曲靖市第一中学 2025 届高二年级下学期第二次阶段性考试 6 aC.a1 a2 a3 a4 a5 a6 0 D. n 64 n
n 1 2
数学试卷 10．已知正实数 x, y满足 xy x 4y 5，下列说法正确的是（ ）
时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：陆大飞 审题人：刘珠 A. xy的最小值为 25 B. x 4y的最大值为 20
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 1 1
C. x y 的最小值为 11 D. 的最小值为 1
项是符合题目要求的. x 4 y 1
1． 设集合 A {x | 2 x 1},B { 2,0,1,2},则 A B ( ) 11． 已知函数 f (x) 的定义域为R ,且满足 f 2 (x) f 2 (y) f (x y)f (x y) ， f (1) 2, f (2) 0，则（ ）
A.{ 2,0,1} B.{ 2, 1,0} C.{ 2,0} D.{2,0,1} A. f (0) 0 B. f (x) 为偶函数
2． 在函数 f (x) 中，定义域为R ,则“ x R, f (x 0.01) f (x) ”是“ f (x) 在R上为增函数”的（ ） 2025
C. f (x) 的周期为 4 D. f (i)=2
A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 i 1
3．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，直线BD1与直线 AC 所成角为（ ） 三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
2 x 1
A. B. C. D. 12．已知函数 f (x) x ln 为奇函数，则a的值为 .
3 4 6 2 x a
13．已知随机变量 X ,Y 满足 X B(4, p),Y N (3,22 ),且E( X ) E(Y ),则 p .
4．已知实数a log0.2 0.3,b (0.3)
0.2 ,c 30.2 ，则（ ）
A.c b a B.b a c C.b c a D.a b c 14 x．关于 x的不等式 (e 1) ln | x | 0 的解集是_____________.（用区间表示）
5．某班级数学课上教师随机的从学生甲、乙、丙、丁中选择一名学生回答问题，据了解，甲、乙、丙、丁答
四．解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
对该题的概率分别为 0.8,0.6,0.4,0.2，则在此题答错的情况下，由乙回答此题的概率是（ ）
15．(13 分)
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
6. 甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁不相邻，则不同的排列方 为了解甲、乙两校学生的数学学习情况，随机调查了甲、乙两校的 500 个学生在某次统测中的数学成绩，
式共有（ ） 得到下面列联表：
A.40 种 B.48 种 C.12 种 D.24 种 人数
7．若定义在R上的函数满足 f (x 2) f (2 x) ，且在 ( ,0) 单调递减，f (3) 0 学校 合计，则满足 (x 1)f (x) 0
及格人数 不及格人数
的 x的取值范围是（ ）
甲 240 20
A.[ 3,0] [1,3] B. ( , 3] {0} [1,3]
乙 210 30
C. [ 3,0) [1,3] D.[1, )
合计
8．设函数 f (x) 的定义域为R ,且 f (2x 1)为奇函数， f (2x 2) 为偶函数，则（ ）
1 （1）根据上表，分别估计这两所学校学生在该次统测中的数学及格率；
A. f (0) 0 B. （f 1） 0 C. f (2) 0 D. f ( ) 0
2 （2）补全上述列联表，并分析根据小概率值 0.050 的独立性检验，能否认为甲、乙两校的学生数学
二．多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
是否及格与学生所属学校有关？
题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
2 n(ad bc)
2
9. (2x 1)6 a x6 5 4 . 若 6 a5x a4x a3x
3 a 22x a1x a
附：
0 ，则（ ） (a b)(c d )(a c)(b d )
A.a0 1 B.a3 160 0.100 0.050 0.010
x 2.706 3.841 5.635
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16．(15 分) 18.（17 分）
2
已知 f (x) 为二次函数， g(x) 3x 1，且 f (g(x)) 9x 1， f (0) 2 . 设抛物线C:y2 2px(p 0)的焦点为F ,点M (P,0)，过点F 且斜率存在的直线交C于不同的 A,B两点，
（1）求 f (x) 的解析式； 当直线 AM 垂直于 x轴时，| AF |=3.
(1)求C的方程； （2）若数列{an}满足an 1 f (an ) 2,a1 e 1, 且bn ln (an 1) ，判断数列{bn}是否为等比数列？若
(2)设直线 AM ,BM 与C的另一个交点分别为D,E，设直线 AB,DE 的斜率分别为 k1 ,k2 ,证明：
是，请求出{bn}的通项公式；若不是，请说明理由.
k1
（ⅰ） 为定值； （ⅱ）直线DE 恒过定点.
k
2
19.（17 分）
17.（15 分）
对于函数 y f (x) 的导函数 y f (x) ，若在定义域内存在实数 x ,m,使得 f ( x m ) (m 1)f
(x ) 成
如图，在斜三棱柱 BCE ADF 中，侧面 ABCD 侧面 ABEF ， AB AD AF 2, ADC AFE 60 ， 0 0 0
M 为线段CD上的动点. 立，则称 y f (x) 是“跳点”函数，并称 x0 是函数 y f (x) 的“m跳点”.
（1）当 M 为CD的中点时，证明： EM BF ;
(1)若 y x2 ,x R是“m跳点”函数，求实数m的取值范围；
2 15（ ）若 EM 与平面 BCE 所成角的正弦值为 ，求线段CM 的长度.
25 (2)函数 y
cos x t ,x R是“ 跳点”函数，求实数 t的取值范围；
2
(3)函数 y 2x3 3x2 a,x R是“1 跳点”函数，且在定义域内有且仅有两个不同的“1 跳点”，求a的值.
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{#{QQABTQwAoggoAIAAAQhCQw3SCAGQkBACCQgORFAMMAAAwAFABCA=}#}曲靖一中 2025 届高二年级下学期第二次阶段性考试
数学答案
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D C B A A B
二、多项选择题
9 10 11
ABC AC ACD
11.令 x y 0,则0 f 2 (0)， f (0) 0,A 正确；令 x 0，则 f 2 (y) f (y) f ( y)，
f (y) （0 舍）或 f (y) f ( y) ， f (x) 为奇函数.B 错误；令 x y 2 ，则
f 2 (y 2) f 2 (y) 0 ，即 f (y 2) f (y)或f (y 2) f (y) ，令 x 0，y 1 得：
4 2 f ( 1)， f ( 1) 2 f (1)， f (y 2) f (y)舍， f (y 2) f (y)， f (x)
2025
周期为 4，C 正确； f (i) 506(f ( 1) f (0) f (1) f (2)) f (2025) f (1) 2 ，正
i 1
确.
三、填空题
3
12. 1 13. 14.[ 1,0) [1, )
4
x x(x
2 1) 0
14. (e 1) ln | x | 0 x [ 1,0) [1, )
x 0
四、解答题
12 7
15.【答案】（1）甲： ；乙： （2）不能认为数学成绩与所属学校有关.
13 8
240 12
【详解】（1）由题意知：估计甲校数学及格率为： ；…………………（2 分）
240 20 13
210 7
估计乙校数学及格率为： .…………………（4 分）
210 30 8
（2）填表如下：
人数
学校 合计
及格人数 不及格人数
甲 240 20 260
1
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乙 210 30 240
合计 450 50 500
…………………（6 分）
假设甲、乙两校学生数学是否及格与学生所属学校无关， …………………（7 分）
2 500(240 30 210 20)
2
3.205 3.841 …………………（11 分）
450 50 260 240
根据小概率值 0.050 的独立性检验，不能认为甲、乙两校的学生数学是否及格与学生
所属学校有关. …………………（13 分）
16. 【答案】（1） f (x) x2 2x 2 （2）{bn}
n 1
是等比数列，bn 2
【详解】（1）设 f (x) ax2 bx c(a 0),
f (0) 2,
c 2 , ………………………（2 分）
又 f (g(x)) a(3x 1)2 b(3x 1) 2 9ax2 (3b 6a)x a b 2 9x2 1，
9a 9
a 1 3b 6a 0 ,解得 ，
b 2
a b 2 1
f (x) x2 2x 2 . ………………………（6 分）
（2）数列{bn}为等比数列，理由如下： ………………………（7 分）
a 2 2n 1 an 2an 2 2 an 2an ,
a 1 a2 2a 1 (a 1)2 ， ………………………（9 分） n 1 n n n
a 1 0, ………………………（10 分） n
ln (an 1 1) ln (an 1)
2 2 ln (an 1)，
b
bn 1 2b
n 1
n ，即 2，其中b1 ln (a1 1)=1， bn
{bn}构成首项为1，公比为2 的等比数列， ………………………（13 分）
b 2n 1n . ………………………（15 分）
2
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1
17. 【答案】（1）详见解析 （2）
2
【详解】（1）连接 AE, AM ,
AB AD AF 2, ADC AFE 60 ，
四边形 ABCD, ABEF 均为含60 的菱形,
AE BF ；
当 M 为CD的中点时,有 AM AB ;
又 侧面 ABCD 侧面 ABEF ,侧面 ABCD 侧面 ABEF AB ,
AM 平面 ABEF ,
又 BF 平面ABEF ,从而 AM BF；
又 AE AM A ,
BF 平面 AEM , EM 平面 AEM , 故 EM BF . ………………………（6 分）
（2）取CD中点为M ,连接 AM ,过点 A作 AN AB交EF 于点N ，
由（1）知 AM 平面 ABEF 知： AM AN ，
AM , AB,AN 两两互相垂直， ………………………（8 分）
以点 A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
B 0,2，0 ,C 3,1,0 ,E 0,1, 3 ；
设M ( 3, y,0), y 1,1 ，则
BC ( 3, 1,0),BE (0， 1, 3),EM ( 3, y 1, 3)，
设平面 BCE 的法向量为m (a,b,c) ，
b 3a 0
由m BC,m BE ，得 ，
b 3c 0
令 b 3, a 1,c 1,
m (1，3,1) . ………………………（11 分）
设 EM 与平面 BCE 所成角为 ,
m EM 3 y 1
15所以 sin ， ………………………（13 分）
m EM 2y 1 6 5 25
1 3 1
解得 y 或 y , 1 y 1， CM . ………………（15 分）
2 2 2
18. 2【答案】（1） y 4x （2）（ⅰ）2 （ⅱ） (4,0)
3
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p
【详解】（1）由焦半径公式知： p 3，
2
p 2,
C 2的方程为： y 4x . ………………………（4 分）
（2）由（1）知：F (1,0) ，
可设直线 AB方程为： x my 1，设 A(x1 , y1),B(x2 , y2 ), D(x3 , y3 ),E(x4 , y4 ), 则
x my 1 2
y 4my 4 0, 2
y 4x
y1 y2 4m, y1y2 4, ………………………（7 分）
x 2直线 AD方程为： x 1 y 2,
y1
xx 1
2
y 2y 2 x1 2联立 1 y 4( )y 8 0,
2 y1
y 4x
8
y1y3 8, y3 ， y1
16 8 16 8
D( , )，同理：E( , ) ………………………（10 分）
y2 21 y1 y2 y2
8 8
y y y y 4 1
（ⅰ） k 1 2 1 22 ， 16 16
2(y1 y2 ) 8m 2m
y21 y
2
2
1
k
1 m 2. ………………………（13 分）
k 12
2m
8 16 16my 16
（ⅱ）直线DE 的方程为： x 2m(y ) 2my 1
y 2 21 y1 y1
由 y1 y2 4m, y1y2 4得： y1(4m y1) 4,即 y
2
1 4my1 4，
16my1 16 4 ,
y21
4
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直线DE 的方程为： x 2my 4，
直线DE 恒过定点 (4,0) . ………………………（17 分）
19. 【答案】（1） [-1,1] （2）[ , ] （3）3或4
2 2
【详解】（1） y 2x，
2 2 2 2
由题意知： (x0 m) 2x0 (m 1) ，即m 2x0 x0 (x0 1) 1 1,
m [ 1,1] ………………………（4 分）
（2） y sin x，
由题意知：cos (x0 ) t ( 1)( sin x0 ) ，即 t sin x 2 2 2 0
sin x0 [ 1,1]， t [ , ] . ………………………（8 分） 2 2
（3） y 6x2 6x，
3
由题意知：2(x0 1) 3(x0 1)
2 a 2(6x20 6x0 ) ，
2x30 9x
2
0 12x0 a 1 0， ………………………（11 分）
g(x) 2x3 9x2令 12x a 1,x R,题目转化为 g(x) 有两个零点，
g (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)，
g (x) 0 x 1或x 2； g (x)<0 1 x 2 ；
g(x)在 ( ,1),(2， ) 单调递增，在 (1,2) 单调递减；………………………（14 分）
由三次函数性质知：若 g(x) 有两个零点，则 g(1) 0或g(2) 0，
解得：a 3或a 4 . ………………………（17 分）
5
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