方城县2023-2024学年高二下学期期末测试
数学
注意事项：
1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上
2、回答选择题时选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3、考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回。
4、考试时间：120分钟，考试范围：北师大选择性必修一、二
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
2．已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为（ ）
A．9802 B．9991 C．10001 D．10202
3．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6 B．或 C． D．或
4．某校A B C D E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（ ）种.
A．18 B．36 C．60 D．72
5．已知数列满足．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
7．由样本数据点的散点图可知，变量与线性相关，求得的回归直线方程为，且.若去除两个数据点和，则剩余样本数据点纵坐标的平均值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知向量，，，则（ ）
A． B．在上的投影向量为
C． D．向量共面
10．已知函数则下列说法正确的是（ ）
A．当时,
B．当时,直线与函数的图象相切
C．若函数在区间上单调递增,则
D．若在区间上恒成立,则
11．已知抛物线的准线方程为，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．设，则周长的最小值为4
C．以为直径的圆与轴相切 D．若，则直线的斜率为或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则 .
13．在下图中正三棱柱中，D为棱AB的中点，与交于点E，若，则CD与所成角的余弦值为 ．
14．在等比数列中，是函数的极值点，则＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)
已知数列满足，，且，，构成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16．(15分)
如图所示，在四棱维中，面，且PA=AB=BC==2.
(1)求与所成的角；
(2)求直线与面所成的角的余弦值.
17．(15分)
已知平面内点与两个定点的距离之比等于2.
(1)求点的轨迹方程；
(2)记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程.
18．(17分)
时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
直播带货评级 合计
优秀 良
主播的学历层次 本科及以上 60 40 100
专科及以下 30 70 100
合计 90 110 200
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？
(2)统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势.现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”.表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
(3)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望.
附：，.
19．(17分)
已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.高二数学 参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
考查角度：对条件变形，利用导数的定义求解出到数值.
详解：因为，所以，
故
2．C
考查角度：由所给的数据写出数列的一个通项公式，从而可求出其第100个数
详解：因为2，5，10，17，26，…的一个通项公式为，所以第100个数为，
3．D
考查角度：根据离心率的计算公式，分焦点的位置，讨论即可求解．
详解：当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；
当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．
4．B
考查角度：因为在的前面出场，且，都不在3号位置，分在1号位置，在2号位置，在4号位置三种情况进行分类，在利用排列公式及可求出结果.
详解：因为在的前面出场，且，都不在3号位置，则情况如下：
①在1号位置，又2、4、5三种位置选择，有种次序；②在2号位置，有4,5号两种选择，有种次序；③在4号位置，有5号一种选择，有种； 故共有种.
5．A
考查角度：利用等比数列求出，进而求得，再利用累加法求通项得解.
详解：依题意：，所以，当时，，则，
所以，
6．B
考查角度：根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解.
详解：由双曲线可知，且圆的圆心为，半径，
的圆心为，半径，由圆的性质可知：，
可得，
可知，为双曲线的焦点，则，可得，
所以的最小值为5.
7．C
考查角度：根据回归直线方程过样本点中心，再根据平均数公式，即可求解.
详解：，则除去两个数据点和后的平均值为.
8．C
详解：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．ABD
考查角度：根据向量模长、投影向量求法、向量垂直的坐标表示、向量共面的判断方法依次判断各个选项即可.
详解：对于A，，，，A正确；
对于B，，在上的投影向量为，B正确；
对于C，，与不垂直，C错误；
对于D，，共面，D正确.
10．AB
考查角度：对于A,求导函数后根据单调性即可得出结果;对于B,求导后将代入求出切线斜率,继而求得切线方程;对于C,即在上恒成立,分离参数求解即可;对于D,分为和两种情况进行讨论,当时,恒成立;当 时,恒成立等价于恒成立,分离参数转化为最值问题求解即可.
详解：对于A,当时,,,当时,,当时,,
函数在上单调递减,在上单调递增,,故选项A正确;
对于B,当时,,,,函数在处的切线方程为,故选项B正确;对于C,,若函数在区间上单调递增,则区间上恒成立,即在上恒成立,令,,则,函数在上单调递减,,,故选项C错误;对于D,当时,恒成立,此时;
当时,恒成立等价于恒成立,即恒成立,设,,
则在上恒成立,在上单调递减,,
,综上所述,故选项D错误.
11．ACD
考查角度：由抛物线的定义表示出，即可判断A；利用抛物线的定义和几何关系结合图形可判断B；画出大致图象，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合抛物线定义判断选项C；联立直线与抛物线，然后由条件和根与系数的关系即可判定D.
详解：抛物线的准线方程为，所以，则，所以抛物线，
易知直线的斜率不为零，设其方程为，联立，设，整理可得：，易知，可得，
所以的最小值为，故A正确；如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，，
根据抛物线的定义可得，所以周长为,由图可知，当与点等高时，有最小值，最小值为到准线的距离，其值为，所以，所以周长的最小值是，故B错误；
如图，取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为，因为，是梯形的中位线，
由抛物线的定义可得，所以，
所以以为直径的圆与轴相切，故C正确；因为，，解得，
，解得，，因此D正确；
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2
考查角度：结合条件的多项式的特征，令，可求出；令，可求得，即可求得结果
详解：令，得；令，得. 故.
13．
考查角度：作出辅助线，找到CD与所成的角，证出线面垂直，得到，设出，利用余弦定理求出，，求出余弦值.
详解：连接，取中点F，连接，EF，则，
所以为CD与所成的角（或其补角）．因为在正三棱柱中，D为棱AB的中点，所以⊥，⊥平面，因为平面，所以⊥，
因为，平面，所以CD⊥平面，可得EF⊥平面，又平面，所以．不妨设，则，，所以，
又，所以，
所以，所以＝．
14．
考查角度：由题，利用导数及韦达定理可得，后利用等比中项性质可得答案.
详解：，由题是方程的两个不等实根，
则由韦达定理，所以
又是的等比中项且与同号，则.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．
（1）由，得，所以数列是以2为公差的等差数列，
又，，构成等比数列，得，即，整理解得，
所以．
（2），则，
，两式相减得，
即，所以．
16．
（1）因为面，所以两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系.A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，C(2，2，0)
则 ,
=，所以与所成的角为
（2）设平面的法向量为，令，则，设直线与面所成的角的为，又，sin=
直线与面所成的角的余弦值为.
17．
（1）已知，
由题意可知，，坐标代入得，整理得，故点的轨迹方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，由圆，则圆心为，半径为，此时弦长为，满足题意；当直线的斜率存在时，不妨设斜率为，
则直线的方程为，即，则圆心到直线的距离.
因为直线被所截得的线段的长为，所以，则，
所以，解得，所以直线的方程为.综上，满足条件的直线的方程为或.
18．
（1）零假设为：直播带货的评级与主播的学历无关，由题意得，所以根据小概率值的独立性检验，
可推断不成立，认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联；
（2）因为，因为，
所以认为事件条件下发生有优势；
（3）按照分层抽样，直播带货优秀的有人，直播带货良好的有人，随机变量的可能取值为1，2，3，则，，，
所以的分布列为：
1 2 3
所以数学期望.
19．
（1）由题函数定义域为，，
故当时，恒成立，所以函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，令，
则时，；时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
故在上恒成立，
故证证，
即，
令，则，
故当时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上恒成立，故，
所以当时，.
思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当时，可将问题转化成证，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证.
