云南省保山市实验中学2023-2024学年高二下学期6月月考测评（八）数学试题（含解析）

保山市实验中学2023-2024学年高二下学期月考测评（八）
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.甲 乙 丙三名高一学生都已选择物理 化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治 历史 地理 生物中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（ ）
A. B. C. D.
2.某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（ ）
男生 女生
篮球迷 30 15
非篮球迷 45 10
附：，其中.
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
A.没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B.有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
3.某工厂5月份生产5000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布，已知，则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为（ ）
A.4400 B.4500 C.4600 D.4900
4.已知等比数列的前项积为，公比，则取最大值时的值为（ ）
A.3 B.6 C.4或5 D.5或6
5.已知分别是平面的法向量，若，则（ ）
A.-7 B.-1 C.7 D.1
6.已知随机变量的分布列如表：
-2 0 2
其中成等差数列，则的值是（ ）
A. B. C. D.
7.已知，则（ ）
A.-14 B.28 C.14 D.-28
8.设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（ ）
A.4 B. C. D.8
二 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.某学校一名同学研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据：
5 6 8 9 12
17 20 25 28 35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列说法正确的有（ ）
（参考公式：相关系数公式）
A.样本中心点为
B..2
C.当时，残差为-0.1
D.若去掉样本点，则样本的相关系数增大
10.已知直线和圆，则下列选项正确的是（ ）
A.直线恒过点
B.圆与圆有三条公切线
C.直线被圆截得的最短弦长为
D.当时，圆上存在无数对关于直线对称的点
11.下列结论正确的是
A.若随机变量的方差，则
B.已知随机变量服从二项分布，若，则
C.若随机变量服从正态分布，则
D.若事件与相互独立，且，则
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.若随机变量，则__________.
13.为了解某社区居民的2023年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出（万元） 6.2 7.5 8.0 9.7
根据上表可得回归直线方程，则__________.
14.已知函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为__________.
四 解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了抽样调查，从全体学生中随机抽取男女各100名学生，经统计，抽查数据如下表：
性别 锻炼 合计
经常 不经常
男生 60 40 100
女生 80 20 100
合计 140 60 200
（1）依据小概率值的独立性检验，分析性别与体育锻炼的经常性是否有关？
（2）为提高学生体育锻炼的积极性，学校决定在上述经常参加体育锻炼的学生中，按性别分层抽样随机抽取7名同学组成体育锻炼宣传小组，并从这7名同学中选出3人担任宣传组长，记男生担任宣传组长的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
附：.（其中，为样本容量）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.（本小题满分15分）
已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
17.（本小题满分15分）
已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作的准线的垂线，垂足为为坐标原点.
（1）证明：三点共线；
（2）若，求直线的方程.
18.（本小题满分17分）
一个袋子中有10个大小相同的球，其中黄球6个，红球4个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
（1）求第2次摸到红球的概率；
（2）对于事件，当时，证明：；
（3）利用（2）中的结论，求第次都摸到红球的概率.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，，证明不等式；
（3）当时，求函数的单调区间.
2022级高二年级教学测评月考卷（八）
数学参考答案
第I卷（选择题，共58分）
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B D C A B C
【解析】
1.根据题意，甲 乙 丙三名高一学生需要在4门科目中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，即每人有4种选法，则3人有种不同的选法，故选D.
2.根据题目中的列联表数据，
男生 女生 合计
篮球迷 30 15 45
非篮球迷 45 10 55
合计 75 25 100
得到，所以，没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关，故选A.
3.灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布，且，
工厂该
月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为个，故选B.
4.等比数列的前项积为，公比，则，故取最大值时的值为5或6，故选D.
5.因为，又，所以，所以，解得，故选.
6.因为成等差数列，所以，根据随机变量分布列的性质：，所以，所以，故选A.
7.令，整理得：与分别是展开式中与的系数，展开式的通项公式为，故选B.
8.设，则满足，取，，即，联立解得，则的面积为，故选C.
二 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 AB ACD ABD
【解析】
9.，所以样本中心点为，故A正确；由，得，故B正确；由B知，，当时，，则残差为，故C错误；因为，所以，所以去掉样本点后，相关系数的公式中的分子 分母的大小都不变，故相关系数的大小不变，故D错误，故选AB.
10.对于A，由直线的方程，可知直线恒经过定点，故A正确；对于B，由圆的方程，可得圆心，半径，又由，所以圆与圆相交，圆与圆有两条公切线，故B错误；对于，由，根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为，故正确；对于，将圆心代入直线的方程，可得，所以圆上存在无数对关于直线对称的点，故D正确，故选ACD.
11.对于A，因为随机变量的方差，所以，故A正确；对于B，因为随机变量服从二项分布，所以，因为，所以，得，故B正确；对于C，因为随机变量服从正态分布，所以，故错误；对于，因为事件与相互独立，且，所以，故D正确，故选ABD.
第II卷（非选择题，共92分）
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 4 8.6
【解析】
12.随机变量.
13.样本点的中心的坐标为，代入，得，解得.
14.关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有两个不相等的实数根，令，则函数在上为增函数，在上为减函数，又，当时，，实数的取值范围为.
四 解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
解：（1）零假设为：性别与锻炼的经常性无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为性别与锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
（2）根据分层抽样可知，随机抽取的7名同学中男生3人，女生4人，
随机变量所有可能的取值分别为，
根据古典概型的知识，可得，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以.
16.（本小题满分15分）
解：（1），
当时，，
两式相减，得，即，
又，
，满足上式，
即数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
（2）
，
.
17.（本小题满分15分）
（1）证明：拋物线的焦点坐标为，
设直线的方程为，点，
联立，消去得，则，
所以，
因为，所以，
又，
所以，
即，
所以三点共线.
（2）解：因为，所以，
于是，即，
所以，
所以直线的方程为.
18.（本小题满分17分）
（1）解：记事件“第次摸到红球”，
则第2次摸到红球的事件为，
由题意可得，，
所以.
（2）证明：因为，
所以.
（3）解：由题意可知，，
由（2）中结论，
可得.
19.（本小题满分17分）
（1）解：当时，则，其定义域为，
，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以函数的最小值为.
（2）证明：当时，则，
构建，
则在内恒成立，
可知在内单调递增，则，
所以当时，.
（3）解：因为的定义域为，且，
令，解得或，
①当，即时，的单调递减区间为，单调递增区间为
②当，即时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
③当，即时，的单调递减区间为，单调递增区间为