广东省深圳市2024年中考数学试题

广东省深圳市2024年中考数学试题
一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2024·深圳）下列用七巧板拼成的图案中， 为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、D均为不规则图形，而B为轴对称图形，C为正方形，为中心对称图形；
故选：C.
【分析】根据图像的对称性直接判断即可.
2．（2024·深圳）如图， 实数 在数轴上表示如下， 则最小的实数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：数轴上左边的数小于右边的数，即a故选：A.
【分析】根据数轴上的点表示的数的大小关系直接判断即可.
3．（2024·深圳）下列运算正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，，故A错误；而B正确；
C.左边不是同类项，无法合并，C错误；
D.完全平方式有三项，故D错误；
故选：B.
【分析】根据幂的乘方运算、单项式乘单项式、合并同类项、完全平方公式求解即可.
4．（2024·深圳）二十四节气， 它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑）， 秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气， 则抽到的节气在夏季的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意，共有24节气，夏季的节气有6个，故概率P=.
故选：D.
【分析】共24节气，夏季的季气有6个，比值即为概率.
5．（2024·深圳）如图， 一束平行光线照射平面镜后反射， 若入射光线与平面镜夹角 ， 则反射光线与平面镜夹角 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由光线平行知∠3=∠1=50°，而根据光反向的性质知∠4=∠3=50°.
故选：B.
【分析】根据平行线的性质与光线反射的性质即可求得∠4的度数.
6．（2024·深圳）在如图的三个图形中， 根据尺规作图的痕迹， 能判断射线 平分 的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
【答案】B
【知识点】角平分线的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：观察发现①中，以A为圆心作弧交两边于B、C，以B、C为圆心分别作弧交于点D，故射线AD为∠BAC的平分线；
②作的，以B、C为圆心分别作弧，交于两点，两点连线即为线段BC的垂直平分线；
③中AD，以A为圆心作两段弧，交角两边于四点，连接异侧的点交于点D，由对称性可知，OD也是∠BAC的角平分线，
故①③中AD为角平分线，
故选：B.
【分析】根据作图痕迹，判断痕迹的作法，直接判断即可.
7．（2024·深圳）在明朝程大位 《算法统宗》中有首住店诗： 我问开店李三公， 众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空. 诗的大意是： 一些客人到李三公的店中住宿， 如果每一间客房住 7 人， 那么有 7 人无房可住； 如果每一间客房住 9 人， 那么就空出一间房. 设该店有客房 间， 房客 人， 则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意， 每一间客房住 7 人， 那么有 7 人无房可住 故总人数为7x+7， 每一间客房住 9 人， 那么就空出一间房 ，故总人数为9(x-1)，而人数为y.则可列方程组.
故选：A.
【分析】根据题中的等量关系，用含有x的代数式表达总人数，即可列出方程.
8．（2024·深圳）如图， 为了测量某电子厂的高度， 小明用高 的测量仪 测得的仰角为 ， 小军在小明的前面 处用高 的测量仪 测得的仰角为 ， 则电子厂 的高度为 （　　）
(参考数据： )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设AM=a，在△AEM中，∠AEM=45°，tan∠45°=1得EM=AM=a，
DF=5m，故CN=BD=a-5，∠ACN=53°，tan53°≈，即有，
∵BM=EF=1.8m，BN=CD=1.5m，故MN=1.8-1.5=0.3m，故AN=AM+MN=a+0.3
于是，
解得a=20.9m，
故AB=AM+1.8=20.9+1.8=22.7m，
故选：A.
【分析】合理的设未知量设AM=a，可表示EM=a，CN=a-5，在△ACN中，利用正切值得关于a的方程并求解，求出AM的长度即可求得AB的长.
二、填空题（本大题共 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分)
9．（2024·深圳） 一元二次方程 的一个解为 ， 则 　 　.
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=1代入方程得1-3+a=0，解得a=2，
故答案：2
【分析】将x=1代入方程即可求得a的值.
10．（2024·深圳） 如图所示， 四边形 均为正方形， 且 ，则正方形 的边长可以是　 　. （写出一个答案即可）
【答案】2(答案不唯一)
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
11．（2024·深圳） 如图， 在矩形 中， 为 中点， ， 则扇形 的面积为　 　.
【答案】4π
【知识点】矩形的性质；扇形的面积；解直角三角形—边角关系
12．（2024·深圳） 如图， 在平面直角坐标系中， 四边形 为菱形， ， 且点 落在反比例函数 上， 点 落在反比例函数 上， 则 　 　.
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
由得，设AD=4m，则OD=3m，OA=5m，
得A(3m，4m)，点A在反比例函数上，故3m×4m=3，m2=
同时AB=5m，CE=3m，BE=4m，
得B(8m，4m)，k=8m×4m=32m2=32×=8，
故k=8
故填：8.
【分析】利用直接设AD=4m，得OD=3m，OA=5m，可得B(8m，4m)利用反比例函数图象上的点的坐标特点求得k的值.
13．（2024·深圳）如图， 在 中， 为 上一点， 且满足 ， 过 作 交 延长线于点 ， 则 　 　.
【答案】
【知识点】相似三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G
设AB=13，则CB=13，由tan∠B=，得AF=5，BF=12，故CF=1，
而由得BD=8，DC=5，得DF=4；
易知tan∠ACF=，
由∠GCE=∠ACF，得tan∠GCE=5，设CG=a，则GE=5a，
∠ADF+∠GDE=90°，∠ADF+∠DAF=90°
得∠DAF=∠GDE，又∠AFD=∠DGE=90°，
得△ADF~△DEG，
故即有
解得a=，
由AF||EG得
故填：.
【分析】由考虑构造直角三角形，设AB=13，可得其它线段长度，利用△ADF~△DEG可得a值，即可求出的值.
三、解答题（本题共 7 小题, 其中第 14 题 5 分, 第 15 题 7 分, 第 16 题 8 分, 第 17 题 8 分, 第 18 题 9 分, 第 19 题 12 分, 第 20 题 12 分, 共 61 分)
14．（2024·深圳） 计算： .
【答案】解： 原式
=1-1+4
=4
【知识点】求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【分析】直接利用特殊角的余弦值、零指数幂、去绝对值、负指数幂依次求解，然后再进行加减运算即可.
15．（2024·深圳） 先化简， 再代入求值： ， 其中 .
【答案】解：原式
将 代入得： 原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】括号内通分，同时后式分子进行因式分解，再约分化简并代入值即可求解.
16．（2024·深圳） 据了解， “i 深圳” 体育场地一键预约平台是市委、市政府打造 “民生幸福标杆” 城市过程中， 推动的惠民利民重要举措， 在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义。按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆 “应接尽接”原则， “i 深圳” 体育场馆一键预约平台实现了 “让想运动的人找到场地， 已有的体育场地得到有效利用”。
小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体， 现有 两所学校适合，小明收集了这两所学校过去 10 周周六上午的预约人数：
学校
学校 ：
（1）
学校 平均数 众数 中位数 方差
　 　 48 　 83.299
48.4 　 　 　 　 354.04
（2）根据上述材料分析， 小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由.
【答案】（1）48.3；25；47.5
（2）解：小明爸爸应该预约学校 A， 因为学校 A 的预约人数相对稳定， 大概率会有位置更好的进行锻炼.
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(1)学校A的平均数，观察学校B的折线统计图知众数为25，中位数45和50的平均数47.5
故答案：48.3；25；47.5
【分析】（1）根据学校A的预约总数据除以10便可得平均数，观察学校B预约数据，可知众数和中位数；
（2）可从平均数、中位数、方差等角度进行选择，言之合理即可.
17．（2024·深圳）
背景 【缤纷618，优惠送大家】
今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．
素材 如图为某商场叠放的购物车，如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长1m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m.
问题解决
任务1 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6m，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？
【答案】解：
任务1：令
解得：
一次性最多可以运输 18 台购物车.
任务2：令
解得：
一次性最多可以运输 18 台购物车.
任务3：设 次扶手电梯， 则 次直梯
由题意可列方程为：
解得：
方案一： 直梯 3 次， 扶梯 2 次；
方案二： 直梯 2 次， 扶梯 3 次；
方案三： 直梯 1 次， 扶梯 4 次；
方案四： 直梯0次，扶梯5次；
即 共有四种方案
答：共有四种方案
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)由车身长 ， 每增加一辆购物车， 车身增加 . 可知车身总长L与n的表达式；
(2)列出不等式求出n的取值范围即可算出一次性运输18台购物车；
(3)由题意x次扶手电梯，则（5-x）直梯，利用隐含的不等关系即可求出方案.
18．（2024·深圳）如图， 在 中， 为 的外接圆， 为 的切线， 为 的直径， 连接 并延长交 于点 .
（1） 求证： ；
（2） 若 ， 求 的半径.
【答案】（1）证明： 连接 延长线交 于 ， 连接 OD，
，
，即D为优弧的中点
∴BH⊥AD
为 切线
为直径
四边形 是矩形
（2）解：由(1)知BEDH为矩形，故BH=DE=5，设半径为r，则OA=r，OH=5-r，
由垂径定理知AH=AD=，在AOH中，由勾股定理得
解得r=3，
故圆的半径为3.
【知识点】勾股定理；圆的综合题；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】(1)由AB=BD知B为优弧的中点，即可得BH⊥AD，而直径所对圆周角为直角，切线产生的直角，即可证明BEDH为矩形，即可证明结论；
(2)直接设半径r，由勾股定理列方程即可求出半径长.
19．（2024·深圳）为了测量抛物线的开口大小， 某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置， 并分别以水平放置的直尺和坚直放置的直尺为 轴建立如图所示平面直角坐标系， 该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示， 设 的读数为 读数为 抛物线的顶点为 .
（1）①列表：
　 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
0 2 3 4 5 6
0 1 2.25 4 6.25 9
②描点： 请将表格中的 描在图 2 中；
③连线： 请用平滑的曲线在图 2 将上述点连接， 并求出 与 的关系式；
（2） 如图 3 所示， 在平面直角坐标系中， 抛物线 的顶点为 ， 该数学兴趣小组用水平和坚直直尺测量其水平跨度为 ， 坚直跨度为 ， 且 ， 为了求出该抛物线的开口大小， 该数学兴趣小组有如下两种方案， 请选择其中一种方案， 并完善过程：
方案一： 将二次函数 平移， 使得顶点 与原点 重合， 此时抛物线解析式为 .
①此时点 的坐标为　 　；
②将点 坐标代入 中解得 　 　； （用含 的式子表示)
方案二： 设 点坐标为
①此时点 的坐标为　 　；
②将点 坐标代入 中解得 　 　； (用含 的式子表示)
（3）【应用】如图 4， 已知平面直角坐标系 中有 两点， ， 且 轴，二次函数 和 都经过 两点， 且 和 的顶点 距线段 的距离之和为 10 ， 若 轴且 ， 求 的值.
【答案】（1）解：②如图所示：
③由表格和图像知抛物线的顶点为原点(0，0)，对称轴为y轴设抛物线的解析式为y=ax2，
将点(2，1)代入得1=4a，得a=，故抛物线的解析式为y=x2；
（2）；；；
（3）解：由题知 的对称轴为 ，
令x=-h-2，则.
∴ 顶点坐标为 ，
所以 顶点距 的距离为 ，
所以 顶点距 的距离为 .
故 的顶点坐标为 或
①若 顶点坐标为 ， 则
把 代入得： ， 解得
②若 顶点坐标为 ， 则 ，
把 代入得： ， 解得 .
综上所述， 的值为 或
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；作图-二次函数图象；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）
方案一：①题意知点B'的横坐标为AB长度的一半，即，纵坐标为n，故B’的坐标为； 故第一空：.
②将顶点坐标代入.得n=a，得a=，故第二空：.
方案二：
①可视作函数平移得到，故顶点平移至.
②将坐标代入得a=的值；第4空： .
【分析】(1)依次描点后依次用平滑的曲线连接起来即可；
(2)方案一：①由题意知点B'的横坐标为AB长度的一半，即，纵坐标为n，故B’的坐标为；
②将坐标代入 . 即可得a的表达式；
②方案二：①可视作函数平移得到，故顶点平移至，②将坐标代入得a的值；
(3)先求出曲线C1和C2的顶点坐标，由C1顶点到AB的距离为8，得C2顶点到AB的距离为2，可得C2的顶点坐标有两个分别是 或 ，对此分类讨论，分别将顶点坐标代入C2解析式中，即可求出a的值.
20．（2024·深圳）垂中平行四边形的定义如下： 在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边， 若交点是这条边的中点， 则该平行四边形是 “垂中平行四边形”.
（1） 如图所示， 四边形 为 “垂中平行四边形”， ， 则 　 　；　 　；
（2） 如图 2， 若四边形 为 “垂中平行四边形”， 且 ， 猜想 与 的关系，并说明理由；
（3）①如图 3 所示， 在 中， 交 于点 ， 请画出以 为边的垂中平行四边形， 要求： 点 在垂中平行四边形的一条边上 (温馨提示： 不限作图工具)；
②若 关于直线 对称得到 ， 连接 ， 作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ， 连接 ， 请直接写出 的值.
【答案】（1）；
（2）解：， 理由如下：
设
（3）解：①如图所示
②或.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；作图-平行线
【解析】【解答】解：(1)∵平行四边形ABCD，
∴AB//BC，
∴AF||BC
∴△AEF∽△CEB，
∴AE：CE=AF：BC=EF：BE=1：2，
∵，
得AE=1，BC=2，
由勾股定理得BE=，
同理AB=
故答案为：1；.
(3)或
如下图所示，再作 ，
∵B、B'关于AC对称
∴BE=B'E
∴
∵PM||BC
∴
又∵PH||B'E
∴
而B'E=5，故PH=，EH=3，故PE=
若按照图 下作图， 则；
∵AB||CM
∴
∵PM||BC
∴
∴P为MN的中点
连接PA，则PA为△NBM的中位线
∴AP||BM，PA=
∴PA⊥AC
AE=6，故PE=
若按照图 3 作图， 则： 没有交点， 不存在 （不符合慜意， 不建议）
综上所述，PE的长为或
【分析】(1)由平行线分线段成比例可得BC=2，AE=1，由勾股定理可得BE=4，AB=；
(2)根据比例设线段长，用勾股定理可得其它线段长，即可求出AF与CD的数量关系；
(3)①由垂中平行四边形的定义画出图像即可，如图1，BE延长线恰好经过BC所对另一条边中点；如图2，点A恰好为一边的中点，过点C作另一条边出来；如图3，点A为BC所对边的中点，过点A作BC的平行线；(作法不唯一)；
②结合①中的作图，进行分类讨论，讨论过程中，要注意平行线分线段成比例，利用比例求出线段长即可求出PE的长.
1 / 1广东省深圳市2024年中考数学试题
一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2024·深圳）下列用七巧板拼成的图案中， 为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·深圳）如图， 实数 在数轴上表示如下， 则最小的实数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·深圳）下列运算正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
4．（2024·深圳）二十四节气， 它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑）， 秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气， 则抽到的节气在夏季的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·深圳）如图， 一束平行光线照射平面镜后反射， 若入射光线与平面镜夹角 ， 则反射光线与平面镜夹角 的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·深圳）在如图的三个图形中， 根据尺规作图的痕迹， 能判断射线 平分 的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
7．（2024·深圳）在明朝程大位 《算法统宗》中有首住店诗： 我问开店李三公， 众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空. 诗的大意是： 一些客人到李三公的店中住宿， 如果每一间客房住 7 人， 那么有 7 人无房可住； 如果每一间客房住 9 人， 那么就空出一间房. 设该店有客房 间， 房客 人， 则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024·深圳）如图， 为了测量某电子厂的高度， 小明用高 的测量仪 测得的仰角为 ， 小军在小明的前面 处用高 的测量仪 测得的仰角为 ， 则电子厂 的高度为 （　　）
(参考数据： )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分)
9．（2024·深圳） 一元二次方程 的一个解为 ， 则 　 　.
10．（2024·深圳） 如图所示， 四边形 均为正方形， 且 ，则正方形 的边长可以是　 　. （写出一个答案即可）
11．（2024·深圳） 如图， 在矩形 中， 为 中点， ， 则扇形 的面积为　 　.
12．（2024·深圳） 如图， 在平面直角坐标系中， 四边形 为菱形， ， 且点 落在反比例函数 上， 点 落在反比例函数 上， 则 　 　.
13．（2024·深圳）如图， 在 中， 为 上一点， 且满足 ， 过 作 交 延长线于点 ， 则 　 　.
三、解答题（本题共 7 小题, 其中第 14 题 5 分, 第 15 题 7 分, 第 16 题 8 分, 第 17 题 8 分, 第 18 题 9 分, 第 19 题 12 分, 第 20 题 12 分, 共 61 分)
14．（2024·深圳） 计算： .
15．（2024·深圳） 先化简， 再代入求值： ， 其中 .
16．（2024·深圳） 据了解， “i 深圳” 体育场地一键预约平台是市委、市政府打造 “民生幸福标杆” 城市过程中， 推动的惠民利民重要举措， 在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义。按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆 “应接尽接”原则， “i 深圳” 体育场馆一键预约平台实现了 “让想运动的人找到场地， 已有的体育场地得到有效利用”。
小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体， 现有 两所学校适合，小明收集了这两所学校过去 10 周周六上午的预约人数：
学校
学校 ：
（1）
学校 平均数 众数 中位数 方差
　 　 48 　 83.299
48.4 　 　 　 　 354.04
（2）根据上述材料分析， 小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由.
17．（2024·深圳）
背景 【缤纷618，优惠送大家】
今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．
素材 如图为某商场叠放的购物车，如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长1m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m.
问题解决
任务1 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6m，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？
18．（2024·深圳）如图， 在 中， 为 的外接圆， 为 的切线， 为 的直径， 连接 并延长交 于点 .
（1） 求证： ；
（2） 若 ， 求 的半径.
19．（2024·深圳）为了测量抛物线的开口大小， 某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置， 并分别以水平放置的直尺和坚直放置的直尺为 轴建立如图所示平面直角坐标系， 该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示， 设 的读数为 读数为 抛物线的顶点为 .
（1）①列表：
　 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
0 2 3 4 5 6
0 1 2.25 4 6.25 9
②描点： 请将表格中的 描在图 2 中；
③连线： 请用平滑的曲线在图 2 将上述点连接， 并求出 与 的关系式；
（2） 如图 3 所示， 在平面直角坐标系中， 抛物线 的顶点为 ， 该数学兴趣小组用水平和坚直直尺测量其水平跨度为 ， 坚直跨度为 ， 且 ， 为了求出该抛物线的开口大小， 该数学兴趣小组有如下两种方案， 请选择其中一种方案， 并完善过程：
方案一： 将二次函数 平移， 使得顶点 与原点 重合， 此时抛物线解析式为 .
①此时点 的坐标为　 　；
②将点 坐标代入 中解得 　 　； （用含 的式子表示)
方案二： 设 点坐标为
①此时点 的坐标为　 　；
②将点 坐标代入 中解得 　 　； (用含 的式子表示)
（3）【应用】如图 4， 已知平面直角坐标系 中有 两点， ， 且 轴，二次函数 和 都经过 两点， 且 和 的顶点 距线段 的距离之和为 10 ， 若 轴且 ， 求 的值.
20．（2024·深圳）垂中平行四边形的定义如下： 在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边， 若交点是这条边的中点， 则该平行四边形是 “垂中平行四边形”.
（1） 如图所示， 四边形 为 “垂中平行四边形”， ， 则 　 　；　 　；
（2） 如图 2， 若四边形 为 “垂中平行四边形”， 且 ， 猜想 与 的关系，并说明理由；
（3）①如图 3 所示， 在 中， 交 于点 ， 请画出以 为边的垂中平行四边形， 要求： 点 在垂中平行四边形的一条边上 (温馨提示： 不限作图工具)；
②若 关于直线 对称得到 ， 连接 ， 作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ， 连接 ， 请直接写出 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、D均为不规则图形，而B为轴对称图形，C为正方形，为中心对称图形；
故选：C.
【分析】根据图像的对称性直接判断即可.
2．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：数轴上左边的数小于右边的数，即a故选：A.
【分析】根据数轴上的点表示的数的大小关系直接判断即可.
3．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，，故A错误；而B正确；
C.左边不是同类项，无法合并，C错误；
D.完全平方式有三项，故D错误；
故选：B.
【分析】根据幂的乘方运算、单项式乘单项式、合并同类项、完全平方公式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意，共有24节气，夏季的节气有6个，故概率P=.
故选：D.
【分析】共24节气，夏季的季气有6个，比值即为概率.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由光线平行知∠3=∠1=50°，而根据光反向的性质知∠4=∠3=50°.
故选：B.
【分析】根据平行线的性质与光线反射的性质即可求得∠4的度数.
6．【答案】B
【知识点】角平分线的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：观察发现①中，以A为圆心作弧交两边于B、C，以B、C为圆心分别作弧交于点D，故射线AD为∠BAC的平分线；
②作的，以B、C为圆心分别作弧，交于两点，两点连线即为线段BC的垂直平分线；
③中AD，以A为圆心作两段弧，交角两边于四点，连接异侧的点交于点D，由对称性可知，OD也是∠BAC的角平分线，
故①③中AD为角平分线，
故选：B.
【分析】根据作图痕迹，判断痕迹的作法，直接判断即可.
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意， 每一间客房住 7 人， 那么有 7 人无房可住 故总人数为7x+7， 每一间客房住 9 人， 那么就空出一间房 ，故总人数为9(x-1)，而人数为y.则可列方程组.
故选：A.
【分析】根据题中的等量关系，用含有x的代数式表达总人数，即可列出方程.
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设AM=a，在△AEM中，∠AEM=45°，tan∠45°=1得EM=AM=a，
DF=5m，故CN=BD=a-5，∠ACN=53°，tan53°≈，即有，
∵BM=EF=1.8m，BN=CD=1.5m，故MN=1.8-1.5=0.3m，故AN=AM+MN=a+0.3
于是，
解得a=20.9m，
故AB=AM+1.8=20.9+1.8=22.7m，
故选：A.
【分析】合理的设未知量设AM=a，可表示EM=a，CN=a-5，在△ACN中，利用正切值得关于a的方程并求解，求出AM的长度即可求得AB的长.
9．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=1代入方程得1-3+a=0，解得a=2，
故答案：2
【分析】将x=1代入方程即可求得a的值.
10．【答案】2(答案不唯一)
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
11．【答案】4π
【知识点】矩形的性质；扇形的面积；解直角三角形—边角关系
12．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
由得，设AD=4m，则OD=3m，OA=5m，
得A(3m，4m)，点A在反比例函数上，故3m×4m=3，m2=
同时AB=5m，CE=3m，BE=4m，
得B(8m，4m)，k=8m×4m=32m2=32×=8，
故k=8
故填：8.
【分析】利用直接设AD=4m，得OD=3m，OA=5m，可得B(8m，4m)利用反比例函数图象上的点的坐标特点求得k的值.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G
设AB=13，则CB=13，由tan∠B=，得AF=5，BF=12，故CF=1，
而由得BD=8，DC=5，得DF=4；
易知tan∠ACF=，
由∠GCE=∠ACF，得tan∠GCE=5，设CG=a，则GE=5a，
∠ADF+∠GDE=90°，∠ADF+∠DAF=90°
得∠DAF=∠GDE，又∠AFD=∠DGE=90°，
得△ADF~△DEG，
故即有
解得a=，
由AF||EG得
故填：.
【分析】由考虑构造直角三角形，设AB=13，可得其它线段长度，利用△ADF~△DEG可得a值，即可求出的值.
14．【答案】解： 原式
=1-1+4
=4
【知识点】求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【分析】直接利用特殊角的余弦值、零指数幂、去绝对值、负指数幂依次求解，然后再进行加减运算即可.
15．【答案】解：原式
将 代入得： 原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】括号内通分，同时后式分子进行因式分解，再约分化简并代入值即可求解.
16．【答案】（1）48.3；25；47.5
（2）解：小明爸爸应该预约学校 A， 因为学校 A 的预约人数相对稳定， 大概率会有位置更好的进行锻炼.
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(1)学校A的平均数，观察学校B的折线统计图知众数为25，中位数45和50的平均数47.5
故答案：48.3；25；47.5
【分析】（1）根据学校A的预约总数据除以10便可得平均数，观察学校B预约数据，可知众数和中位数；
（2）可从平均数、中位数、方差等角度进行选择，言之合理即可.
17．【答案】解：
任务1：令
解得：
一次性最多可以运输 18 台购物车.
任务2：令
解得：
一次性最多可以运输 18 台购物车.
任务3：设 次扶手电梯， 则 次直梯
由题意可列方程为：
解得：
方案一： 直梯 3 次， 扶梯 2 次；
方案二： 直梯 2 次， 扶梯 3 次；
方案三： 直梯 1 次， 扶梯 4 次；
方案四： 直梯0次，扶梯5次；
即 共有四种方案
答：共有四种方案
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)由车身长 ， 每增加一辆购物车， 车身增加 . 可知车身总长L与n的表达式；
(2)列出不等式求出n的取值范围即可算出一次性运输18台购物车；
(3)由题意x次扶手电梯，则（5-x）直梯，利用隐含的不等关系即可求出方案.
18．【答案】（1）证明： 连接 延长线交 于 ， 连接 OD，
，
，即D为优弧的中点
∴BH⊥AD
为 切线
为直径
四边形 是矩形
（2）解：由(1)知BEDH为矩形，故BH=DE=5，设半径为r，则OA=r，OH=5-r，
由垂径定理知AH=AD=，在AOH中，由勾股定理得
解得r=3，
故圆的半径为3.
【知识点】勾股定理；圆的综合题；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】(1)由AB=BD知B为优弧的中点，即可得BH⊥AD，而直径所对圆周角为直角，切线产生的直角，即可证明BEDH为矩形，即可证明结论；
(2)直接设半径r，由勾股定理列方程即可求出半径长.
19．【答案】（1）解：②如图所示：
③由表格和图像知抛物线的顶点为原点(0，0)，对称轴为y轴设抛物线的解析式为y=ax2，
将点(2，1)代入得1=4a，得a=，故抛物线的解析式为y=x2；
（2）；；；
（3）解：由题知 的对称轴为 ，
令x=-h-2，则.
∴ 顶点坐标为 ，
所以 顶点距 的距离为 ，
所以 顶点距 的距离为 .
故 的顶点坐标为 或
①若 顶点坐标为 ， 则
把 代入得： ， 解得
②若 顶点坐标为 ， 则 ，
把 代入得： ， 解得 .
综上所述， 的值为 或
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；作图-二次函数图象；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）
方案一：①题意知点B'的横坐标为AB长度的一半，即，纵坐标为n，故B’的坐标为； 故第一空：.
②将顶点坐标代入.得n=a，得a=，故第二空：.
方案二：
①可视作函数平移得到，故顶点平移至.
②将坐标代入得a=的值；第4空： .
【分析】(1)依次描点后依次用平滑的曲线连接起来即可；
(2)方案一：①由题意知点B'的横坐标为AB长度的一半，即，纵坐标为n，故B’的坐标为；
②将坐标代入 . 即可得a的表达式；
②方案二：①可视作函数平移得到，故顶点平移至，②将坐标代入得a的值；
(3)先求出曲线C1和C2的顶点坐标，由C1顶点到AB的距离为8，得C2顶点到AB的距离为2，可得C2的顶点坐标有两个分别是 或 ，对此分类讨论，分别将顶点坐标代入C2解析式中，即可求出a的值.
20．【答案】（1）；
（2）解：， 理由如下：
设
（3）解：①如图所示
②或.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；作图-平行线
【解析】【解答】解：(1)∵平行四边形ABCD，
∴AB//BC，
∴AF||BC
∴△AEF∽△CEB，
∴AE：CE=AF：BC=EF：BE=1：2，
∵，
得AE=1，BC=2，
由勾股定理得BE=，
同理AB=
故答案为：1；.
(3)或
如下图所示，再作 ，
∵B、B'关于AC对称
∴BE=B'E
∴
∵PM||BC
∴
又∵PH||B'E
∴
而B'E=5，故PH=，EH=3，故PE=
若按照图 下作图， 则；
∵AB||CM
∴
∵PM||BC
∴
∴P为MN的中点
连接PA，则PA为△NBM的中位线
∴AP||BM，PA=
∴PA⊥AC
AE=6，故PE=
若按照图 3 作图， 则： 没有交点， 不存在 （不符合慜意， 不建议）
综上所述，PE的长为或
【分析】(1)由平行线分线段成比例可得BC=2，AE=1，由勾股定理可得BE=4，AB=；
(2)根据比例设线段长，用勾股定理可得其它线段长，即可求出AF与CD的数量关系；
(3)①由垂中平行四边形的定义画出图像即可，如图1，BE延长线恰好经过BC所对另一条边中点；如图2，点A恰好为一边的中点，过点C作另一条边出来；如图3，点A为BC所对边的中点，过点A作BC的平行线；(作法不唯一)；
②结合①中的作图，进行分类讨论，讨论过程中，要注意平行线分线段成比例，利用比例求出线段长即可求出PE的长.
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