2
∵'
∴原式＝2×（）2＝6．
16．解：把“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种，
∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率为＝．
17．证明：∵点O是AB的中点，
∴AO＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠E＝∠BCO，
又∠AOE＝∠BOC，
∴△AOE≌△BOC（AAS），
∴AE＝BC．
18．解：设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，
由题意得：，
解得：，
答：白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．解：（1）如图①所示，直线GH与直线EF即为所求；
（2）如图②所示，直线AB即为所求．
20．解：（1）设I＝，
由题意得：K＝RI＝36，
∴这个反比例函数的解析式为I＝；
（2）电阻R为3Ω时，I＝＝12A．
21．解：（1）39218﹣30733＝8485（元），
答：2019﹣2023年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低多8485元；
（2）把2019﹣2023年全国居民人均可支配收入从小到大排列，排在中间的数是2021年人均可支配收入，
所以2019﹣2023年全国居民人均可支配收入的中位数是35128元；
（3）由折线统计图可知，
2019﹣2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势，故①说法正确；
因为2019﹣2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势，所以这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②说法错误．
故答案为：①．
22．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD，
∴∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°．
∴四边形CDBF是矩形．
∴BF＝CD，CF＝BD＝873m．
∵CF∥BD∥AE，
∴∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°．
在Rt△ACF中，
∵tan∠ACF＝，
∴AF＝tan∠ACF CF
＝tan37°×873
≈0.75×873
≈654.75（m）．
在Rt△DBA中，
∵tan∠ADB＝，
∴AB＝tan∠ADB BD
＝tan45°×873
＝1×873
＝873（m）．
∴CD＝FB＝AB﹣AF
＝873﹣654.75
＝218.25
≈218.3（m）．
答：吉塔的高度CD约为218.3m．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．解：（1）它们在同一条直线上，
设y＝kx+b，
则：，
解得：，
所以这条直线所对应的函数解析式为y＝5x+33；
（2）当y＝213mm时，213＝5x+33，
解得：x＝36，
所以当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是36mm．
24．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CD＝2，
∴AD＝CD＝2，
∴AC＝4，
∴S△ABC＝AC BD＝2．
故答案为：2．
（2）∵在菱形S菱形A'B'C'D'A'B'C'D'中，A'C'＝4，B'D'＝2，
∴S菱形A'B'C'D'＝A'C' B'D'＝4，
故答案为：4．
（3）∵EG⊥FH，
∴S△EFG＝EG FO，S△EHG＝EG HO，
∴S四边形EFGH＝S△EFG+S△EHG＝EG FO+EG HO＝EG FH＝，
故答案为：．
猜想：S四边形EFGH＝，
证明：∴S△EFG＝EG FO，S△EHG＝EG HO，
∴S四边形EFGH＝S△EFG+S△EHG＝EG FO+EG HO＝EG FH＝．
（4）根据尺规作图可知：∠QPM＝∠MKN，
∵在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，
∴MK2＝MN2+KN2，
∴△MNK是直角三角形，且∠MNK＝90°，
∴∠NMK+∠MKN＝90°，
∵∠QPM＝∠MKN，
∴∠NMK+∠QPM＝90°，
∴MK⊥PQ，
∵PQ＝KN＝4，MK＝5，
∴根据（3）中结论得S四边形MPKQ＝MK PQ＝10．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．解：（1）如图，过Q作QH⊥AD于点H，
∵PQ∥AB，
∴∠BAD＝∠QAP，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠QAP，
∴QA＝QP，
∴△APQ是等腰三角形．
∵QH⊥AP，
∴AH＝AP＝，
∵∠CAD＝30°，
∴AQ＝＝t，
故△APQ是等腰三角形，AQ＝t．
（2）如图所示，E、C重合时图形．
∵△PQE是等边三角形，
∴QE＝QP，
由（1）得QA＝QP，
∴AE＝2AQ，即2t＝3，
∴t＝．
（3）①当点P在AD上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形PQE，如图作PG⊥QE于点G，
∵∠PAQ＝30°，
∴PG＝AP＝t，
∵△PQE是等边三角形，
∴QE＝PQ＝AQ＝t，
∴S＝QE PG＝．
由（2）知当点EC重合时，t＝，
∴S＝（0＜t≤）．
②当点P在AD上，点E在AC延长线上时，重合部分时四边形PQCF．
在Rt△FCE中，CE＝2t﹣3，∠E＝60°，
∴CF＝CE tan60°＝（2t﹣3），
∴S△PCE＝（2t﹣3） （2t﹣3）＝（2t﹣3）2，
∴S＝S△PAC﹣S△PCE＝﹣（2t﹣3）2＝﹣t2+6t﹣（＜t＜2）．
③当点P在DB上，重合部分时直角三角形PQC，
S＝CQ CP＝（t﹣1） （t﹣1）＝（t﹣1）2，（2≤t≤4）．
综上所述，S＝．
26．（1）解：∵x＝﹣2＜0，
∴将 x＝﹣2，y＝1 代入 y＝kx+3，得：﹣2k+3＝1，解得：k＝1，
∵x＝2＞0，x＝3＞0，
将x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分别代入 y＝ax2+bx+3 得：，
解得：；
故：a＝1，b＝﹣2，k＝1．
（2）解：I：∵k＝1，a＝1，b＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝x+3，二次函数解析式为：y＝x2﹣2x+3，
当x＞0时，y＝x2﹣2x+3，其对称轴为直线x＝1，开口向上，
∴x≥1时，y随着x的增大而增大；
当x≤0时，y＝x+3，k＝1＞0，
∴x≤0时，y随着x的增大而增大，
综上，x的取值范围：x≤0或x≥1；
Ⅱ：∵ax2+bx+3﹣t＝0在0＜x＜4时无解，
∴ax2+bx+3＝t，在0＜x＜4时无解，
∴问题转化为抛物线 y＝x2﹣2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时无交点，
∵对于 y＝x2﹣2x+3，当x＝1时，y＝2，
∴顶点为（1，2），
如图：
∴当t＝2时，抛物线 y＝x2﹣2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时正好一个交点，
∴当t＜2时，抛物线 y＝x2﹣2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点；
当x＝4，y＝16﹣8+3＝11，
∴当t＝11时，抛物线 y＝x2﹣2x+3 与直线y＝t在0＜x≤4时正好一个交点，
∴当t≥11时，抛物线 y＝x2﹣2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，
∴当t＜2或t≥11时，抛物线 y＝x2﹣2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，
即：当t＜2或t≥11时，关于x的方程 ax2+bx+3﹣t＝0 （t为实数），在0＜x＜4时无解；
Ⅲ：∵xP＝m，xQ＝﹣m+1，
∴，
∴点P、Q关于直线 对称，
当 x＝1，y最小值＝1﹣2+3＝2，
当 x＝0时，y最大值＝3，
∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当 x＝2 时，y＝3，x＝﹣1 时，y＝2，
∴①当 如图：
由题意得：，
∴1≤m≤2；
②当 ，如图：
由题意得：，
∴﹣1≤m≤0，
综上：﹣1≤m≤0或1≤m≤2．