机密★考试结束前
温州市2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试题（A卷）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．
考生注意：
1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上．
2．选择题的答案须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．
3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，若，则（ ）
A．2 B． C． D．3
2．设m是一条直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．复数（ ）
A． B． C． D．
4．如图，某校数学兴趣小组对古塔AB进行测量，AB与地面垂直，从地面C点看塔顶A的仰角为，沿直线BC前行20米到点D此时看塔顶A的仰角为，根据以上数据可得古塔AB的高为（ ）
A． B．20 C．10 D．
5．数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x的40%分位数为2.5，则x可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，若，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知样本数据的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（ ）
A．18.2 B．19.6 C．19.8 D．21.7
8．已知平面向量满足对任意实数恒成立．若对每一个确定的，对任意实数m，n，有最小值t．当变化时，t的值域为则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z满足，下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为2 C． D．
10．如图所示，下列频率分布直方图均为单峰的分布直方图．图（1）的直方图形状是对称的，图（2）的直方图在右边“拖尾”，图（3）的直方图在左边“拖尾”，据此作出判断，正确的是（ ）
（1） （2） （3）
A．图（1）的平均数=中位数=众数 B．图（2）的平均数<众数<中位数
C．图（2）的众数<中位数<平均数 D．图（3）的平均数<中位数<众数
11．正方体棱长为1，E，F分别为棱，AD（含端点）上的动点，记过C，E，F三点的平面为，记为点B到平面的距离，为点到平面的距离，则满足条件（ ）的是不唯一的．
A． B． C． D．
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上
12．已知是关于x的实系数方程的一个根，则实数P的值为_______．
13．设样本空间含有等可能的样本点，，则_______．
14．与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD满足， ，且四面体ABCD有棱切球，则AC的长为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2．
（1）求该圆台的体积；
（2）求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．
16．（本小题满分15分）已知是单位向量，满足，记与夹角为．
（1）求；
（2）若平面向量在上的投影向量为，求．
17．（本小题满分15分）如图，绕边BC旋转得到，其中，面ABC，．
（1）证明：面ACD；
（2）若二面角的平面角为，求锐二面角平面角的正弦值．
18．（本小题满分17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，过内一点M的直线l与直线AB交于D，记与夹角为．
（1）已知，
（i）求角A﹔
（ii）M为的重心，，求；
（2）请用向量方法探究与的边和角之间的等量关系．
19．（本小题满分17分）给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．
鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强．
（1）当时，求的所有可能取值；
（2）当时，求的概率；
（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
题号e1e2e
32
4
5
6
7
82
选项
C
D
C
A
A
Be
D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
题号
9
10
11日
选项
ABC ACD
AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.1213.2
14.4
15.
解：(1)上底面面积：S,=π2=π
(2)设圆台母线与下底面所成角为日
下底面面积：S2=π2=47…2分母线1=V(2-+乃=53分
则y-号8+S+5,h4分c0s9-5产
…5分
1
:=x7nx2=14元
…6分=
15
3
55
…7分
3
16.
(1)
日-2-1+4-4a.6=7a6=-
…2分
∴.c0s0=
a.b 1
=-5,0∈(0，π)
4分
ab 2
∴.0=120°
6分
(2)
向量c在a上的投影向量为ca。=
a=a→ca=1
…2分
2
a
又i.c=l,.bc=ac→ca-b)=0→c⊥a-b
4分
b.c=ac→c-(a-b)=0→c1a-i,日=同l→(a,c）=60°
7分
a:c=cos60°=1→日=2
9分
17
解：(1)三角形ABC绕边BC旋转得到DBC .BC⊥DC…3分
又：BC⊥AC,AC∩DC=C→BC⊥面ACD.
…6分
(2):BC⊥面ACD,过点C作CF⊥DE且交直线DE为点F,连接BF,
则二面角B-DE-C平面角为∠BFC
…3分
∠BFC=60°，又IBC=2,则FC=有=35
*…5分
二面角D-CB-A平面角为∠DCA=0,
…7分
则0=2am0号5，s如0
…9分
3
18.
(1)
(i).c-acos B=2R(sin C-sin Acos B)
=2R(sin(A+B)-sin Acos B)
2分
=2Rsin Bcos A=bcos A
.∴.bsin A=bcos A→tanA=1
4分
.∴.A=45°
5分
(i)
在△ADM中，
sin ZAMD"sino-→MD=MaM,sim∠AMD
AD
AM
sin
hD=24Msn(60+2
m2分
n3分
o-6o+o号引mw40》引ns”-》引5E+号
2
2
5分
AD=6+2+2
6
7分
(2)
.BA=BC+CA
令DE同向单位向量为e
:.BA.e=(BC+CA)-e=BC.e+CA.e
…2分
ccos0=acos(B-0)+bcos(-(B-0+C))=acos(B-0)+bcos(A+0)
3分
