人教版数学九年级上暑假预习课第八讲 二次函数二次函数与一元二次方程（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级上暑假预习课第八讲 二次函数二次函数与一元二次方程（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-04 14:51:34 | ||
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文档简介
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人教版数学九年级上暑假预习课
第八讲 二次函数二次函数与一元二次方程
一、知识点导航
知识点1 抛物线与坐标轴的交点
已知二次函数
（1）轴与二次函数得交点为(0, ).
（2）二次函数与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.
名师点拨
典例剖析1
例1-1．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为（-，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（-3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例1-2．经过A（2-3b,m），B（4b+c-1，m）两点的抛物线y=-x2+bx-b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
A. 10 B. 12 C. 13 D. 15
例1-3．若函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，则一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过第（ ）象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
针对训练1
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（-1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（ ）
A. a＞0
B. c＜0
C. 当x＞1时，y随x的增大而增大
D. x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（-1，0），则点Q的坐标为_____．
3．对于抛物线y=x2-4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 _____，与y轴交点的坐标为 _____，顶点坐标为 _____；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x … …
y … …
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x2-4x+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是 _____．
能力提升1
1．已知二次函数的表达式为y=x2-（2m-1）x+m2-m.
（1）试判断该二次函数的图象与x轴交点的个数？并说明理由．
（2）此二次函数的图象与函数y=2x+m+4的图象的一个交点在y轴上，求m的值．
2．已知抛物线y=-x2-6x+7与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求△ABC的面积．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-x+2（a≠0）．
（1）若a=-1，求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若顶点纵坐标为3，求a的值；
（3）已知点M，N的坐标分别为（-1，2），（2，1）．
①若抛物线与直线MN有两个不同的交点，求a的取值范围；
②若抛物线与直线MN的两个交点都在线段MN上，求a的取值范围．
知识点2 图像法求一元二次方程的解
利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具体过程如下：
①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c；
②观察图象，确定抛物线与x轴的交点的横坐标；
③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
名师点拨
用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x轴的交点）的两侧各取一点，
则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间．
3．通过取平均数求根的近似值，具体的操作过程如下：
①取使函数值异号且绝对值较小的两个自变量的值m，n；
②分别将，n（或，m）作为自变量的值代入函数解析式，判断其函数值是否异号；
③重复执行步骤①②，以提高根的估计值的精确度。
典例剖析2
例2-1．如表是二次函数y=ax2+bx+c的几组对应值：
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是（ ）
A. 6.16＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18
C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20
例2-2．二次函数y=-x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A. t＞-5 B. -5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. -5＜t≤4
例2-3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=2，则下列说法中正确的有（ ）
①abc＜0；
②＞0；
③16a+4b+c＞0；
④5a+c＞0；
⑤方程ax2+bx+c=0（a≠0）其中一个解的取值范围为-2＜x＜-1．
A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
针对训练2
1．我们把一元二次方程x2-2x-3=0的解看成是抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2-2x-3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数 _____与函数 _____的图象交点的横坐标（写出其中的一对）．
2．在初中阶段的函数学习中，我们经历的“确定函数的表达式--画函数图象--利用函数图象研究其性质--运用函数图象解决问题“的学习过程．九年级数学共同体的同学根据学习函数的经验．通过列表、描点、连线的方法研究了函数y=-3的相关性质和应用．以下是研究的部分过程，请你按要求完成下列问题．
（1）列表：下表列出x、y的部分对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … - - - -1 3 b - - - …
根据表格中的数据计算出：a=_____，b=_____；
（2）根据上表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中已经描出部分点的位置，请继续通过描点、连线的方法．画出该函数图象，并写出该函数的一条性质：_____；
（2）已知函数y=x+的图象如图所示，结合你画的图象．直接写出方程 =x+的解．（保留1位小数，误差不超过0.2）
3．阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程2x2+x-2=0的根的所在的范围．
第一步：画出函数y=2x2+x-2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标
在0，1之间．
第二步：因为当x=0时，y=-2＜0；当x=1时，y=1＞0．
所以可确定方程2x2+x-2=0的一个根x1所在的范围是0＜x1＜1．
第三步：通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围；
取x==，因为当x=时，y＜0，
又因为当x=1时，y＞0，
所以＜x1＜1．
（1）请仿照第二步，通过运算，验证2x2+x-2=0的另一个根x2所在范围是-2＜x2＜-1；
（2）在-2＜x2＜-1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在范围缩小至m＜x2＜n,使得n-m≤．
能力提升2
1．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：
例题：求一元二次方程x2-x-1=0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．
如图，把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y=_____的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y=_____的图象与一个一次函数y=_____的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．
2．二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … -1 - -2 - …
根据表格中的信息，完成下列各题
（1）当x=3时，y=_____；
（2）当x=_____时，y有最_____值为_____；
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，且-1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1_____y2
（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是_____．
3．利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法；
（2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程x3-x-2=0的解．（结果保留2个有效数字）
知识点3 图像法求一元二次不等式的解集
抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
名师点拨
利用函数图像解不等式
典例剖析3
例3-1 .函数的图象如图，那么：
方程的根是 ；
不等式的解集是 ；
不等式的解集是 ．
针对训练3
1.已知，二次函数的图象如图所示，二次函数与x轴交于，，
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，x的取值范围是 ．
2.如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
能力提升3
1.在平面直角坐标系中，抛物线经过点、．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)求这条抛物线与x轴的交点坐标．
(3)当时，y的取值范围为_____________．
2.已知抛物线的图像过点，顶点横坐标为，如图
(1)求、的值；
(2)求的最大值；
(3)直接写出当时，的取值范围．
知识点4 抛物线与x轴交点问题
1.二次函数与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.
2.二次函数与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点二次函数与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）二次函数与轴相切 此时二次函数为；
总结完全平方形式的二次函数与x轴只有一个交点
③没有交点二次函数与轴相离.注意这种情况 当a＞0,y值恒＞0，当a＜0,y值恒＜0，
3.平行于轴的直线与二次函数的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
名师点拨
求直线与抛物线的交点坐标,只需联立直线与抛物线的解析式,解关于x,y的方程组,即可求得交点坐标;
(2)利用一次函数y=kx+t和二次函数y=ax2+bx+c的图象比较两函数值的大小及确定不等式kx+t>ax+bx+c或んx+t典例剖析4
例4-1．已知二次函数的表达式为y=x2-（2m-1）x+m2-m.
（1）试判断该二次函数的图象与x轴交点的个数？并说明理由．
（2）此二次函数的图象与函数y=2x+m+4的图象的一个交点在y轴上，求m的值．
例4-2．已知抛物线y=-2x2+4x+6与x轴交于A、B两点．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）求线段AB的长．
针对训练4
1．已知二次函数y=x2-kx+k-5
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式．
2．已知：二次函数y=-x2+x+c与X轴交于点M（x1，0）N（x2，0）两点，与Y轴交于点H．
（1）若∠HMO=45°，∠MHN=105°时，求：函数解析式；
（2）若|x1|2+|x2|2=1，当点Q（b,c）在直线上时，求二次函数y=-x2+x+c的解析式．
3．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，一元二次方程x2+b2x+20=0的两实根为x3、x4，且x2-x3=x1-x4=3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标．
4．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式．
能力提升4
1．已知关于x的一元二次方程x2+（k-5）x+1-k=0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
2．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2-2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
x … -3 - -2 -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 0 -1 0 3 …
（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（2）观察函数图象，写出2条函数的性质_____；
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程x2-2|x|=0的实数根为_____；
②方程x2-2|x|=2有_____个实数根．
③关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围_____．
知识点5 求抛物线与x轴的截线长
二次函数y=ax +bx+c与x轴的交点有三种情况:有两个交点,一个交点和没有交点.与此相对应,一元二次方程ax +bx+c=0根也有三种情况:有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,没有实数根.二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax +bx+c=0的根.如果要求抛物线与x轴截得的线段长,只需要求出对应一元二次方程ax +bx+c=0的两根x1,x2则∣x1-x2∣即是。
名师点拨
抛物线与x轴的两个交点横坐标x1,x2，∣x1-x2∣=
典例剖析5
例5-1 .用描点法画出的图象并回答下列问题．
(1)列表：（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）
x … …
… …
(2)描点，并连线；
(3)①顶点坐标是 ，当x＝ 时，y有最 值是 ．
②当x 时，y随x的增大而增大．
③该抛物线与y轴交于点 ．
(4)该抛物线与x轴交于点A、B，则AB＝ ．
例5-2 .已知抛物线经过点和点，
(1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离．
针对训练5
1．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y=kx+t（k≠0）的图象上，则称y=ax2+bx+c（a≠0）为y=kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y=x2+1是y=x+1的伴随函数．
（1）若y=x2-4是y=-x+p的伴随函数，求直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数y=mx-3（m≠0）的伴随函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m,n的值．
2．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）.
(1)若为二次函数的图象上一点，求m的值；
(2)求的长.
3．已知关于x的一元二次方程：.
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线与x轴交于，两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由.
（友情提示：）
能力提升5
1．已知关于x的方程有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）试说明；
（3）若抛物线与x轴交于A，B两点，点A，B到原点的距离分别为OA，OB，且，求k的值.
2．已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:对于任意实数t，方程都有实数根；
(2)当t为何值时，二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标互为相反数？请说明理由
人教版数学九年级上暑假预习课
第八讲 二次函数二次函数与一元二次方程
一、知识点导航
知识点1 抛物线与坐标轴的交点
已知二次函数
（1）轴与二次函数得交点为(0, ).
（2）二次函数与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.
名师点拨
典例剖析1
例1-1．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为（-，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（-3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；
②当x=2时，y=4a+2b+c＜0，根据开口方向即可判断；
③利用抛物线的对称轴，设（-3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；
④根据根的判别式即可判断．
解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为（-，m），
∴-，
∴，即ab＞0，
由图可知，抛物线开口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
当x=0时，y=c＞0，
∴abc＞0，
故①正确，符合题意；
②∵直线x=-是抛物线的对称轴，
∴-，
∴，
∴a=b,
由图象可得：x=1时，y=a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，
故②错误，不符合题意；
③∵直线x=-是抛物线的对称轴，
设（-3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，
则，
，
∴d2＞d1，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴y1＞y2，
故③正确，符合题意；
④∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根，
∴Δ=b2-4a（c-3）＜0，
∴b2-4ac+12a＜0，
∴b2-4ac＜-12a,
∴4ac-b2＞12a,
∵，
∴m＜3，
故④正确，符合题意．
故选：C．
例1-2．经过A（2-3b,m），B（4b+c-1，m）两点的抛物线y=-x2+bx-b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
A. 10 B. 12 C. 13 D. 15
【答案】B
【解析】根据二次函数的性质可知=-，再根据经过A（2-3b,m），B（4b+c-1，m）两点的抛物线y=-x2+bx-b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，可知Δ=b2-4×（-）×（-b2+2c）≥0，然后可以得到b和c的关系，求出b和c的值，再根据点A和点B的坐标，即可计算出线段AB长．
解：∵经过A（2-3b,m），B（4b+c-1，m）两点的抛物线y=-x2+bx-b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，
∴=-，Δ=b2-4×（-）×（-b2+2c）≥0，
∴b=c+1，b2≤4c,
∴（c+1）2≤4c,
∴（c-1）2≤0，
∴c-1=0，
解得c=1，
∴b=c+1=2，
∴AB=|（4b+c-1）-（2-3b）|
=|4b+c-1-2+3b|
=|7b+c-3|
=|7×2+1-3|
|14+1-3|
=12，
故选：B．
例1-3．若函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，则一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过第（ ）象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】A
【解析】由二次函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，可知Δ＜0，得出m＜-1，然后根据m的取值判定m+1，m-1的取值即可．
解：∵二次函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，
∴Δ＜0，即4+4m＜0，
∴m＜-1，
∴m+1＜0，m-1＜0，
一次函数经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
针对训练1
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（-1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（ ）
A. a＞0
B. c＜0
C. 当x＞1时，y随x的增大而增大
D. x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
【答案】D
【解析】根据抛物线开口方向可判断A；根据图象与y轴交点的位置即可判断B；根据图象从左往右的趋势即可判断C，根据抛物线的对称性即可判断D．
解：A、∵抛物线抛物线开口方向向下，
∴a＜0，故本选项结论错误；
B、∵二次函数图象与y轴交于y轴正半轴，
∴c＞0，故本选项结论错误；
C、∵抛物线对称轴为直线x=1，开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
故本选项结论错误；
D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（-1，0），对称轴是直线x=1，则另一交点坐标是（3，0），
∴x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，
故本选项结论正确．
故选：D．
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（-1，0），则点Q的坐标为_____．
【答案】（3，0）
【解析】点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，即可求解．
解：点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，
则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，
则：点Q的横坐标为-1+4=3，
故答案为：（3，0）．
3．对于抛物线y=x2-4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 _____，与y轴交点的坐标为 _____，顶点坐标为 _____；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x … …
y … …
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x2-4x+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是 _____．
【答案】(1)（3，0）（1，0）;(2)（0，3）;(3)（2，-1）;(4)-1≤t＜8;
【解析】运用二次函数与x轴相交时，y=0，与y轴相交时，x=0，即可求出，用公式法可求出顶点坐标，利用列表，描点，连线可画出图象．
解：（1）它与x轴交点的坐标为：（1，0）（3，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，-1）；
故答案为：（1，0）（3，0），（0，3）（2，-1）
（2）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 0 3 …
图象如图所示．
（3）∵关于x的一元二次方程x2-4x+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜的范围内有解，
∵y=x2-4x+3的顶点坐标为（2，-1），
若x2-4x+3-t=0有解，方程有两个根，则：b2-4ac=16-4（3-t）≥0，解得：-1≤t
当x=-1，代入x2-4x+3-t=0，t=8，
当x=，代入x2-4x+3-t=0，t=，
∵x＞-1，∴t＜8，
∴t的取值范围是：-1≤t＜8，
故填：-1≤t＜8
能力提升1
1．已知二次函数的表达式为y=x2-（2m-1）x+m2-m.
（1）试判断该二次函数的图象与x轴交点的个数？并说明理由．
（2）此二次函数的图象与函数y=2x+m+4的图象的一个交点在y轴上，求m的值．
【解析】（1）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案；
（2）利用二次函数的图象与函数y=2x+m+4的图象的一个交点在y轴上，则常数项相等，进而得出答案．
解：（1）∵Δ=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4（m2-m）=1＞0，
∴方程x2-（2m-1）x+m2-m=0有两个不相等的实数根．
∴二次函数y=x2-（2m-1）x+m2-m与x轴有两个交点．
（2）令x=0，则m2-m=m+4，
解得：m1=1+，m2=1-．
2．已知抛物线y=-x2-6x+7与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【解析】（1）通过解方程-x2-6x+7=0得点A、B的坐标；
（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
解：（1）当y=0时，-x2-6x+7=0，解得x1=-7，x2=1，
∴点A的坐标为（-7，0），点B的坐标为（1，0）；
（2）当x=0时，y=-x2-6x+7=7，
∴C点坐标为（0，7），
∴△ABC的面积=×（1+7）×7=28．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-x+2（a≠0）．
（1）若a=-1，求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若顶点纵坐标为3，求a的值；
（3）已知点M，N的坐标分别为（-1，2），（2，1）．
①若抛物线与直线MN有两个不同的交点，求a的取值范围；
②若抛物线与直线MN的两个交点都在线段MN上，求a的取值范围．
【解析】（1）把a=-1代入抛物线，令y=0，得一元二次方程，解出方程即得抛物线与x轴的交点坐标；
（2）把纵坐标3代入顶点的纵坐标公式即可求得a的值；
（3）①先求出直线MN的解析式，联立抛物线解析式与直线解析式得一元二次方程，再利用Δ＞0，即可求出a的取值范围；
②分a＜0和a＞0两种情况讨论，分别得到两个关于a的不等式，再结合①中a的条件，即可得到a的取值范围．
解：（1）把a=-1代入得：y=-x2-x+2，
当y=0时，-x2-x+2=0，
解得：x1=1，x2=-2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（-2，0）；
（2）∵顶点纵坐标为3，
∴，
解得：a=，
∴a的值为；
（3）①设直线MN的解析式为：y=kx+b,
把M（-1，2），N（2，1）分别代入得：，
解得，
∴y=x+，
令ax2-x+2=x+，
化简得：3ax2-2x+1=0，
∵抛物线与直线MN有两个不同的交点，
∴Δ=4-4×3a×1＞0，
解得：a＜，
∴a的取值范围为a＜且a≠0；
②∵抛物线与直线MN的两个交点都在线段MN上，
∴当a＜0时，x=-1，y≤2，当x=2时，y≤1，且，满足条件，
即，
解得：a≤-1，
当a＞0时，x=-1，y≥2，当x=2时，y≥1，且，满足条件，
即，
解得：a≥，
∵a＜，
∴，
综上所述，a的取值范围为：．
知识点2 图像法求一元二次方程的解
利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具体过程如下：
①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c；
②观察图象，确定抛物线与x轴的交点的横坐标；
③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
名师点拨
用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x轴的交点）的两侧各取一点，
则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间．
3．通过取平均数求根的近似值，具体的操作过程如下：
①取使函数值异号且绝对值较小的两个自变量的值m，n；
②分别将，n（或，m）作为自变量的值代入函数解析式，判断其函数值是否异号；
③重复执行步骤①②，以提高根的估计值的精确度。
典例剖析2
例2-1．如表是二次函数y=ax2+bx+c的几组对应值：
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是（ ）
A. 6.16＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18
C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20
【答案】C
【解析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．
解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．
ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
例2-2．二次函数y=-x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A. t＞-5 B. -5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. -5＜t≤4
【答案】D
【解析】如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
解：如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，由题意可知：m=4，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=-5，
由图象可知关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴-5＜t≤4．
故选：D．
例2-3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=2，则下列说法中正确的有（ ）
①abc＜0；
②＞0；
③16a+4b+c＞0；
④5a+c＞0；
⑤方程ax2+bx+c=0（a≠0）其中一个解的取值范围为-2＜x＜-1．
A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】由抛物线开口方向、对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据抛物线与x轴的交点情况以及a的符号即可判断②；由16a+4b+c=c即可判断③；由x=5时，y＜0，即可判断④；由抛物线与x轴的交点即可判断⑤．
解：由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又-=2，所以b=-4a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2-4ac＞0，
∵a＜0，
∴＞0，故②正确；
∵16a+4b+c=16a-16a+c=c＞0，
∴16a+4b+c＞0，故③正确；
当x=5时，y=25a+5b+c＜0，
∴25a-20a+c＜0，
∴5a+c＜0，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线x=2，其中一个交点的横坐标在4＜x＜5，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）其中一个解的取值范围为-1＜x＜0，故⑤错误．
故选：B．
针对训练2
1．我们把一元二次方程x2-2x-3=0的解看成是抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2-2x-3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数 _____与函数 _____的图象交点的横坐标（写出其中的一对）．
【答案】(1)y=x2;(2)y=2x+3;
【解析】由于一个方程组的解即是组成方程组的两个函数的图象的交点坐标，所以抛物线x2-2x-3=0可看作两个函数组合而成，而将y=x2和y=2x+3相减即可得到x2-2x-3=0，所以方程的解还可以看成是函数y=x2与函数y=2x+3的图象交点的横坐标．
解：∵x2-2x-3=0可以变为x2=2x+3，
∴x2-2x-3=0的解还可以看成是函数y=x2与函数y=2x+3的图象交点的横坐标．
2．在初中阶段的函数学习中，我们经历的“确定函数的表达式--画函数图象--利用函数图象研究其性质--运用函数图象解决问题“的学习过程．九年级数学共同体的同学根据学习函数的经验．通过列表、描点、连线的方法研究了函数y=-3的相关性质和应用．以下是研究的部分过程，请你按要求完成下列问题．
（1）列表：下表列出x、y的部分对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … - - - -1 3 b - - - …
根据表格中的数据计算出：a=_____，b=_____；
（2）根据上表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中已经描出部分点的位置，请继续通过描点、连线的方法．画出该函数图象，并写出该函数的一条性质：_____；
（2）已知函数y=x+的图象如图所示，结合你画的图象．直接写出方程 =x+的解．（保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)1;(2)-1;(3)当x＞1时，y随x的增大而减小;
【解析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）描点，连线即可得到函数图象，性质可以观察增减性、最值等得到；
（3）画出图象，y2＞y1是指y2的图象在y1图象上方的部分，找出对应横坐标满足的条件即是的解集．
解：（1）x=0，y=-1代入y=-3得：-1=-3，
∴a=1，
∴函数为y=-3，
把（2，b）代入得，b=-3=-1，
故答案为：1，-1；
（2）描点、连线，画出函数图象如图：
观察图象，当x＞1时，y随x的增大而减小；
故答案为当x＞1时，y随x的增大而减小；
（3）观察图象，方程 =x+的解为x=-3.4或x=0.8或x=1.2．
3．阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程2x2+x-2=0的根的所在的范围．
第一步：画出函数y=2x2+x-2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标
在0，1之间．
第二步：因为当x=0时，y=-2＜0；当x=1时，y=1＞0．
所以可确定方程2x2+x-2=0的一个根x1所在的范围是0＜x1＜1．
第三步：通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围；
取x==，因为当x=时，y＜0，
又因为当x=1时，y＞0，
所以＜x1＜1．
（1）请仿照第二步，通过运算，验证2x2+x-2=0的另一个根x2所在范围是-2＜x2＜-1；
（2）在-2＜x2＜-1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在范围缩小至m＜x2＜n,使得n-m≤．
【解析】（1）计算x=-2和x=-1时，y的值，确定其x2所在范围是-2＜x2＜-1；
（2）先根据第三步-2和-1的平均数确定x=-，计算x=-时y的值，得-＜x2＜-1，同理再求-1和-的平均数为-，计算x=-时y的值，从而得结论．
（1）解：因为当x=-2时，y＞0；当x=-1时，y＜0，
所以方程2x2+x-2=0的另一个根x2所在的范围是-2＜x2＜-1．
（2）解：取x==-，因为当x=-时，y=2×--2=1＞0，
又因为当x=-1时，y=-1＜0，
所以-＜x2＜-1．
取x==-，因为当x=-时，y=2×--2=-＜0，
又因为当x=-时，y＞0，
所以-＜x2＜-．
又因为--（-）=，
取x==-，因为当x=-时，y=2×--2＞0，
又因为当x=-时，y＜0，
所以-＜x2＜-．
--（-）=＜，
综上，-＜x2＜-即为所求x2 的范围．
能力提升2
1．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：
例题：求一元二次方程x2-x-1=0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．
如图，把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y=_____的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y=_____的图象与一个一次函数y=_____的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．
【答案】(1)x2-x-1;(2)x2-1;(3)x;
【解析】（1）用配方法解答一元二次方程；
（2）二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2-x-1=0的解，所以，只要求出方程x2-x-1=0的根，就可以求出二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点；
（3）由（1）（2）解得x1、x2，再根据题意画出图象．
解：（1）由原方程，得：
=0，即=；
解得x1=，x2=．
（2）设二次函数方程为y=ax2+bx+c（a,b,c均为实数，且a≠0）．
由图象得知，该函数过点（0，-1），所以该点满足方程y=ax2+bx+c,
∴把（0，-1）代入方程y=ax2+bx+c,得c=-1，①
二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2-x-1=0的解；
∴x1 x2==-1，即c=-a；②
x1+x2==1；③
由①②③，得：
；
∴二次函数方程为y=x2-x-1．
（3）
2．二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … -1 - -2 - …
根据表格中的信息，完成下列各题
（1）当x=3时，y=_____；
（2）当x=_____时，y有最_____值为_____；
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，且-1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1_____y2
（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是_____．
【答案】(1)-1;(2)1;(3)小;(4)-2;(5)＞;(6)-2≤y≤2;
【解析】（1）由表中给出的三组数据，列方程组求得二次函数的解析式，再求出x=3时，y的值；
（2）实际上是求二次函数的顶点坐标；
（3）求得抛物线与x轴的两个交点坐标，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；再进行判断即可；
（4）根据抛物线的顶点，当x=5时，y最大，当x=1时，y最小．
解：（1）由表得，解得，∴二次函数的解析式为y=x2-x-，
当x=3时，y==-1；
（2）将y=x2-x-配方得，y=（x-1）2-2，
∵a=＞0，∴函数有最小值，当x=1时，最小值为-2；
（3）令y=0，则x=±2+1，抛物线与x轴的两个交点坐标为（2+1，0）（-2+1，0）
∵-1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距离大于x2到1的距离，∴y1＞y2
（4）∵抛物线的顶点为（1，-2），∴当x=5时，y最大，即y=2；当x=1时，y最小，即y=-2，
∴函数值y的取值范围是-2≤y≤2；
故答案为-1；1、小、-2；＞；-2≤y≤2．
3．利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法；
（2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程x3-x-2=0的解．（结果保留2个有效数字）
【解析】（1）由范例可得应把x2-2x-1=0进行整理，也可得到x2-1=2x,那么可得y=x2-1和y=2x两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（2）把方程x3-x-2=0整理得x3=x+2，那么可得y=x3和y=x+2两图象交点的横坐标就是该方程的解．
解：（1）方法：在直角坐标系中画出抛物线y=x2-1和直线y=2x,其交点的横坐标就是方程的解．
（2）在图中画出直线y=x+2与函数y=x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，
∴方程的近似解为x≈1.5．
知识点3 图像法求一元二次不等式的解集
抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
名师点拨
利用函数图像解不等式
典例剖析3
例3-1 .函数的图象如图，那么：
方程的根是 ；
不等式的解集是 ；
不等式的解集是 ．
【分析】（1）根据函数与x轴的交点写出即可；
（2）根据函数图象写出x轴上方的x的取值范围即可；
（3）根据函数图象写出x轴下方的x的取值范围即可．
【详解】解：（1）∵二次函数与x轴的交点坐标为，
∴方程的的根是；
（2）∵抛物线在x轴上方时，或，
∴不等式的解集是或，
（3）∵抛物线在x轴下方时，，
∴不等式的解集是，．
故答案为：（1）；（2）或；（3）．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
针对训练3
1.已知，二次函数的图象如图所示，二次函数与x轴交于，，
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，x的取值范围是 ．
【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据二次函数的图象即可得到x的取值范围．
【详解】（1）解：把，，分别代入得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）由二次函数图象可知当，即函数图象在x轴下方时，x的取值范围是，
故答案为：
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用图象求自变量的取值范围，熟练掌握待定系数法和数形结合是解题的关键．
2.如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，
图象如图所示，
当﹣1≤x≤3时，ax2+c≥﹣kx+m，
∴ax2+kx+c≥m的解集是﹣1≤x≤3，
故选：D．
【点评】本题考查了图象法求一元二次不等式，从直线与抛物线交点坐标确定不等式的解集.
能力提升3
1.在平面直角坐标系中，抛物线经过点、．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)求这条抛物线与x轴的交点坐标．
(3)当时，y的取值范围为_____________．
【分析】（1）将点、代入抛物线解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，令，解方程即可求解；
（3）根据解析式配方成顶点式，求得最大值，进而根据0与与抛物线对称轴的距离判断出最小值，即可求得的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：将点、代入抛物线解析式，得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
（2）解：令中，，
即，
解得：或，
∴这条抛物线与x轴的交点坐标为或；
（3）∵，
∴顶点坐标为，对称轴为直线，抛物线开口向下，
∴当时，最大值为，
∵，
∴当时，取得最小值为，
∴当时，y的取值范围为，
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，求抛物线与轴的交点坐标，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2.已知抛物线的图像过点，顶点横坐标为，如图
(1)求、的值；
(2)求的最大值；
(3)直接写出当时，的取值范围．
【答案】(1)；
(2)y的最大值是9；
(3)当时，．
【分析】（1）根据二次函数图像上点的坐标特征，将点代入二次函数的解析式，再由对称轴方程得到；联立，解方程组即可；
（2）利用（1）的结果求出抛物线的解析式，并将其转化为顶点式，然后根据二次函数的性质来求二次函数的最值；
（3）根据图示，直接写出当时，x的取值范围．
【详解】（1）解：∵图像过点，且顶点横坐标为，
∴，
解得：；
（2）解：根据（1）知，抛物线的解析式是：
，
∴y的最大值是9；
（3）解：令，则，
解得，，
∴当时，．
【点评】本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图像及二次函数的最值．本题侧重于二次函数的解析式的求法和几何图形结合的综合能力的培养，解题时要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．
知识点4 抛物线与x轴交点问题
1.二次函数与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.
2.二次函数与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点二次函数与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）二次函数与轴相切 此时二次函数为；
总结完全平方形式的二次函数与x轴只有一个交点
③没有交点二次函数与轴相离.注意这种情况 当a＞0,y值恒＞0，当a＜0,y值恒＜0，
3.平行于轴的直线与二次函数的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
名师点拨
求直线与抛物线的交点坐标,只需联立直线与抛物线的解析式,解关于x,y的方程组,即可求得交点坐标;
(2)利用一次函数y=kx+t和二次函数y=ax2+bx+c的图象比较两函数值的大小及确定不等式kx+t>ax+bx+c或んx+t典例剖析4
例4-1．已知二次函数的表达式为y=x2-（2m-1）x+m2-m.
（1）试判断该二次函数的图象与x轴交点的个数？并说明理由．
（2）此二次函数的图象与函数y=2x+m+4的图象的一个交点在y轴上，求m的值．
【解析】（1）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案；
（2）利用二次函数的图象与函数y=2x+m+4的图象的一个交点在y轴上，则常数项相等，进而得出答案．
解：（1）∵Δ=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4（m2-m）=1＞0，
∴方程x2-（2m-1）x+m2-m=0有两个不相等的实数根．
∴二次函数y=x2-（2m-1）x+m2-m与x轴有两个交点．
（2）令x=0，则m2-m=m+4，
解得：m1=1+，m2=1-．
例4-2．已知抛物线y=-2x2+4x+6与x轴交于A、B两点．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）求线段AB的长．
【解析】（1）将抛物线解析式化为顶点式即可得到抛物线对称轴；
（2）令y=0，求出A、B两点坐标即可求出AB的长．
解：（1）将抛物线y=-2x2+4x+6化为顶点式，
则y=-2（x-1）2+8，
∴抛物线对称轴为直线x=1；
（2）令y=0，
则-2x2+4x+6=0，
整理得：x2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0
解得：x1=3，x2=-1，
∴A、B两点的坐标为（3，0）和（-1，0），
∴AB=|-1-3|=4．
针对训练4
1．已知二次函数y=x2-kx+k-5
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式．
【解析】（1）令y=0，得到方程x2-kx+k-5=0，求出此方程的判别式为=（k-2）2+16，无论k取何实数，（k-2）2+16＞0，即可得到答案；
（2）根据抛物线的对称轴x=1，能求出k的值，代入抛物线的解析式即可．
（1）证明：令y=0，则x2-kx+k-5=0，
∵Δ=k2-4（k-5）=k2-4k+20=（k-2）2+16，
∵（k-2）2≥0，
∴（k-2）2+16＞0
∴无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（2）解：∵对称轴为x=，
∴k=2，
∴解析式为y=x2-2x-3，
答：它的解析式是y=x2-2x-3．
2．已知：二次函数y=-x2+x+c与X轴交于点M（x1，0）N（x2，0）两点，与Y轴交于点H．
（1）若∠HMO=45°，∠MHN=105°时，求：函数解析式；
（2）若|x1|2+|x2|2=1，当点Q（b,c）在直线上时，求二次函数y=-x2+x+c的解析式．
【解析】（1）由已知可得两个特殊的直角三角形，其公共直角边OH=c,解直角三角形得OM，ON的长度，用长度表示点M、N的横坐标，用两根关系求待定系数，确定二次函数关系式；
（2）由（1）可知x1=-c,x2=c,代入已知条件，用待定系数法解题．
解：（1）依题意得OH=c,∠OHN=60°，解直角三角形得，OM=OH=c,ON=c,
即M（-c,0），N（c,0），
∴-c+c=，-c c=-c,解得b=3-，c=，
故函数解析式y=-x2+（1-）x+；
（2）由|x1|2+|x2|2=1得，（x1+x2）2-2x1x2=1，
∴+2c=1…①，
又∵点Q（b,c）在直线上，
∴c=+…②，
由①②得或（不合题意舍去），
∴二次函数y=-x2+x+c的解析式y=-x2+x+．
3．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，一元二次方程x2+b2x+20=0的两实根为x3、x4，且x2-x3=x1-x4=3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标．
【解析】先将x2-x3=x1-x4=3化简为两根之和的形式，再代入数值进行计算．
解：∵x2-x3=x1-x4=3
∴x2-x3=3，x1-x4=3
∴x2-x3+x1-x4=6即（x1+x2）-（x3+x4）=6
∴（x1+x2）-（x3+x4）=-b+b2=6，即b2-b-6=0，解得：b=-2或3
∵x2-x3=x1-x4
∴|x1-x2|=|x3-x4|
即=
∴9-4c=81-4×20，
解得：c=2
又∵一元二次方程x2+b2x+20=0有两实根
∴△=b4-80≥0，
当b=-2，c=2时，有y=x2-2x+2，
△=4-4×1×2=-4＜0，
与x轴无交点，
∴b=-2不合题意舍去
则解析式为y=x2+3x+2，
根据顶点坐标公式可得顶点坐标：．
4．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式．
【解析】（1）分类讨论：当m=0时，方程变形为一元一次方程，有一个解；当m≠0时，先计算判别式的值得到Δ=（3m-1）2，根据非负数的性质得△≥0，则根据判别式的意义得到方程总有两个实数解，然后综合两种情况得到不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）先解方程得到x1=-，x2=-3，根据抛物线与x轴的两交点问题得到交点坐标为（-，0），（-3，0），再根据正数的整除性易得m=1，从而得到抛物线解析式．
（1）证明：当m=0时，方程变形为x+3=0，解得x=-3；
当m≠0时，Δ=（3m+1）2-4m 3=（3m-1）2，
∵（3m-1）2≥0，即△≥0，
∴m≠0时，方程总有两个实数解，
∴不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）解：根据题意得m≠0，
mx2+（3m+1）x+3=0．
（mx+1）（x+3）=0，
解得x1=-，x2=-3，
则抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴的两交点坐标为（-，0），（-3，0），
而m为正整数，-也为整数，所以m=1，
所以抛物线解析式为y=x2+4x+3．
能力提升4
1．已知关于x的一元二次方程x2+（k-5）x+1-k=0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
【解析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出Δ＞0，根据判别式的意义即可证明；
（2）由于二次函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，又Δ=（k-5）2-4（1-k）=（k-3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1-3）（x2-3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
（1）证明：∵Δ=（k-5）2-4（1-k）=k2-6k+21=（k-3）2+12＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，二次项系数a=1，
∴抛物线开口方向向上，
∵Δ=（k-3）2+12＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1+x2=5-k＞0，x1 x2=1-k≥0，
解得k≤1，
即k的取值范围是k≤1；
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，
根据题意，得（x1-3）（x2-3）＜0，
即x1 x2-3（x1+x2）+9＜0，
又x1+x2=5-k,x1 x2=1-k,
代入得，1-k-3（5-k）+9＜0，
解得k＜．
则k的最大整数值为2．
2．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2-2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
x … -3 - -2 -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 0 -1 0 3 …
（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（2）观察函数图象，写出2条函数的性质_____；
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程x2-2|x|=0的实数根为_____；
②方程x2-2|x|=2有_____个实数根．
③关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围_____．
【答案】(1)函数的最小值为-1；x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）;(2)-2或2或0;(3)2;(4)-1＜a＜0;
【解析】（1）描点画出如下函数图象即可；
（2）函数的性质有：函数的最小值为-1；x＞1时，y随x的增大而增大，（答案不唯一）；
（3）①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程x2-2|x|=0有3个根，即可求解；
②设y=x2-2|x|，从图象看y=2与y=x2-2|x|有两个交点，即可求解；
③函数y=x2-2|x|的图象与y=a有4个交点时，a的取值范围是-1＜a＜0，即可求解．
解：（1）描点画出如下函数图象：
（2）函数的性质有：函数的最小值为-1；x＞1时，y随x的增大而增大，
故答案为：函数的最小值为-1；x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
（3）①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程x2-2|x|=0有3个根，即x=-2或2或0，
故答案为：-2或2或0；
②设y=x2-2|x|，从图象看y=2与y=x2-2|x|有两个交点；
故答案为：2；
③函数y=x2-2|x|的图象与y=a有4个交点时，a的取值范围是-1＜a＜0，
故答案为：-1＜a＜0．
知识点5 求抛物线与x轴的截线长
二次函数y=ax +bx+c与x轴的交点有三种情况:有两个交点,一个交点和没有交点.与此相对应,一元二次方程ax +bx+c=0根也有三种情况:有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,没有实数根.二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax +bx+c=0的根.如果要求抛物线与x轴截得的线段长,只需要求出对应一元二次方程ax +bx+c=0的两根x1,x2则∣x1-x2∣即是。
名师点拨
抛物线与x轴的两个交点横坐标x1,x2，∣x1-x2∣=
典例剖析5
例5-1 .用描点法画出的图象并回答下列问题．
(1)列表：（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）
x … …
… …
(2)描点，并连线；
(3)①顶点坐标是 ，当x＝ 时，y有最 值是 ．
②当x 时，y随x的增大而增大．
③该抛物线与y轴交于点 ．
(4)该抛物线与x轴交于点A、B，则AB＝ ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①（1，3），1，大，3；②＜1；③（0，2）
(4)2
【分析】（1）分别取x＝﹣1，0，1，2，3时y的值．
（2）通过描点，连线作图．
（3）将二次函数化为顶点式，根据抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标求解．
（4）令＝0，根据A，B的横坐标求解．
（1）
解：列表如下：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 …
（2）
画函数图象如下：
（3）
①∵，
∴抛物线顶点坐标为（1，3），即x＝1时，y取最大值3，
故答案为：（1，3），1，大，3．
②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
故答案为：＜1．
③将x＝0代入y＝﹣＋2x＋2得y＝2，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，2），
故答案为：（0，2）．
（4）
令﹣＋2x＋2＝0，
解得＝1﹣，＝1＋，
∴AB＝1＋﹣（1﹣）＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
例5-2 .已知抛物线经过点和点，
(1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）令，可得，即可求解．
【详解】（1）解：把点和点代入得：
，
解得：，
∴这个抛物线的解析式为，
∵，
∴这个抛物线的顶点坐标为；
（2）解：当时，，
解得：，
∴抛物线与x轴两个交点坐标为，
∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为．
【点评】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键．
针对训练5
1．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y=kx+t（k≠0）的图象上，则称y=ax2+bx+c（a≠0）为y=kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y=x2+1是y=x+1的伴随函数．
（1）若y=x2-4是y=-x+p的伴随函数，求直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数y=mx-3（m≠0）的伴随函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m,n的值．
【解析】（1）先求出二次函数的顶点坐标，再把求得的顶点坐标代入一次函数解析式求得p,进而求得一次函数与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式进行计算得结果；
（2）根据函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，列出n的方程求得n,再求出二次函数的顶点坐标，再将其顶点坐标代入一次函数解析式中求得m.
解：（1）∵y=x2-4，
∴其顶点坐标为（0，-4），
∵y=x2-4是y=-x+p的伴随函数，
∴（0，-4）在一次函数y=-x+p的图象上，
∴-4=0+p.
∴p=-4，
∴一次函数为：y=-x-4，
∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，-4），（-4，0），
∴直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|-4|=4，
∴直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：．
（2）设函数y=x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=-2，x1x2=n,
∴，
∵函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，
∴，
解得，n=-3，
∴函数y=x2+2x+n为：y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴其顶点坐标为（-1，-4），
∵y=x2+2x+n是y=mx-3（m≠0）的伴随函数，
∴-4=-m-3，
∴m=1．
2．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）.
(1)若为二次函数的图象上一点，求m的值；
(2)求的长.
答案：(1)4
(2)3
解析：（1）当时，
；
（2）当时，
，
解得：，，
，，
.
3．已知关于x的一元二次方程：.
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线与x轴交于，两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由.
（友情提示：）
答案：解：（1），
，
，
原方程有两个不等实数根；
（2）存在，
由题意知，是原方程的两根，
，.
，
，
当时，有最小值8，
AB有最小值，即
能力提升5
1．已知关于x的方程有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）试说明；
（3）若抛物线与x轴交于A，B两点，点A，B到原点的距离分别为OA，OB，且，求k的值.
答案：解：（1）由题意可知，
即，.
（2）
.
（3）依题意，不妨设，
，
.
，
，
解得.
.
解析：
2．已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:对于任意实数t，方程都有实数根；
(2)当t为何值时，二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标互为相反数？请说明理由
答案：(1)证明:在方程中，，
对于任意实数t，方程都有实数根.
(2)当时，交点的横坐标互为相反数.理由如下:
令，得到，
设方程的两根分别为，由题意可知，
方程的两个根互为相反数，，解得.
当时，交点的横坐标互为相反数.
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人教版数学九年级上暑假预习课
第八讲 二次函数二次函数与一元二次方程
一、知识点导航
知识点1 抛物线与坐标轴的交点
已知二次函数
（1）轴与二次函数得交点为(0, ).
（2）二次函数与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.
名师点拨
典例剖析1
例1-1．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为（-，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（-3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例1-2．经过A（2-3b,m），B（4b+c-1，m）两点的抛物线y=-x2+bx-b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
A. 10 B. 12 C. 13 D. 15
例1-3．若函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，则一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过第（ ）象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
针对训练1
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（-1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（ ）
A. a＞0
B. c＜0
C. 当x＞1时，y随x的增大而增大
D. x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（-1，0），则点Q的坐标为_____．
3．对于抛物线y=x2-4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 _____，与y轴交点的坐标为 _____，顶点坐标为 _____；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x … …
y … …
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x2-4x+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是 _____．
能力提升1
1．已知二次函数的表达式为y=x2-（2m-1）x+m2-m.
（1）试判断该二次函数的图象与x轴交点的个数？并说明理由．
（2）此二次函数的图象与函数y=2x+m+4的图象的一个交点在y轴上，求m的值．
2．已知抛物线y=-x2-6x+7与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求△ABC的面积．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-x+2（a≠0）．
（1）若a=-1，求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若顶点纵坐标为3，求a的值；
（3）已知点M，N的坐标分别为（-1，2），（2，1）．
①若抛物线与直线MN有两个不同的交点，求a的取值范围；
②若抛物线与直线MN的两个交点都在线段MN上，求a的取值范围．
知识点2 图像法求一元二次方程的解
利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具体过程如下：
①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c；
②观察图象，确定抛物线与x轴的交点的横坐标；
③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
名师点拨
用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x轴的交点）的两侧各取一点，
则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间．
3．通过取平均数求根的近似值，具体的操作过程如下：
①取使函数值异号且绝对值较小的两个自变量的值m，n；
②分别将，n（或，m）作为自变量的值代入函数解析式，判断其函数值是否异号；
③重复执行步骤①②，以提高根的估计值的精确度。
典例剖析2
例2-1．如表是二次函数y=ax2+bx+c的几组对应值：
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是（ ）
A. 6.16＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18
C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20
例2-2．二次函数y=-x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A. t＞-5 B. -5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. -5＜t≤4
例2-3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=2，则下列说法中正确的有（ ）
①abc＜0；
②＞0；
③16a+4b+c＞0；
④5a+c＞0；
⑤方程ax2+bx+c=0（a≠0）其中一个解的取值范围为-2＜x＜-1．
A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
针对训练2
1．我们把一元二次方程x2-2x-3=0的解看成是抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2-2x-3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数 _____与函数 _____的图象交点的横坐标（写出其中的一对）．
2．在初中阶段的函数学习中，我们经历的“确定函数的表达式--画函数图象--利用函数图象研究其性质--运用函数图象解决问题“的学习过程．九年级数学共同体的同学根据学习函数的经验．通过列表、描点、连线的方法研究了函数y=-3的相关性质和应用．以下是研究的部分过程，请你按要求完成下列问题．
（1）列表：下表列出x、y的部分对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … - - - -1 3 b - - - …
根据表格中的数据计算出：a=_____，b=_____；
（2）根据上表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中已经描出部分点的位置，请继续通过描点、连线的方法．画出该函数图象，并写出该函数的一条性质：_____；
（2）已知函数y=x+的图象如图所示，结合你画的图象．直接写出方程 =x+的解．（保留1位小数，误差不超过0.2）
3．阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程2x2+x-2=0的根的所在的范围．
第一步：画出函数y=2x2+x-2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标
在0，1之间．
第二步：因为当x=0时，y=-2＜0；当x=1时，y=1＞0．
所以可确定方程2x2+x-2=0的一个根x1所在的范围是0＜x1＜1．
第三步：通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围；
取x==，因为当x=时，y＜0，
又因为当x=1时，y＞0，
所以＜x1＜1．
（1）请仿照第二步，通过运算，验证2x2+x-2=0的另一个根x2所在范围是-2＜x2＜-1；
（2）在-2＜x2＜-1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在范围缩小至m＜x2＜n,使得n-m≤．
能力提升2
1．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：
例题：求一元二次方程x2-x-1=0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．
如图，把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y=_____的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y=_____的图象与一个一次函数y=_____的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．
2．二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … -1 - -2 - …
根据表格中的信息，完成下列各题
（1）当x=3时，y=_____；
（2）当x=_____时，y有最_____值为_____；
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，且-1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1_____y2
（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是_____．
3．利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法；
（2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程x3-x-2=0的解．（结果保留2个有效数字）
知识点3 图像法求一元二次不等式的解集
抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
名师点拨
利用函数图像解不等式
典例剖析3
例3-1 .函数的图象如图，那么：
方程的根是 ；
不等式的解集是 ；
不等式的解集是 ．
针对训练3
1.已知，二次函数的图象如图所示，二次函数与x轴交于，，
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，x的取值范围是 ．
2.如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
能力提升3
1.在平面直角坐标系中，抛物线经过点、．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)求这条抛物线与x轴的交点坐标．
(3)当时，y的取值范围为_____________．
2.已知抛物线的图像过点，顶点横坐标为，如图
(1)求、的值；
(2)求的最大值；
(3)直接写出当时，的取值范围．
知识点4 抛物线与x轴交点问题
1.二次函数与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.
2.二次函数与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点二次函数与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）二次函数与轴相切 此时二次函数为；
总结完全平方形式的二次函数与x轴只有一个交点
③没有交点二次函数与轴相离.注意这种情况 当a＞0,y值恒＞0，当a＜0,y值恒＜0，
3.平行于轴的直线与二次函数的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
名师点拨
求直线与抛物线的交点坐标,只需联立直线与抛物线的解析式,解关于x,y的方程组,即可求得交点坐标;
(2)利用一次函数y=kx+t和二次函数y=ax2+bx+c的图象比较两函数值的大小及确定不等式kx+t>ax+bx+c或んx+t
例4-1．已知二次函数的表达式为y=x2-（2m-1）x+m2-m.
（1）试判断该二次函数的图象与x轴交点的个数？并说明理由．
（2）此二次函数的图象与函数y=2x+m+4的图象的一个交点在y轴上，求m的值．
例4-2．已知抛物线y=-2x2+4x+6与x轴交于A、B两点．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）求线段AB的长．
针对训练4
1．已知二次函数y=x2-kx+k-5
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式．
2．已知：二次函数y=-x2+x+c与X轴交于点M（x1，0）N（x2，0）两点，与Y轴交于点H．
（1）若∠HMO=45°，∠MHN=105°时，求：函数解析式；
（2）若|x1|2+|x2|2=1，当点Q（b,c）在直线上时，求二次函数y=-x2+x+c的解析式．
3．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，一元二次方程x2+b2x+20=0的两实根为x3、x4，且x2-x3=x1-x4=3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标．
4．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式．
能力提升4
1．已知关于x的一元二次方程x2+（k-5）x+1-k=0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
2．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2-2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
x … -3 - -2 -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 0 -1 0 3 …
（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（2）观察函数图象，写出2条函数的性质_____；
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程x2-2|x|=0的实数根为_____；
②方程x2-2|x|=2有_____个实数根．
③关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围_____．
知识点5 求抛物线与x轴的截线长
二次函数y=ax +bx+c与x轴的交点有三种情况:有两个交点,一个交点和没有交点.与此相对应,一元二次方程ax +bx+c=0根也有三种情况:有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,没有实数根.二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax +bx+c=0的根.如果要求抛物线与x轴截得的线段长,只需要求出对应一元二次方程ax +bx+c=0的两根x1,x2则∣x1-x2∣即是。
名师点拨
抛物线与x轴的两个交点横坐标x1,x2，∣x1-x2∣=
典例剖析5
例5-1 .用描点法画出的图象并回答下列问题．
(1)列表：（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）
x … …
… …
(2)描点，并连线；
(3)①顶点坐标是 ，当x＝ 时，y有最 值是 ．
②当x 时，y随x的增大而增大．
③该抛物线与y轴交于点 ．
(4)该抛物线与x轴交于点A、B，则AB＝ ．
例5-2 .已知抛物线经过点和点，
(1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离．
针对训练5
1．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y=kx+t（k≠0）的图象上，则称y=ax2+bx+c（a≠0）为y=kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y=x2+1是y=x+1的伴随函数．
（1）若y=x2-4是y=-x+p的伴随函数，求直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数y=mx-3（m≠0）的伴随函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m,n的值．
2．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）.
(1)若为二次函数的图象上一点，求m的值；
(2)求的长.
3．已知关于x的一元二次方程：.
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线与x轴交于，两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由.
（友情提示：）
能力提升5
1．已知关于x的方程有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）试说明；
（3）若抛物线与x轴交于A，B两点，点A，B到原点的距离分别为OA，OB，且，求k的值.
2．已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:对于任意实数t，方程都有实数根；
(2)当t为何值时，二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标互为相反数？请说明理由
人教版数学九年级上暑假预习课
第八讲 二次函数二次函数与一元二次方程
一、知识点导航
知识点1 抛物线与坐标轴的交点
已知二次函数
（1）轴与二次函数得交点为(0, ).
（2）二次函数与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.
名师点拨
典例剖析1
例1-1．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为（-，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（-3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；
②当x=2时，y=4a+2b+c＜0，根据开口方向即可判断；
③利用抛物线的对称轴，设（-3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；
④根据根的判别式即可判断．
解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为（-，m），
∴-，
∴，即ab＞0，
由图可知，抛物线开口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
当x=0时，y=c＞0，
∴abc＞0，
故①正确，符合题意；
②∵直线x=-是抛物线的对称轴，
∴-，
∴，
∴a=b,
由图象可得：x=1时，y=a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，
故②错误，不符合题意；
③∵直线x=-是抛物线的对称轴，
设（-3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，
则，
，
∴d2＞d1，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴y1＞y2，
故③正确，符合题意；
④∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根，
∴Δ=b2-4a（c-3）＜0，
∴b2-4ac+12a＜0，
∴b2-4ac＜-12a,
∴4ac-b2＞12a,
∵，
∴m＜3，
故④正确，符合题意．
故选：C．
例1-2．经过A（2-3b,m），B（4b+c-1，m）两点的抛物线y=-x2+bx-b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
A. 10 B. 12 C. 13 D. 15
【答案】B
【解析】根据二次函数的性质可知=-，再根据经过A（2-3b,m），B（4b+c-1，m）两点的抛物线y=-x2+bx-b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，可知Δ=b2-4×（-）×（-b2+2c）≥0，然后可以得到b和c的关系，求出b和c的值，再根据点A和点B的坐标，即可计算出线段AB长．
解：∵经过A（2-3b,m），B（4b+c-1，m）两点的抛物线y=-x2+bx-b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，
∴=-，Δ=b2-4×（-）×（-b2+2c）≥0，
∴b=c+1，b2≤4c,
∴（c+1）2≤4c,
∴（c-1）2≤0，
∴c-1=0，
解得c=1，
∴b=c+1=2，
∴AB=|（4b+c-1）-（2-3b）|
=|4b+c-1-2+3b|
=|7b+c-3|
=|7×2+1-3|
|14+1-3|
=12，
故选：B．
例1-3．若函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，则一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过第（ ）象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】A
【解析】由二次函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，可知Δ＜0，得出m＜-1，然后根据m的取值判定m+1，m-1的取值即可．
解：∵二次函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，
∴Δ＜0，即4+4m＜0，
∴m＜-1，
∴m+1＜0，m-1＜0，
一次函数经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
针对训练1
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（-1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（ ）
A. a＞0
B. c＜0
C. 当x＞1时，y随x的增大而增大
D. x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
【答案】D
【解析】根据抛物线开口方向可判断A；根据图象与y轴交点的位置即可判断B；根据图象从左往右的趋势即可判断C，根据抛物线的对称性即可判断D．
解：A、∵抛物线抛物线开口方向向下，
∴a＜0，故本选项结论错误；
B、∵二次函数图象与y轴交于y轴正半轴，
∴c＞0，故本选项结论错误；
C、∵抛物线对称轴为直线x=1，开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
故本选项结论错误；
D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（-1，0），对称轴是直线x=1，则另一交点坐标是（3，0），
∴x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，
故本选项结论正确．
故选：D．
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（-1，0），则点Q的坐标为_____．
【答案】（3，0）
【解析】点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，即可求解．
解：点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，
则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，
则：点Q的横坐标为-1+4=3，
故答案为：（3，0）．
3．对于抛物线y=x2-4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 _____，与y轴交点的坐标为 _____，顶点坐标为 _____；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x … …
y … …
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x2-4x+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是 _____．
【答案】(1)（3，0）（1，0）;(2)（0，3）;(3)（2，-1）;(4)-1≤t＜8;
【解析】运用二次函数与x轴相交时，y=0，与y轴相交时，x=0，即可求出，用公式法可求出顶点坐标，利用列表，描点，连线可画出图象．
解：（1）它与x轴交点的坐标为：（1，0）（3，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，-1）；
故答案为：（1，0）（3，0），（0，3）（2，-1）
（2）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 0 3 …
图象如图所示．
（3）∵关于x的一元二次方程x2-4x+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜的范围内有解，
∵y=x2-4x+3的顶点坐标为（2，-1），
若x2-4x+3-t=0有解，方程有两个根，则：b2-4ac=16-4（3-t）≥0，解得：-1≤t
当x=-1，代入x2-4x+3-t=0，t=8，
当x=，代入x2-4x+3-t=0，t=，
∵x＞-1，∴t＜8，
∴t的取值范围是：-1≤t＜8，
故填：-1≤t＜8
能力提升1
1．已知二次函数的表达式为y=x2-（2m-1）x+m2-m.
（1）试判断该二次函数的图象与x轴交点的个数？并说明理由．
（2）此二次函数的图象与函数y=2x+m+4的图象的一个交点在y轴上，求m的值．
【解析】（1）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案；
（2）利用二次函数的图象与函数y=2x+m+4的图象的一个交点在y轴上，则常数项相等，进而得出答案．
解：（1）∵Δ=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4（m2-m）=1＞0，
∴方程x2-（2m-1）x+m2-m=0有两个不相等的实数根．
∴二次函数y=x2-（2m-1）x+m2-m与x轴有两个交点．
（2）令x=0，则m2-m=m+4，
解得：m1=1+，m2=1-．
2．已知抛物线y=-x2-6x+7与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【解析】（1）通过解方程-x2-6x+7=0得点A、B的坐标；
（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
解：（1）当y=0时，-x2-6x+7=0，解得x1=-7，x2=1，
∴点A的坐标为（-7，0），点B的坐标为（1，0）；
（2）当x=0时，y=-x2-6x+7=7，
∴C点坐标为（0，7），
∴△ABC的面积=×（1+7）×7=28．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-x+2（a≠0）．
（1）若a=-1，求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若顶点纵坐标为3，求a的值；
（3）已知点M，N的坐标分别为（-1，2），（2，1）．
①若抛物线与直线MN有两个不同的交点，求a的取值范围；
②若抛物线与直线MN的两个交点都在线段MN上，求a的取值范围．
【解析】（1）把a=-1代入抛物线，令y=0，得一元二次方程，解出方程即得抛物线与x轴的交点坐标；
（2）把纵坐标3代入顶点的纵坐标公式即可求得a的值；
（3）①先求出直线MN的解析式，联立抛物线解析式与直线解析式得一元二次方程，再利用Δ＞0，即可求出a的取值范围；
②分a＜0和a＞0两种情况讨论，分别得到两个关于a的不等式，再结合①中a的条件，即可得到a的取值范围．
解：（1）把a=-1代入得：y=-x2-x+2，
当y=0时，-x2-x+2=0，
解得：x1=1，x2=-2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（-2，0）；
（2）∵顶点纵坐标为3，
∴，
解得：a=，
∴a的值为；
（3）①设直线MN的解析式为：y=kx+b,
把M（-1，2），N（2，1）分别代入得：，
解得，
∴y=x+，
令ax2-x+2=x+，
化简得：3ax2-2x+1=0，
∵抛物线与直线MN有两个不同的交点，
∴Δ=4-4×3a×1＞0，
解得：a＜，
∴a的取值范围为a＜且a≠0；
②∵抛物线与直线MN的两个交点都在线段MN上，
∴当a＜0时，x=-1，y≤2，当x=2时，y≤1，且，满足条件，
即，
解得：a≤-1，
当a＞0时，x=-1，y≥2，当x=2时，y≥1，且，满足条件，
即，
解得：a≥，
∵a＜，
∴，
综上所述，a的取值范围为：．
知识点2 图像法求一元二次方程的解
利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具体过程如下：
①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c；
②观察图象，确定抛物线与x轴的交点的横坐标；
③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
名师点拨
用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x轴的交点）的两侧各取一点，
则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间．
3．通过取平均数求根的近似值，具体的操作过程如下：
①取使函数值异号且绝对值较小的两个自变量的值m，n；
②分别将，n（或，m）作为自变量的值代入函数解析式，判断其函数值是否异号；
③重复执行步骤①②，以提高根的估计值的精确度。
典例剖析2
例2-1．如表是二次函数y=ax2+bx+c的几组对应值：
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是（ ）
A. 6.16＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18
C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20
【答案】C
【解析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．
解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．
ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
例2-2．二次函数y=-x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A. t＞-5 B. -5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. -5＜t≤4
【答案】D
【解析】如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
解：如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，由题意可知：m=4，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=-5，
由图象可知关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴-5＜t≤4．
故选：D．
例2-3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=2，则下列说法中正确的有（ ）
①abc＜0；
②＞0；
③16a+4b+c＞0；
④5a+c＞0；
⑤方程ax2+bx+c=0（a≠0）其中一个解的取值范围为-2＜x＜-1．
A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】由抛物线开口方向、对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据抛物线与x轴的交点情况以及a的符号即可判断②；由16a+4b+c=c即可判断③；由x=5时，y＜0，即可判断④；由抛物线与x轴的交点即可判断⑤．
解：由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又-=2，所以b=-4a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2-4ac＞0，
∵a＜0，
∴＞0，故②正确；
∵16a+4b+c=16a-16a+c=c＞0，
∴16a+4b+c＞0，故③正确；
当x=5时，y=25a+5b+c＜0，
∴25a-20a+c＜0，
∴5a+c＜0，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线x=2，其中一个交点的横坐标在4＜x＜5，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）其中一个解的取值范围为-1＜x＜0，故⑤错误．
故选：B．
针对训练2
1．我们把一元二次方程x2-2x-3=0的解看成是抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2-2x-3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数 _____与函数 _____的图象交点的横坐标（写出其中的一对）．
【答案】(1)y=x2;(2)y=2x+3;
【解析】由于一个方程组的解即是组成方程组的两个函数的图象的交点坐标，所以抛物线x2-2x-3=0可看作两个函数组合而成，而将y=x2和y=2x+3相减即可得到x2-2x-3=0，所以方程的解还可以看成是函数y=x2与函数y=2x+3的图象交点的横坐标．
解：∵x2-2x-3=0可以变为x2=2x+3，
∴x2-2x-3=0的解还可以看成是函数y=x2与函数y=2x+3的图象交点的横坐标．
2．在初中阶段的函数学习中，我们经历的“确定函数的表达式--画函数图象--利用函数图象研究其性质--运用函数图象解决问题“的学习过程．九年级数学共同体的同学根据学习函数的经验．通过列表、描点、连线的方法研究了函数y=-3的相关性质和应用．以下是研究的部分过程，请你按要求完成下列问题．
（1）列表：下表列出x、y的部分对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … - - - -1 3 b - - - …
根据表格中的数据计算出：a=_____，b=_____；
（2）根据上表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中已经描出部分点的位置，请继续通过描点、连线的方法．画出该函数图象，并写出该函数的一条性质：_____；
（2）已知函数y=x+的图象如图所示，结合你画的图象．直接写出方程 =x+的解．（保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)1;(2)-1;(3)当x＞1时，y随x的增大而减小;
【解析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）描点，连线即可得到函数图象，性质可以观察增减性、最值等得到；
（3）画出图象，y2＞y1是指y2的图象在y1图象上方的部分，找出对应横坐标满足的条件即是的解集．
解：（1）x=0，y=-1代入y=-3得：-1=-3，
∴a=1，
∴函数为y=-3，
把（2，b）代入得，b=-3=-1，
故答案为：1，-1；
（2）描点、连线，画出函数图象如图：
观察图象，当x＞1时，y随x的增大而减小；
故答案为当x＞1时，y随x的增大而减小；
（3）观察图象，方程 =x+的解为x=-3.4或x=0.8或x=1.2．
3．阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程2x2+x-2=0的根的所在的范围．
第一步：画出函数y=2x2+x-2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标
在0，1之间．
第二步：因为当x=0时，y=-2＜0；当x=1时，y=1＞0．
所以可确定方程2x2+x-2=0的一个根x1所在的范围是0＜x1＜1．
第三步：通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围；
取x==，因为当x=时，y＜0，
又因为当x=1时，y＞0，
所以＜x1＜1．
（1）请仿照第二步，通过运算，验证2x2+x-2=0的另一个根x2所在范围是-2＜x2＜-1；
（2）在-2＜x2＜-1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在范围缩小至m＜x2＜n,使得n-m≤．
【解析】（1）计算x=-2和x=-1时，y的值，确定其x2所在范围是-2＜x2＜-1；
（2）先根据第三步-2和-1的平均数确定x=-，计算x=-时y的值，得-＜x2＜-1，同理再求-1和-的平均数为-，计算x=-时y的值，从而得结论．
（1）解：因为当x=-2时，y＞0；当x=-1时，y＜0，
所以方程2x2+x-2=0的另一个根x2所在的范围是-2＜x2＜-1．
（2）解：取x==-，因为当x=-时，y=2×--2=1＞0，
又因为当x=-1时，y=-1＜0，
所以-＜x2＜-1．
取x==-，因为当x=-时，y=2×--2=-＜0，
又因为当x=-时，y＞0，
所以-＜x2＜-．
又因为--（-）=，
取x==-，因为当x=-时，y=2×--2＞0，
又因为当x=-时，y＜0，
所以-＜x2＜-．
--（-）=＜，
综上，-＜x2＜-即为所求x2 的范围．
能力提升2
1．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：
例题：求一元二次方程x2-x-1=0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．
如图，把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y=_____的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y=_____的图象与一个一次函数y=_____的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．
【答案】(1)x2-x-1;(2)x2-1;(3)x;
【解析】（1）用配方法解答一元二次方程；
（2）二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2-x-1=0的解，所以，只要求出方程x2-x-1=0的根，就可以求出二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点；
（3）由（1）（2）解得x1、x2，再根据题意画出图象．
解：（1）由原方程，得：
=0，即=；
解得x1=，x2=．
（2）设二次函数方程为y=ax2+bx+c（a,b,c均为实数，且a≠0）．
由图象得知，该函数过点（0，-1），所以该点满足方程y=ax2+bx+c,
∴把（0，-1）代入方程y=ax2+bx+c,得c=-1，①
二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2-x-1=0的解；
∴x1 x2==-1，即c=-a；②
x1+x2==1；③
由①②③，得：
；
∴二次函数方程为y=x2-x-1．
（3）
2．二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … -1 - -2 - …
根据表格中的信息，完成下列各题
（1）当x=3时，y=_____；
（2）当x=_____时，y有最_____值为_____；
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，且-1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1_____y2
（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是_____．
【答案】(1)-1;(2)1;(3)小;(4)-2;(5)＞;(6)-2≤y≤2;
【解析】（1）由表中给出的三组数据，列方程组求得二次函数的解析式，再求出x=3时，y的值；
（2）实际上是求二次函数的顶点坐标；
（3）求得抛物线与x轴的两个交点坐标，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；再进行判断即可；
（4）根据抛物线的顶点，当x=5时，y最大，当x=1时，y最小．
解：（1）由表得，解得，∴二次函数的解析式为y=x2-x-，
当x=3时，y==-1；
（2）将y=x2-x-配方得，y=（x-1）2-2，
∵a=＞0，∴函数有最小值，当x=1时，最小值为-2；
（3）令y=0，则x=±2+1，抛物线与x轴的两个交点坐标为（2+1，0）（-2+1，0）
∵-1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距离大于x2到1的距离，∴y1＞y2
（4）∵抛物线的顶点为（1，-2），∴当x=5时，y最大，即y=2；当x=1时，y最小，即y=-2，
∴函数值y的取值范围是-2≤y≤2；
故答案为-1；1、小、-2；＞；-2≤y≤2．
3．利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法；
（2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程x3-x-2=0的解．（结果保留2个有效数字）
【解析】（1）由范例可得应把x2-2x-1=0进行整理，也可得到x2-1=2x,那么可得y=x2-1和y=2x两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（2）把方程x3-x-2=0整理得x3=x+2，那么可得y=x3和y=x+2两图象交点的横坐标就是该方程的解．
解：（1）方法：在直角坐标系中画出抛物线y=x2-1和直线y=2x,其交点的横坐标就是方程的解．
（2）在图中画出直线y=x+2与函数y=x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，
∴方程的近似解为x≈1.5．
知识点3 图像法求一元二次不等式的解集
抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
名师点拨
利用函数图像解不等式
典例剖析3
例3-1 .函数的图象如图，那么：
方程的根是 ；
不等式的解集是 ；
不等式的解集是 ．
【分析】（1）根据函数与x轴的交点写出即可；
（2）根据函数图象写出x轴上方的x的取值范围即可；
（3）根据函数图象写出x轴下方的x的取值范围即可．
【详解】解：（1）∵二次函数与x轴的交点坐标为，
∴方程的的根是；
（2）∵抛物线在x轴上方时，或，
∴不等式的解集是或，
（3）∵抛物线在x轴下方时，，
∴不等式的解集是，．
故答案为：（1）；（2）或；（3）．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
针对训练3
1.已知，二次函数的图象如图所示，二次函数与x轴交于，，
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，x的取值范围是 ．
【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据二次函数的图象即可得到x的取值范围．
【详解】（1）解：把，，分别代入得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）由二次函数图象可知当，即函数图象在x轴下方时，x的取值范围是，
故答案为：
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用图象求自变量的取值范围，熟练掌握待定系数法和数形结合是解题的关键．
2.如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，
图象如图所示，
当﹣1≤x≤3时，ax2+c≥﹣kx+m，
∴ax2+kx+c≥m的解集是﹣1≤x≤3，
故选：D．
【点评】本题考查了图象法求一元二次不等式，从直线与抛物线交点坐标确定不等式的解集.
能力提升3
1.在平面直角坐标系中，抛物线经过点、．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)求这条抛物线与x轴的交点坐标．
(3)当时，y的取值范围为_____________．
【分析】（1）将点、代入抛物线解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，令，解方程即可求解；
（3）根据解析式配方成顶点式，求得最大值，进而根据0与与抛物线对称轴的距离判断出最小值，即可求得的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：将点、代入抛物线解析式，得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
（2）解：令中，，
即，
解得：或，
∴这条抛物线与x轴的交点坐标为或；
（3）∵，
∴顶点坐标为，对称轴为直线，抛物线开口向下，
∴当时，最大值为，
∵，
∴当时，取得最小值为，
∴当时，y的取值范围为，
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，求抛物线与轴的交点坐标，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2.已知抛物线的图像过点，顶点横坐标为，如图
(1)求、的值；
(2)求的最大值；
(3)直接写出当时，的取值范围．
【答案】(1)；
(2)y的最大值是9；
(3)当时，．
【分析】（1）根据二次函数图像上点的坐标特征，将点代入二次函数的解析式，再由对称轴方程得到；联立，解方程组即可；
（2）利用（1）的结果求出抛物线的解析式，并将其转化为顶点式，然后根据二次函数的性质来求二次函数的最值；
（3）根据图示，直接写出当时，x的取值范围．
【详解】（1）解：∵图像过点，且顶点横坐标为，
∴，
解得：；
（2）解：根据（1）知，抛物线的解析式是：
，
∴y的最大值是9；
（3）解：令，则，
解得，，
∴当时，．
【点评】本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图像及二次函数的最值．本题侧重于二次函数的解析式的求法和几何图形结合的综合能力的培养，解题时要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．
知识点4 抛物线与x轴交点问题
1.二次函数与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.
2.二次函数与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点二次函数与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）二次函数与轴相切 此时二次函数为；
总结完全平方形式的二次函数与x轴只有一个交点
③没有交点二次函数与轴相离.注意这种情况 当a＞0,y值恒＞0，当a＜0,y值恒＜0，
3.平行于轴的直线与二次函数的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
名师点拨
求直线与抛物线的交点坐标,只需联立直线与抛物线的解析式,解关于x,y的方程组,即可求得交点坐标;
(2)利用一次函数y=kx+t和二次函数y=ax2+bx+c的图象比较两函数值的大小及确定不等式kx+t>ax+bx+c或んx+t
例4-1．已知二次函数的表达式为y=x2-（2m-1）x+m2-m.
（1）试判断该二次函数的图象与x轴交点的个数？并说明理由．
（2）此二次函数的图象与函数y=2x+m+4的图象的一个交点在y轴上，求m的值．
【解析】（1）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案；
（2）利用二次函数的图象与函数y=2x+m+4的图象的一个交点在y轴上，则常数项相等，进而得出答案．
解：（1）∵Δ=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4（m2-m）=1＞0，
∴方程x2-（2m-1）x+m2-m=0有两个不相等的实数根．
∴二次函数y=x2-（2m-1）x+m2-m与x轴有两个交点．
（2）令x=0，则m2-m=m+4，
解得：m1=1+，m2=1-．
例4-2．已知抛物线y=-2x2+4x+6与x轴交于A、B两点．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）求线段AB的长．
【解析】（1）将抛物线解析式化为顶点式即可得到抛物线对称轴；
（2）令y=0，求出A、B两点坐标即可求出AB的长．
解：（1）将抛物线y=-2x2+4x+6化为顶点式，
则y=-2（x-1）2+8，
∴抛物线对称轴为直线x=1；
（2）令y=0，
则-2x2+4x+6=0，
整理得：x2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0
解得：x1=3，x2=-1，
∴A、B两点的坐标为（3，0）和（-1，0），
∴AB=|-1-3|=4．
针对训练4
1．已知二次函数y=x2-kx+k-5
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式．
【解析】（1）令y=0，得到方程x2-kx+k-5=0，求出此方程的判别式为=（k-2）2+16，无论k取何实数，（k-2）2+16＞0，即可得到答案；
（2）根据抛物线的对称轴x=1，能求出k的值，代入抛物线的解析式即可．
（1）证明：令y=0，则x2-kx+k-5=0，
∵Δ=k2-4（k-5）=k2-4k+20=（k-2）2+16，
∵（k-2）2≥0，
∴（k-2）2+16＞0
∴无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（2）解：∵对称轴为x=，
∴k=2，
∴解析式为y=x2-2x-3，
答：它的解析式是y=x2-2x-3．
2．已知：二次函数y=-x2+x+c与X轴交于点M（x1，0）N（x2，0）两点，与Y轴交于点H．
（1）若∠HMO=45°，∠MHN=105°时，求：函数解析式；
（2）若|x1|2+|x2|2=1，当点Q（b,c）在直线上时，求二次函数y=-x2+x+c的解析式．
【解析】（1）由已知可得两个特殊的直角三角形，其公共直角边OH=c,解直角三角形得OM，ON的长度，用长度表示点M、N的横坐标，用两根关系求待定系数，确定二次函数关系式；
（2）由（1）可知x1=-c,x2=c,代入已知条件，用待定系数法解题．
解：（1）依题意得OH=c,∠OHN=60°，解直角三角形得，OM=OH=c,ON=c,
即M（-c,0），N（c,0），
∴-c+c=，-c c=-c,解得b=3-，c=，
故函数解析式y=-x2+（1-）x+；
（2）由|x1|2+|x2|2=1得，（x1+x2）2-2x1x2=1，
∴+2c=1…①，
又∵点Q（b,c）在直线上，
∴c=+…②，
由①②得或（不合题意舍去），
∴二次函数y=-x2+x+c的解析式y=-x2+x+．
3．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，一元二次方程x2+b2x+20=0的两实根为x3、x4，且x2-x3=x1-x4=3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标．
【解析】先将x2-x3=x1-x4=3化简为两根之和的形式，再代入数值进行计算．
解：∵x2-x3=x1-x4=3
∴x2-x3=3，x1-x4=3
∴x2-x3+x1-x4=6即（x1+x2）-（x3+x4）=6
∴（x1+x2）-（x3+x4）=-b+b2=6，即b2-b-6=0，解得：b=-2或3
∵x2-x3=x1-x4
∴|x1-x2|=|x3-x4|
即=
∴9-4c=81-4×20，
解得：c=2
又∵一元二次方程x2+b2x+20=0有两实根
∴△=b4-80≥0，
当b=-2，c=2时，有y=x2-2x+2，
△=4-4×1×2=-4＜0，
与x轴无交点，
∴b=-2不合题意舍去
则解析式为y=x2+3x+2，
根据顶点坐标公式可得顶点坐标：．
4．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式．
【解析】（1）分类讨论：当m=0时，方程变形为一元一次方程，有一个解；当m≠0时，先计算判别式的值得到Δ=（3m-1）2，根据非负数的性质得△≥0，则根据判别式的意义得到方程总有两个实数解，然后综合两种情况得到不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）先解方程得到x1=-，x2=-3，根据抛物线与x轴的两交点问题得到交点坐标为（-，0），（-3，0），再根据正数的整除性易得m=1，从而得到抛物线解析式．
（1）证明：当m=0时，方程变形为x+3=0，解得x=-3；
当m≠0时，Δ=（3m+1）2-4m 3=（3m-1）2，
∵（3m-1）2≥0，即△≥0，
∴m≠0时，方程总有两个实数解，
∴不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）解：根据题意得m≠0，
mx2+（3m+1）x+3=0．
（mx+1）（x+3）=0，
解得x1=-，x2=-3，
则抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴的两交点坐标为（-，0），（-3，0），
而m为正整数，-也为整数，所以m=1，
所以抛物线解析式为y=x2+4x+3．
能力提升4
1．已知关于x的一元二次方程x2+（k-5）x+1-k=0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
【解析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出Δ＞0，根据判别式的意义即可证明；
（2）由于二次函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，又Δ=（k-5）2-4（1-k）=（k-3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1-3）（x2-3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
（1）证明：∵Δ=（k-5）2-4（1-k）=k2-6k+21=（k-3）2+12＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，二次项系数a=1，
∴抛物线开口方向向上，
∵Δ=（k-3）2+12＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1+x2=5-k＞0，x1 x2=1-k≥0，
解得k≤1，
即k的取值范围是k≤1；
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，
根据题意，得（x1-3）（x2-3）＜0，
即x1 x2-3（x1+x2）+9＜0，
又x1+x2=5-k,x1 x2=1-k,
代入得，1-k-3（5-k）+9＜0，
解得k＜．
则k的最大整数值为2．
2．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2-2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
x … -3 - -2 -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 0 -1 0 3 …
（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（2）观察函数图象，写出2条函数的性质_____；
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程x2-2|x|=0的实数根为_____；
②方程x2-2|x|=2有_____个实数根．
③关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围_____．
【答案】(1)函数的最小值为-1；x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）;(2)-2或2或0;(3)2;(4)-1＜a＜0;
【解析】（1）描点画出如下函数图象即可；
（2）函数的性质有：函数的最小值为-1；x＞1时，y随x的增大而增大，（答案不唯一）；
（3）①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程x2-2|x|=0有3个根，即可求解；
②设y=x2-2|x|，从图象看y=2与y=x2-2|x|有两个交点，即可求解；
③函数y=x2-2|x|的图象与y=a有4个交点时，a的取值范围是-1＜a＜0，即可求解．
解：（1）描点画出如下函数图象：
（2）函数的性质有：函数的最小值为-1；x＞1时，y随x的增大而增大，
故答案为：函数的最小值为-1；x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
（3）①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程x2-2|x|=0有3个根，即x=-2或2或0，
故答案为：-2或2或0；
②设y=x2-2|x|，从图象看y=2与y=x2-2|x|有两个交点；
故答案为：2；
③函数y=x2-2|x|的图象与y=a有4个交点时，a的取值范围是-1＜a＜0，
故答案为：-1＜a＜0．
知识点5 求抛物线与x轴的截线长
二次函数y=ax +bx+c与x轴的交点有三种情况:有两个交点,一个交点和没有交点.与此相对应,一元二次方程ax +bx+c=0根也有三种情况:有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,没有实数根.二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax +bx+c=0的根.如果要求抛物线与x轴截得的线段长,只需要求出对应一元二次方程ax +bx+c=0的两根x1,x2则∣x1-x2∣即是。
名师点拨
抛物线与x轴的两个交点横坐标x1,x2，∣x1-x2∣=
典例剖析5
例5-1 .用描点法画出的图象并回答下列问题．
(1)列表：（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）
x … …
… …
(2)描点，并连线；
(3)①顶点坐标是 ，当x＝ 时，y有最 值是 ．
②当x 时，y随x的增大而增大．
③该抛物线与y轴交于点 ．
(4)该抛物线与x轴交于点A、B，则AB＝ ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①（1，3），1，大，3；②＜1；③（0，2）
(4)2
【分析】（1）分别取x＝﹣1，0，1，2，3时y的值．
（2）通过描点，连线作图．
（3）将二次函数化为顶点式，根据抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标求解．
（4）令＝0，根据A，B的横坐标求解．
（1）
解：列表如下：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 …
（2）
画函数图象如下：
（3）
①∵，
∴抛物线顶点坐标为（1，3），即x＝1时，y取最大值3，
故答案为：（1，3），1，大，3．
②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
故答案为：＜1．
③将x＝0代入y＝﹣＋2x＋2得y＝2，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，2），
故答案为：（0，2）．
（4）
令﹣＋2x＋2＝0，
解得＝1﹣，＝1＋，
∴AB＝1＋﹣（1﹣）＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
例5-2 .已知抛物线经过点和点，
(1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）令，可得，即可求解．
【详解】（1）解：把点和点代入得：
，
解得：，
∴这个抛物线的解析式为，
∵，
∴这个抛物线的顶点坐标为；
（2）解：当时，，
解得：，
∴抛物线与x轴两个交点坐标为，
∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为．
【点评】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键．
针对训练5
1．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y=kx+t（k≠0）的图象上，则称y=ax2+bx+c（a≠0）为y=kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y=x2+1是y=x+1的伴随函数．
（1）若y=x2-4是y=-x+p的伴随函数，求直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数y=mx-3（m≠0）的伴随函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m,n的值．
【解析】（1）先求出二次函数的顶点坐标，再把求得的顶点坐标代入一次函数解析式求得p,进而求得一次函数与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式进行计算得结果；
（2）根据函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，列出n的方程求得n,再求出二次函数的顶点坐标，再将其顶点坐标代入一次函数解析式中求得m.
解：（1）∵y=x2-4，
∴其顶点坐标为（0，-4），
∵y=x2-4是y=-x+p的伴随函数，
∴（0，-4）在一次函数y=-x+p的图象上，
∴-4=0+p.
∴p=-4，
∴一次函数为：y=-x-4，
∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，-4），（-4，0），
∴直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|-4|=4，
∴直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：．
（2）设函数y=x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=-2，x1x2=n,
∴，
∵函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，
∴，
解得，n=-3，
∴函数y=x2+2x+n为：y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴其顶点坐标为（-1，-4），
∵y=x2+2x+n是y=mx-3（m≠0）的伴随函数，
∴-4=-m-3，
∴m=1．
2．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）.
(1)若为二次函数的图象上一点，求m的值；
(2)求的长.
答案：(1)4
(2)3
解析：（1）当时，
；
（2）当时，
，
解得：，，
，，
.
3．已知关于x的一元二次方程：.
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线与x轴交于，两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由.
（友情提示：）
答案：解：（1），
，
，
原方程有两个不等实数根；
（2）存在，
由题意知，是原方程的两根，
，.
，
，
当时，有最小值8，
AB有最小值，即
能力提升5
1．已知关于x的方程有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）试说明；
（3）若抛物线与x轴交于A，B两点，点A，B到原点的距离分别为OA，OB，且，求k的值.
答案：解：（1）由题意可知，
即，.
（2）
.
（3）依题意，不妨设，
，
.
，
，
解得.
.
解析：
2．已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:对于任意实数t，方程都有实数根；
(2)当t为何值时，二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标互为相反数？请说明理由
答案：(1)证明:在方程中，，
对于任意实数t，方程都有实数根.
(2)当时，交点的横坐标互为相反数.理由如下:
令，得到，
设方程的两根分别为，由题意可知，
方程的两个根互为相反数，，解得.
当时，交点的横坐标互为相反数.
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