浙江省2024年中考数学试卷

浙江省2024年中考数学试卷
一、选择题（每题3分）
1．（2024·浙江）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（　　）
北京 济南 太原 郑州
0℃ -1℃ -2℃ 3℃
A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-2＜-1＜0＜3，
∴某天中午12时气温最低的城市是太原.
故答案为：C.
【分析】利用有理数的大小比较：负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可求解.
2．（2024·浙江）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从几何题的正面看：有三列，三行，第一、二列都有3个小正方形，第三列有1个小正方形，从上到下，最下面一行有3个小正方形.
故答案为：B.
【分析】主视图就是从几何题的正面所看到的平面图形，观察已知几何题，可得答案.
3．（2024·浙江）2024年浙江经济一季度GDP为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：201370000=2.137×108.
故答案为：D.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1
4．（2024·浙江）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x3+x2不能合并，故A不符合题意；
B、x3·x2=x5，故B不符合题意；
C、（x3）2=x6，故C不符合题意；
D、x6÷x2=x4，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用幂的乘方法则，可对C作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相减，可对D作出判断.
5．（2024·浙江）某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数从小到大排列为：7，7，8，10，13，处于最中间的数是8，
∴这组数据的中位数是8.
故答案为：B.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；即可求解.
6．（2024·浙江）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为， 点
∴点B的对应点B'的坐标为（-2×2，4×2）即（-4，8）.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件，可知将点B的横纵坐标都乘以2，可得到点B'的坐标.
7．（2024·浙江）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
有①得：2x≥2，
解之：x≥1；
由②得
6-3x＞-6，
解之：x＜4，
∴不等式组的解集为1≤x＜4.
故答案为：A.
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，
8．（2024·浙江）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（　　）
A．5 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ 正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，
∴AE=BF=DH=4，EF=HE，AH=BE=3，∠DHE=90°，
∴EF=BF-BE=4-3，
∴.
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的性质和正方形的性质可证得AE=BF=DH=4，EF=HE，AH=BE=3，∠DHE=90°，可求出EF的长，利用勾股定理求出DE的长.
9．（2024·浙江）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=4＞0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，切图象分支在第一、三象限，
A、当t＜-4时，t+4＜0，
∴t＜t+4，
∴y2＜y1＜0，故A符合题意；
B、C、当-4＜t＜0时，
∴t+4＞0，
∴y1＜0，y2＞0即y1＜0＜y2，故B、C不符合题意；
D、当t＞0时，则t+4＞4，
∴t＜t+4，
∴0＜y2＜y1，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数的性质可证得在每一个象限内，y随x的增大而减小，切图象分支在第一、三象限，由t＜-4可得到t+4＜0，即可推出t＜t+4，由此可得到y1，y2，0的大小关系，可对A作出判断；由-4＜t＜0，可推出t+4＞0，可得到y1＜0，y2＞0即y1＜0＜y2，可对B、C作出判断；当t＞0时，则t+4＞4，可得到t＜t+4，由此可推出0＜y2＜y1，可对D作出判断.
10．（2024·浙江）如图，在中，，相交于点，，．过点作的垂线交于点，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE∥DF，∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF
在Rt△ABE和Rt△DCF中
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴CF=BE=x，
∴EC=BC-BE=y-x，BF=BC+CF=y+x，
∵AE2=AC2-EC2，DF2=BD2-BF2，
∴AC2-EC2=BD2-BF2即4-（y-x）2=（）2-（y+x）2，
整理得：xy=2，
∴xy的值不变.
故答案为：C.
【分析】过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，利用平行四边形的性质可证得AB=DC，AD∥BC，再证明四边形AEFD是矩形，利用矩形的性质可证得AE=DF，利用HL可证得Rt△ABE≌Rt△DCF，可推出BE=CF=x，再表示出BF，EC的长，利用勾股定理去证明AC2-EC2=BD2-BF2，可得到关于x，y的方程，解方程求出xy的值，即可求解.
二、填空题（每题3分）
11．（2024·浙江）因式分解：　 　．
【答案】a（a-7）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-7）.
故答案为：a（a-7）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
12．（2024·浙江）若，则　 　．
【答案】3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得
2=x-1，
解之：x=3，
经检验x=3是原方程的根，
∴原方程的解为x=3.
故答案为：3.
【分析】先去分母，将分式方程转化为整式方程，然后求出x的值.
13．（2024·浙江）如图，是的直径，与相切，为切点，连接．已知，则的度数为　 　．
【答案】40°
【知识点】切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AC是圆O的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠A=90°，
∴∠B=90°-∠ACB=90°-50°=40°.
故答案为：40°.
【分析】利用切线的性质可证得∠A=90°，再利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠B的度数.
14．（2024·浙江）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵卡片上一共有8个数，是4的整数倍的有4，8，一共2个，
∴P（该卡片上的数是4的整数倍）=.
故答案为：.
【分析】利用已知条件可知一共有8种结果数，是4的整数倍的有2种情况，再利用概率公式进行计算.
15．（2024·浙江）如图，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，分别是边，的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE=2×2=4，
∴∠AED=∠C，
∵∠AED=∠BEC，
∴∠C=∠BEC，
∴BE=BC=4.
故答案为：4.
【分析】利用已知可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE∥BC，同时可求出BC的长，利用平行线的性质可证得∠AED=∠C，可推出∠C=∠BEC，利用等角对等边可求出BE的长.
16．（2024·浙江）如图，在菱形中，对角线，相交于点，．线段与关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，交于点，则与四边形的面积比为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OE，A'D，
∵ 线段与关于过点的直线对称，
∴点A'在线段BD的延长线上，OA=OA'，OB=OB'，∠A'=∠DAC，
∵，
∴设AC=5x，BD=3x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，∠A'=∠DAC=∠DCA，
∴，
在△A'DE和△CB'E中
∴△A'DE≌△CB'E（AAS），
∴DE=B'E，
∵OE=OE，
∴△DOE≌△B'OE，
∴S△DOE=S△B'OE，
设△EB'C的B'C边上的高为h，
∴
故答案为：
【分析】连接OE，A'D，利用轴对称的性质可证得点A'在线段BD的延长线上，OA=OA'，OB=OB'，∠A'=∠DAC，设AC=5x，BD=3x，利用菱形的性质可证得∠A'=∠DAC=∠DCA，同时可表示出CB'、OB'的长，利用AAS证明△A'DE≌△CB'E，可推出DE=B'E，利用SSS可证得△DOE≌△B'OE，可推出S△DOE=S△B'OE，设△EB'C的B'C边上的高为h，可证得，代入计算可求出结果.
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．（2024·浙江）计算：．
【答案】解：原式=4-2+5=7
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
18．（2024·浙江）解方程组：．
【答案】解：
由①×3得
6x-3y=15③
由②+③得
10x=5，
解之：x=0.5，
将x=0.5代入①得
1-y=5
解之：y=-4
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由由①×3+②，消去y可求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
19．（2024·浙江）如图，在中，，是边上的中线，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）解：如图
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，
，
在Rt△ADC中，
∴
∴DC=6
∴BC=BD+CD=8+6=14
（2）解：∵AE是BC边上的中线，
∴BE=BC=×14=7，
∴ED=BD-BE=8-7=1，
在Rt△AED中
，
∴
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ADC=∠ADB=90°，利用勾股定理可求出BD的长，利用已知可得到DC的长，然后求出BC的长.
（2）利用三角形中线的定义可求出BE的长，由此可求出ED的长；再利用勾股定理求出AE的长，然后利用锐角三角函数的定义可求出结果.
20．（2024·浙江）某校开展科学活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下：
科学活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是（　　） （A）科普讲座 （B）科幻电影 （C）AI应用 （D）科学魔术 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的AI应用是（　　） （E）辅助学习 （F）虚拟体验 （G）智能生活 （H）其他 问题1答题情况条形统计图 C类中80人问题2 答题情况扇形统计图
根据以上信息．解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？
（2）菜鸡学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数．
【答案】（1）解：80×40%＝32（人），
答：本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有32人；
（2）解：根据题意得
1200×=324人
答：估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数大约有324人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）用80乘以最喜爱“AI应用”的学生人数所占的百分百，列式计算.
（2）利用统计图用1200乘以该校最喜爱“科普讲座”的学生人数所占的百分百。列式计算即可.
21．（2024·浙江）尺规作图问题：
如图1，点是边上一点（不包含，），连接．用尺规作，是边上一点．
小明：如图2．以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则．
小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦……我明白了！
（1）证明；
（2）指出小丽作法中存在的问题．
【答案】（1）证明：根据小明的作法知，CF＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵CF＝AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）解：以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意．
故小丽的作法有问题.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据小明的作法知，CF＝AE，利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，再利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AFCE是平行四边形；然后利用平行四边形的性质，可证得结论.
（2）阅读小丽的作法可知以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点.
22．（2024·浙江）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程 （米）与小明跑步时间 （分）的函数关系如图所示．
时间 里程分段 速度档 跑步里程
小明 16：00~16：50 不分段 A档 4000米
小丽 16：10~16：50 第一段 B档 1800米
第一次休息
第二段 B档 1200米
第二次休息
第三段 C档 1600米
（1）求，，各档速度（单位：米/分）；
（2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；
（3）小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，求的值．
【答案】（1）解：由图象可知（4000，50），
∴A档速度为4000÷50＝80（米/分）；
∵ B档比A档快40米/分
∴B档速度为80+40＝120（米/分）；
∵C档比B档快40米/分，
∴C档速度为120+40＝160（米/分）；
答：A，B，C各档速度80米/分、120米/分、160米/分
（2）解：小丽第一段跑步时间为1800÷120＝15（分），
小丽第二段跑步时间为（3000﹣1800）÷120＝10（分），
小丽第三段跑步时间为（4600﹣3000）÷160＝10（分），
则小丽两次休息时间的总和为50﹣10﹣15﹣10﹣10＝5（分），
答：小丽两次休息时间的总和为5分钟
（3）解：∵小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，
∴此时小丽在跑第三段，所跑时间为a﹣10﹣15﹣10﹣5＝a﹣40（分），
∴80a＝3000+160（a﹣40），
∴a＝42.5
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图象可知（4000，50），可得到A档速度，再根据B档比A档快40米/分，C档比B档快40米/分，分别求出C，B挡的速度.
（2）利用图象及A，B，C各档速度，分别求出小丽第一段、第二段、第三段跑步的时间，然后列式可求出小丽两次休息时间的总和.
（3）利用已知条件：小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
23．（2024·浙江）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得
解之：
∴此二次函数解析式为y=x2+x+3
（2）解：∵ 点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，平移后的点的坐标为（1+m，9） ，
∵点（1-m，9）在二次函数图象上，
∴（1-m）2+（1-m）+3=9
解之：m1=4，m2=-1，
∵m＞0，
∴m=4
（3）解：
∵抛物线的开口向上，
∴当时，y最小值=，
当时，y随x的增大而减小，
∴当x=-2时，y的最大值=4-2+3=5，
当x=n时，y的最小值为n2+n+3，
∵ 最大值与最小值的差为 ，
解之：（不符合题意）；
当时，
当时，y最小值=，
当x=-2时，y的最大值=4-2+3=5，
∴最大值与最小值的差为5-=，符合题意；
若当x=n时，y的最大值为n2+n+3，
∵最大值与最小值的差为 ，
n2+n+3-=，
解之：n1=1，n2=-2（不符合题意），
综上所述n的值为1
【知识点】二次函数的最值；用坐标表示平移；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入，可得到关于b，c的方程，再利用抛物线的对称轴，可求出b的值，然后求出c的值，可得到二次函数解析式.
（2）利用点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，可得到平移后的点的坐标，再将平移后的点的坐标代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，然后根据m＞0，可得到m的值.
（3）将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可知当时，y最小值=，当时，y随x的增大而减小；分情况讨论：当时，y随x的增大而减小，分别求出当x=-2时y的最大值和x=n时y的最小值，再根据最大值与最小值的差为 ，可得到关于n的方程，解方程求出n的值；当时，分别求出最大值和最小值，求出最大值与最小值的差；若当x=n时，y的最大值为n2+n+3，根据最大值与最小值的差为 ，可得到关于n的方程，解方程求出n的值；综上所述，可得到符合题意的n的值.
24．（2024·浙江）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连结，使．
（1）若，为直径，求的度数．
（2）求证：①；
②．
【答案】（1）解：∵CD是直径，
∴∠DBC=90°，
∵A四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°-60°=120°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=120°-90°=30°.
（2）①证明：①如图，延长AB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CBM＝∠ADC，
又∵∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFE＝∠CBM，
∴EF∥BC；
②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，则DG∥BC∥EF，
∵DG∥BC，
∴，
∴BD＝CG，
∵四边形BCGD是圆内接四边形，
∴∠GDE＝∠ACG，
∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，
∴∠AFE＝∠AGC，
∵AE＝AC，
∴△AEF≌△ACG（AAS），
∴EF＝CG，
∴EF＝BD．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠DBC=90°，再利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠ABC的度数；再根据∠ABD=∠ABC-∠DBC，代入计算可求出结果.
（2）①延长AB至M，利用圆内接四边形的性质可证得∠CBM＝∠ADC=∠AFE，利用平行线的判定定理可证得结论；②②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接CG，AG，则DG∥BC∥EF，可证得，利用圆心角、弧、弦的关系定理可证得BD=CG，利用圆内接四边形的对角互补及同弧所对的圆周角相等，可推出∠AFE＝∠AGC，利用AAS证明△AEF≌△ACG，利用全等三角形的性质可证得EF=CG，据此可证得结论.
1 / 1浙江省2024年中考数学试卷
一、选择题（每题3分）
1．（2024·浙江）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（　　）
北京 济南 太原 郑州
0℃ -1℃ -2℃ 3℃
A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州
2．（2024·浙江）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江）2024年浙江经济一季度GDP为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江）某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2024·浙江）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·浙江）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（　　）
A．5 B． C． D．4
9．（2024·浙江）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（2024·浙江）如图，在中，，相交于点，，．过点作的垂线交于点，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分）
11．（2024·浙江）因式分解：　 　．
12．（2024·浙江）若，则　 　．
13．（2024·浙江）如图，是的直径，与相切，为切点，连接．已知，则的度数为　 　．
14．（2024·浙江）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是　 　．
15．（2024·浙江）如图，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为　 　．
16．（2024·浙江）如图，在菱形中，对角线，相交于点，．线段与关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，交于点，则与四边形的面积比为　 　．
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．（2024·浙江）计算：．
18．（2024·浙江）解方程组：．
19．（2024·浙江）如图，在中，，是边上的中线，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
20．（2024·浙江）某校开展科学活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下：
科学活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是（　　） （A）科普讲座 （B）科幻电影 （C）AI应用 （D）科学魔术 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的AI应用是（　　） （E）辅助学习 （F）虚拟体验 （G）智能生活 （H）其他 问题1答题情况条形统计图 C类中80人问题2 答题情况扇形统计图
根据以上信息．解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？
（2）菜鸡学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数．
21．（2024·浙江）尺规作图问题：
如图1，点是边上一点（不包含，），连接．用尺规作，是边上一点．
小明：如图2．以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则．
小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦……我明白了！
（1）证明；
（2）指出小丽作法中存在的问题．
22．（2024·浙江）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程 （米）与小明跑步时间 （分）的函数关系如图所示．
时间 里程分段 速度档 跑步里程
小明 16：00~16：50 不分段 A档 4000米
小丽 16：10~16：50 第一段 B档 1800米
第一次休息
第二段 B档 1200米
第二次休息
第三段 C档 1600米
（1）求，，各档速度（单位：米/分）；
（2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；
（3）小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，求的值．
23．（2024·浙江）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
24．（2024·浙江）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连结，使．
（1）若，为直径，求的度数．
（2）求证：①；
②．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-2＜-1＜0＜3，
∴某天中午12时气温最低的城市是太原.
故答案为：C.
【分析】利用有理数的大小比较：负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从几何题的正面看：有三列，三行，第一、二列都有3个小正方形，第三列有1个小正方形，从上到下，最下面一行有3个小正方形.
故答案为：B.
【分析】主视图就是从几何题的正面所看到的平面图形，观察已知几何题，可得答案.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：201370000=2.137×108.
故答案为：D.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x3+x2不能合并，故A不符合题意；
B、x3·x2=x5，故B不符合题意；
C、（x3）2=x6，故C不符合题意；
D、x6÷x2=x4，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用幂的乘方法则，可对C作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相减，可对D作出判断.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数从小到大排列为：7，7，8，10，13，处于最中间的数是8，
∴这组数据的中位数是8.
故答案为：B.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；即可求解.
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为， 点
∴点B的对应点B'的坐标为（-2×2，4×2）即（-4，8）.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件，可知将点B的横纵坐标都乘以2，可得到点B'的坐标.
7．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
有①得：2x≥2，
解之：x≥1；
由②得
6-3x＞-6，
解之：x＜4，
∴不等式组的解集为1≤x＜4.
故答案为：A.
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ 正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，
∴AE=BF=DH=4，EF=HE，AH=BE=3，∠DHE=90°，
∴EF=BF-BE=4-3，
∴.
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的性质和正方形的性质可证得AE=BF=DH=4，EF=HE，AH=BE=3，∠DHE=90°，可求出EF的长，利用勾股定理求出DE的长.
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=4＞0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，切图象分支在第一、三象限，
A、当t＜-4时，t+4＜0，
∴t＜t+4，
∴y2＜y1＜0，故A符合题意；
B、C、当-4＜t＜0时，
∴t+4＞0，
∴y1＜0，y2＞0即y1＜0＜y2，故B、C不符合题意；
D、当t＞0时，则t+4＞4，
∴t＜t+4，
∴0＜y2＜y1，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数的性质可证得在每一个象限内，y随x的增大而减小，切图象分支在第一、三象限，由t＜-4可得到t+4＜0，即可推出t＜t+4，由此可得到y1，y2，0的大小关系，可对A作出判断；由-4＜t＜0，可推出t+4＞0，可得到y1＜0，y2＞0即y1＜0＜y2，可对B、C作出判断；当t＞0时，则t+4＞4，可得到t＜t+4，由此可推出0＜y2＜y1，可对D作出判断.
10．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE∥DF，∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF
在Rt△ABE和Rt△DCF中
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴CF=BE=x，
∴EC=BC-BE=y-x，BF=BC+CF=y+x，
∵AE2=AC2-EC2，DF2=BD2-BF2，
∴AC2-EC2=BD2-BF2即4-（y-x）2=（）2-（y+x）2，
整理得：xy=2，
∴xy的值不变.
故答案为：C.
【分析】过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，利用平行四边形的性质可证得AB=DC，AD∥BC，再证明四边形AEFD是矩形，利用矩形的性质可证得AE=DF，利用HL可证得Rt△ABE≌Rt△DCF，可推出BE=CF=x，再表示出BF，EC的长，利用勾股定理去证明AC2-EC2=BD2-BF2，可得到关于x，y的方程，解方程求出xy的值，即可求解.
11．【答案】a（a-7）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-7）.
故答案为：a（a-7）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
12．【答案】3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得
2=x-1，
解之：x=3，
经检验x=3是原方程的根，
∴原方程的解为x=3.
故答案为：3.
【分析】先去分母，将分式方程转化为整式方程，然后求出x的值.
13．【答案】40°
【知识点】切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AC是圆O的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠A=90°，
∴∠B=90°-∠ACB=90°-50°=40°.
故答案为：40°.
【分析】利用切线的性质可证得∠A=90°，再利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠B的度数.
14．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵卡片上一共有8个数，是4的整数倍的有4，8，一共2个，
∴P（该卡片上的数是4的整数倍）=.
故答案为：.
【分析】利用已知条件可知一共有8种结果数，是4的整数倍的有2种情况，再利用概率公式进行计算.
15．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，分别是边，的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE=2×2=4，
∴∠AED=∠C，
∵∠AED=∠BEC，
∴∠C=∠BEC，
∴BE=BC=4.
故答案为：4.
【分析】利用已知可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE∥BC，同时可求出BC的长，利用平行线的性质可证得∠AED=∠C，可推出∠C=∠BEC，利用等角对等边可求出BE的长.
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OE，A'D，
∵ 线段与关于过点的直线对称，
∴点A'在线段BD的延长线上，OA=OA'，OB=OB'，∠A'=∠DAC，
∵，
∴设AC=5x，BD=3x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，∠A'=∠DAC=∠DCA，
∴，
在△A'DE和△CB'E中
∴△A'DE≌△CB'E（AAS），
∴DE=B'E，
∵OE=OE，
∴△DOE≌△B'OE，
∴S△DOE=S△B'OE，
设△EB'C的B'C边上的高为h，
∴
故答案为：
【分析】连接OE，A'D，利用轴对称的性质可证得点A'在线段BD的延长线上，OA=OA'，OB=OB'，∠A'=∠DAC，设AC=5x，BD=3x，利用菱形的性质可证得∠A'=∠DAC=∠DCA，同时可表示出CB'、OB'的长，利用AAS证明△A'DE≌△CB'E，可推出DE=B'E，利用SSS可证得△DOE≌△B'OE，可推出S△DOE=S△B'OE，设△EB'C的B'C边上的高为h，可证得，代入计算可求出结果.
17．【答案】解：原式=4-2+5=7
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
18．【答案】解：
由①×3得
6x-3y=15③
由②+③得
10x=5，
解之：x=0.5，
将x=0.5代入①得
1-y=5
解之：y=-4
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由由①×3+②，消去y可求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
19．【答案】（1）解：如图
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，
，
在Rt△ADC中，
∴
∴DC=6
∴BC=BD+CD=8+6=14
（2）解：∵AE是BC边上的中线，
∴BE=BC=×14=7，
∴ED=BD-BE=8-7=1，
在Rt△AED中
，
∴
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ADC=∠ADB=90°，利用勾股定理可求出BD的长，利用已知可得到DC的长，然后求出BC的长.
（2）利用三角形中线的定义可求出BE的长，由此可求出ED的长；再利用勾股定理求出AE的长，然后利用锐角三角函数的定义可求出结果.
20．【答案】（1）解：80×40%＝32（人），
答：本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有32人；
（2）解：根据题意得
1200×=324人
答：估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数大约有324人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）用80乘以最喜爱“AI应用”的学生人数所占的百分百，列式计算.
（2）利用统计图用1200乘以该校最喜爱“科普讲座”的学生人数所占的百分百。列式计算即可.
21．【答案】（1）证明：根据小明的作法知，CF＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵CF＝AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）解：以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意．
故小丽的作法有问题.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据小明的作法知，CF＝AE，利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，再利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AFCE是平行四边形；然后利用平行四边形的性质，可证得结论.
（2）阅读小丽的作法可知以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点.
22．【答案】（1）解：由图象可知（4000，50），
∴A档速度为4000÷50＝80（米/分）；
∵ B档比A档快40米/分
∴B档速度为80+40＝120（米/分）；
∵C档比B档快40米/分，
∴C档速度为120+40＝160（米/分）；
答：A，B，C各档速度80米/分、120米/分、160米/分
（2）解：小丽第一段跑步时间为1800÷120＝15（分），
小丽第二段跑步时间为（3000﹣1800）÷120＝10（分），
小丽第三段跑步时间为（4600﹣3000）÷160＝10（分），
则小丽两次休息时间的总和为50﹣10﹣15﹣10﹣10＝5（分），
答：小丽两次休息时间的总和为5分钟
（3）解：∵小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，
∴此时小丽在跑第三段，所跑时间为a﹣10﹣15﹣10﹣5＝a﹣40（分），
∴80a＝3000+160（a﹣40），
∴a＝42.5
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图象可知（4000，50），可得到A档速度，再根据B档比A档快40米/分，C档比B档快40米/分，分别求出C，B挡的速度.
（2）利用图象及A，B，C各档速度，分别求出小丽第一段、第二段、第三段跑步的时间，然后列式可求出小丽两次休息时间的总和.
（3）利用已知条件：小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
23．【答案】（1）解：由题意得
解之：
∴此二次函数解析式为y=x2+x+3
（2）解：∵ 点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，平移后的点的坐标为（1+m，9） ，
∵点（1-m，9）在二次函数图象上，
∴（1-m）2+（1-m）+3=9
解之：m1=4，m2=-1，
∵m＞0，
∴m=4
（3）解：
∵抛物线的开口向上，
∴当时，y最小值=，
当时，y随x的增大而减小，
∴当x=-2时，y的最大值=4-2+3=5，
当x=n时，y的最小值为n2+n+3，
∵ 最大值与最小值的差为 ，
解之：（不符合题意）；
当时，
当时，y最小值=，
当x=-2时，y的最大值=4-2+3=5，
∴最大值与最小值的差为5-=，符合题意；
若当x=n时，y的最大值为n2+n+3，
∵最大值与最小值的差为 ，
n2+n+3-=，
解之：n1=1，n2=-2（不符合题意），
综上所述n的值为1
【知识点】二次函数的最值；用坐标表示平移；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入，可得到关于b，c的方程，再利用抛物线的对称轴，可求出b的值，然后求出c的值，可得到二次函数解析式.
（2）利用点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，可得到平移后的点的坐标，再将平移后的点的坐标代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，然后根据m＞0，可得到m的值.
（3）将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可知当时，y最小值=，当时，y随x的增大而减小；分情况讨论：当时，y随x的增大而减小，分别求出当x=-2时y的最大值和x=n时y的最小值，再根据最大值与最小值的差为 ，可得到关于n的方程，解方程求出n的值；当时，分别求出最大值和最小值，求出最大值与最小值的差；若当x=n时，y的最大值为n2+n+3，根据最大值与最小值的差为 ，可得到关于n的方程，解方程求出n的值；综上所述，可得到符合题意的n的值.
24．【答案】（1）解：∵CD是直径，
∴∠DBC=90°，
∵A四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°-60°=120°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=120°-90°=30°.
（2）①证明：①如图，延长AB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CBM＝∠ADC，
又∵∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFE＝∠CBM，
∴EF∥BC；
②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，则DG∥BC∥EF，
∵DG∥BC，
∴，
∴BD＝CG，
∵四边形BCGD是圆内接四边形，
∴∠GDE＝∠ACG，
∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，
∴∠AFE＝∠AGC，
∵AE＝AC，
∴△AEF≌△ACG（AAS），
∴EF＝CG，
∴EF＝BD．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠DBC=90°，再利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠ABC的度数；再根据∠ABD=∠ABC-∠DBC，代入计算可求出结果.
（2）①延长AB至M，利用圆内接四边形的性质可证得∠CBM＝∠ADC=∠AFE，利用平行线的判定定理可证得结论；②②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接CG，AG，则DG∥BC∥EF，可证得，利用圆心角、弧、弦的关系定理可证得BD=CG，利用圆内接四边形的对角互补及同弧所对的圆周角相等，可推出∠AFE＝∠AGC，利用AAS证明△AEF≌△ACG，利用全等三角形的性质可证得EF=CG，据此可证得结论.
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