南宁二中 2023-2024 学年度下学期高一期末考试
数学试题答案
2 3
1.已知复数 = ，则 的虚部为（ ）
A． 1 B．1 C． 2 D．2
2 3 (2 3)
【解析】答案：C。 = = 1 2 ，虚部为 2
2
2.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A． 1 = (0 , 0) , 2 = (1 , 2) B． 1 = ( 1 , 2) , 2 = (5 , 7)
C． 1 = (3 , 5) , 2 = (6 , 10) D． 1 = (2 , 3) , 2 = ( 6 , 9)
【解析】答案：B。另外三组向量共线
3.如图，在正方体 1 1 1 1中，异面直线 1 与 1 所成的角为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
3 4 6 2
【答案】A【详解】正方体中， 1 // 1 ，所以 1 与 1 所成的角即异面直线 1 与 1 所成的角，因为△ 1 为
π π
正三角形，所以 1 与 1 所成的角为 ，所以异面直线 1 与 1 所成的角为 。. 3 3
4．已知数据 1, 2, 3, , 8的平均数 = 10，方差
2
1 = 10，则3 1 + 2，3 2 + 2，3 3 + 2， ，3 8 + 2的平均数
和方差 22分别为（ ）
A． =32， 22 =90 B． =32，
2
2 =92 C． =30，
2
2 =90 D． =30，
2
2 =92
【答案】A【详解】因为 1, 2, 3, , 8的平均数是 10，方差是 10，所以3 1 + 2，3 2 + 2，3 3 + 2， ，3 8 + 2的
平均数是3 × 10 + 2 = 32，方差是32 × 10 = 90.故选：A.
5．设 、 为不重合的两平面， 、 为不重合的两直线，则下列说法正确的是（ ）
A. // ， // ，且 ， ，则 // B. // ， ⊥ ，则 ⊥
C. ⊥ ， ⊥ ，则 // D. ⊥ ， ∩ = ，则 与 α不垂直
【解析】答案：D
A.缺少条件 ∩ = ，错误 B. 与 夹角不固定，错误
C.可能会出现 ，错误 D. 与 不重合，不可能有第二个交点，且 与 不平行，故 与 α不垂直，正确
6.已知样本空间Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8}，事件 = {1,2,3,4}，事件 = {1,2,5,6}，事件 = {3,4,5,6}，则下列选项错误的
是（）
A. 与 独立 B. 与 独立
高一下期考数学试卷答案第1页（共 12 页）
{#{QQABAYgAogAIQIAAAAgCAQkoCAEQkBCAAYgOxAAIMAIAAAFABAA=}#}
C. 与 独立 D. ( ) = ( ) ( ) ( )
【解析】答案：D
1 1 1
( ) = ( ) = ( ) = ， ( ) = ( ) = ( ) = ，即 、 、 两两独立。但 ( ) ( ) ( ) = ≠ 0 = ( )，
2 4 8
故 D 错误，选择 D。
7 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一
体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如
在弯折位置通常采用 30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的
美学要求．该同学取端点绘制了△ABD，测得 AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点 C 恰好在边 BD 上，则sin ∠ 的
值为（ ）
1 5 14 22
A． B． C． D．
2 9 6 6
【答案】C
AD2 + BD2 AB2 9+36 25 5
【解析】由题意，在△ABD中，由余弦定理，cos ADB = = = ；因为 ADB (0,π)，
2AD BD 2 3 6 9
5 2 14 AC AD
所以sin ADB = 1 cos2 ADB = 1 ( )2 = ，在 ACD中，由正弦定理 = ,所以
9 9 sin ADB sin ACD
4 3
= 14
2 14 sin ACD ，解得sin ACD = ,
6
9
△
8.已知 为△ 内一点，且满足3 + 4 + 5 = 2 + 3 + ，则 = △
2 1 3 3
A. B. C. D.
5 4 4 5
【解析】答案：B
原式化为3 + 4 + 5 = 2( ) + 3( ) + ( )，即4 + 5 + 3 = 0
4 5 3 4 5 3
方法 1：原式继续化为4 + 5 = 3 ，即 + = ，延长 至 H 点，令 = + = ，
9 9 9 9 9 9
1
即 ， ， 三点共线，则 △ = = 。
△ 4
△ 3 1方法 2：由奔驰定理， : : = 4: 5: 3，故 = = △ 4+5+3 4
9.已知复数 1 = 1 + ， 2 = 3 + 3 ，则下列说法正确的是（ ）
A.| 1 + 2| = 16 B. 1 2对应的点在复平面的第三象限
C. 1 2为纯虚数 D.
1 ∈
2
高一下期考数学试卷答案第2页（共 12 页）
{#{QQABAYgAogAIQIAAAAgCAQkoCAEQkBCAAYgOxAAIMAIAAAFABAA=}#}
【解析】答案：BCD
A.| 1 + 2| = |4 + 4 | = 4√2，错误
B. 1 2 = 2 2 ，对应的点在复平面的第三象限，正确
C. 1 2 = (1 + )(3 + 3 ) = 6 ，为纯虚数，正确
1 1+ 1D. = = ∈ ，正确
2 3+3 3
10．在平行四边形 中， = 4, = 2,∠ = 60°, 是 的中点，则（ ）
A．
1
= + B．| | = 12
2
C．
1
= 6 D． 在 上的投影向量为
2
【答案】AC
【详解】
如图，设 = , = ,则| | = 4, | | = 2, = 4 × 2 × cos60 = 4,
对于 A 项， = + =
1 1
+ = + ,故 A 项正确；
2 2
1对于 B 项，由 A 项可得， = + ，两边取平方，
2
|
1 1 1
|2 = ( + )2 = 2 + + 2 = × 16 + 4 + 4 = 12，则| | = 2√3，故 B 项错误；
2 4 4
1
对于 C 项，因 = + ， = + ，
2
1 1 1 1 1
则 = ( + ) ( + ) = 2 + 2 = × 16 × 4 + 4 = 6,故 C 项正确；
2 2 2 2 2
4 1
对于 D 项， 在 上的投影向量为 = = ,故 D 项错误.
| |2 16 4
故选：AC.
11.某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校 2400 名学生中
抽取了一个容量为 200 的样本，已知样本的成绩全部分布在区间[45,95]内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布
直方图。对于该组数据，下列说法正确的是
高一下期考数学试卷答案第3页（共 12 页）
{#{QQABAYgAogAIQIAAAAgCAQkoCAEQkBCAAYgOxAAIMAIAAAFABAA=}#}
A.样本的众数为 70
B.样本中得分在区间[75,85)内的学生人数的频率为 0.03
C.用样本数据估计该校学生成绩在 80 分以上的人数约为 600 人
D.用样本数据估计该校学生成绩平均数约为 71.5
【解析】答案：ACD
A.众数为区间[65,75)的中点横坐标 70，正确
B.10 × (0.010 + 0.015 + 0.035 + + 0.010) = 1，即 = 0.03，频率为 0.3
C.样本中成绩在 80 分以上的频率为0.03 × 5 + 0.010 × 10 = 0.25，用样本估计总体，总体人数为 2400 人，其中成
绩在 80 分以上的人数约为2400 × 0.25 = 600，正确
D.样本平均数为0.01 × 50 + 0.15 × 60 + 0.35 × 70 + 0.3 × 80 + 0.1 × 90 = 71.5，正确
12.如图所示，正四棱台 1 1 1 1中， = 2 1 1 = 2 1 = 12，点 在四边形 内，点 是 上靠近
点 的三等分点，则下列说法正确的是（ ）
A． 1 ⊥平面 1
B．该正四棱台的高为3√3
C．若 1 = 3√6，则动点 P 的轨迹长度是10
D．过点 的平面 与平面 1 平行，则平面 截该正四棱台所得截面多边形的面积为16√2
【答案】AD
2+ 2 2 2+ 2 2
【详解】对于 A 选项，因为 1 1 ∥ ，所以∠ 1 = ∠ 1 1 ，由余弦定理可知
1 1 = 1 1 1 1 ，
2 1 2 1 1 1
62+ 2 32 321 +
2 32
= 1 ，解得 = 6√3，所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，同理可得 ⊥ ，又因为
12 6 1 1 1 1 1 1 11 1
1 ∩ 1 = 1， 1 、 1 平面 1 ，所以 1 ⊥平面 1 ，故A正确；对于 B 选项，如图①所示，过点 1作
1 ⊥ ，垂足为 ，则四棱台的高为 1 ，因为 1 1 = 6√2， = 12√2，所以 = 3√2，
所以 1 = √
2 2
1 = 3√2，故 B 错误；对于 C 选项，由勾股定理得 = √ 1 2 21 = 6，故点 的轨迹
为以 为圆心，以 6 为半径的圆在正方形内部的部分，如图②，其中 = = 3，故 = = 9，又 = = 6，
5
由勾股定理得 = = 3√3，由于 = = √3，所以∠ = ∠ = ，故∠ = ，故动点 的轨迹长度是
3 6
5
× 6 = 5 ，故 C 错误；对于 D 选项，如图①，分别在棱 ， 1上取点 ， ，使得 : = : 1 = 2: 1，6
易得平面 ∥平面 1 ，所以△ 即为平面 截该四棱台所得截面多边形，易知 1 = 1 = 6√3，所以 =
2 2
= 1 = 4√3， = = 8√2，所以截面多边形的面积为8√2，故 D 正确，故选：AD. 3 3
图①： 图②：
高一下期考数学试卷答案第4页（共 12 页）
{#{QQABAYgAogAIQIAAAAgCAQkoCAEQkBCAAYgOxAAIMAIAAAFABAA=}#}
13．已知向量 = (1, )， = (4, )，若 ⊥ ，则 =______
【解析】答案：2或 2
⊥ ，则 = 1 4 + ( ) = 2 4 = 0，则 = 2或 2
14．3 + 是关于 x 的方程 2 6 + = 0的一个根，则实数 = ．
【解析】答案：10
若一元二次方程存在虚数根，则该方程的两个根为共轭复数，即 1 = 3 + ， 2 = 3 为该方程的两根，由韦达定
理， = (3 + )(3 ) = 10
1
15．对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样。已知抽取女生 30 人，其平均数和方差分别为
= 52， 21 = 13；抽取男生 20 人，其平均数和方差分别为 = 57，
2
2 = 11，则总样本平均数为______；总样本的
方差为______
91
【解析】答案：54； （小数形式 18.2 也正确）
5
2 30 20设 ， 分别为总样本均值和方差， = + = 54
50 50
2 30 20 91 = [13 + (52 54)2] + [11 + (57 54)2] = = 18.2
50 50 5
16．在三棱锥 中， ⊥平面 ， = 1， = 1， = √2， = √3，设三棱锥 外接球体积
为 ，则 =____________
【解析】答案：4√2
由于AC2 = AB2 + BC2，故∠ABC = 90°。将三棱锥P ABC补形为边长分别为 1，1，√2的长方体，则其外接球半
1 2 4 4π √2
径R = √12 + 12 + √2 = 1，V = πR3 = ，V
2 3 3 P ABC
= ，故 = 4√2
6
17．△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 cos = cos .
(1)证明：△ 为等腰三角形
12
(2) 若 = 5，cos = ，求△ 的面积．
13
【详解】（1）因为acosB = bcosA，由正弦定理，所以sinAcosB = cosAsinB ·································· （1 分）
则 sin (A B) = 0 . ·············································································································· （2 分）
= 0 或 = ，
又 A, B (0, )，所以 A B ， ···················································································· （3 分）
故 A B = 0，即 A= B ······································································································· （4 分）
.△ 为等腰三角形 ········································································································ （5 分）
（2）由 A=B，则 =
高一下期考数学试卷答案第5页（共 12 页）
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2+ 2 2 2 2 25 12
cos = = = ， ·························································································· （6 分）
2 2 2 13
即 2
325
= ， ··················································································································· （7 分）
2
sin = √1 cos2
5
= ··································································································· （8 分）
13
1
△ = sin ··········································································································· （9 分） 2
1 2 125= sin = ············································································································ （10 分）
2 4
18．为备战运动会，射击队的甲、乙两位射击运动员开展了队内对抗赛。在对抗赛中两人各射靶 10 次，每次命中
的成绩（环数）如下：
甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10
乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8
(1)求甲运动员的样本数据第 85 百分位数；
(2)分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差；
(3)射击队教练希望利用此次射击成绩为依据，挑选一名运动员参加运动会，请你帮助教练分析两个运动员的成绩，
作出判断并说明理由。
1
注：一组数据 x1, x2 , , xn 的平均数为 x ，它的方差为
2 = [( )2 + ( )2 + + ( )2]
1 2
【详解】（1）根据题意可知，；
把甲的数据按从小到大排列如下：
4 4 5 6 7 7 8 9 10 10 ···························································································· （1 分）
因为 85% 10=8.5 ············································································································· （2 分）
所以第 9 个数据是第 85 百分位数， ····················································································· （3 分）
所以第 85 百分位数为 10. ································································································· （4 分）
1
（2） = (甲 4 + 4 + 5 + 6 + 7 + 7 + 8 + 9 + 10 + 10) = 7 ····················································· （5 分） 10
··········································································· （6 分） 1
x = （5+ 6+ 6+ 7+ 7+ 7+ 7+8+8+9）= 7
乙
10
2 1 = [(7 7)2 × 2 + (8 7)2 + (6 7)2 + (10 7)2 × 2 + (5 7)2 + (4 7)2 × 2 + (9 7)2] = 4.6 （8甲 分） 10
2 1s = （ 乙 5 7)
2 + (6 7)2 2+ (7 7)2 4+ (8 7)2 2+ (9 7)2 =1.2 . ············································ （10 分） 10
2 2
（3）由（2）知， s甲＞s乙， = x x
甲 乙
高一下期考数学试卷答案第6页（共 12 页）
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平均数 方差 命中9环及9环以上的次数
甲 7 4.6 3
乙 7 1.2 1
(i)因为两名运动员射击成绩的平均数相同，且 2 > 2 ，则乙的成绩比甲稳定；
甲 乙
(ii)因为两名运动员射击成绩的平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙多，所以，甲爆发力更强.
(iii)乙成绩在平均数上下波动；而甲处于上升势头，从第六次以后就没有比乙少的情况发生，甲更有潜力.
确定人选（11 分），说出理由（12 分），言之有理即可
19.如图，在三棱柱 1 1 1中， ， ， ， 分别是 ， ， 1 1， 1 1的中点．求证：
(1)证明： ， ， ， 四点共面；直线 1 ，直线 ，直线 三线共点
(2)平面 1//平面 .
【详解】（1）∵G，H 分别是 A1B1，A1C1的中点
∴GH 是△A1B1C1的中位线，∴GH / / B1C1
又在三棱柱 ABC－A1B1C1中，B1C1 / / BC ···················································· （1 分）
∴由平行的传递性，GH / / BC， ·························································································· （2 分）
∴B，C，H，G 四点共面． ································································································ （3 分）
设 = ∩ ，下证 ∈ 1 ···························································································· （4 分）
∵ 平面 1 1 ， 平面 1 1
∴ ∈ 平面 1 1 ， ∈ 平面 1 1 ·················································································· （5 分）
∵ 1 = 平面 1 1 ∩平面 1 1 ··················································································· （6 分）
∴ ∈ 1，即 1， ， 三线共点 ·················································································· （7 分）
（2）∵E，F 分别为 AB，AC 的中点，
∴ // ， ···················································································································· （8 分）
∵EF 平面 BCHG，BC 平面 BCHG，
∴EF / / 平面 BCHG， ········································································································ （9 分）
∵在三棱柱 ABC－A1B1C1中， A1B1 / /AB， A1B1 = AB ，
1 1
∴A1G / / EB， A1G = A1B1 = AB = EB ，
2 2
∴四边形 A1EBG 是平行四边形，∴A1E / / GB， ······································································ （10 分）
∵ A1E 平面 BCHG，GB 平面 BCHG，
∴A1E / / 平面 BCHG， ······································································································· （11 分）
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面 EFA1，
高一下期考数学试卷答案第7页（共 12 页）
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∴平面 EFA1 / / 平面 BCHG. ······························································································· （12 分）
20.一个不透明的袋中有 3 个红球，1 个白球，球除了颜色外大小、质地均一致。设计了两个摸球游戏，其规则如下
表所示
游戏 1 游戏 2
摸球方式 不放回依次摸 2 球 有放回依次摸 2 球
若摸出的 2 球颜色相同，则甲获胜
获胜规则
若摸出的 2 球颜色不同，则乙获胜
(1)写出游戏 1 与游戏 2 的样本空间；求出在游戏 1 与游戏 2 中甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的。
(2) 甲与乙两人玩游戏 2，约定每局胜利的人得 2 分，否则得 0 分，先得到 4 分的人获得比赛胜利，则游戏结束。
每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率。
【解析】
(1)记三个红球为 1，2，3 号，记白球为 号，用( , )表示两次摸球的情况，记游戏 1 与游戏 2 的样本空间分别为Ω1，
Ω2 ································································································································· （1 分）
Ω1 = {(1,2), (1,3), (1, ), Ω2 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1, )
Ω1 = (2,1), (2,3), (2, ), Ω2 = (2,1), (2,2), (2,3), (2, ),
Ω1 = (3,1), (3,2), (3, ) Ω2 = (3,1), (3,2), (3,3), (3, ),
Ω1 = ( , 1), ( , 2), ( , 3)} Ω2 = ( , 1), ( , 2), ( , 3), ( , )}
···································································································································· （2 分）
记 1 =“在游戏 1 中甲获胜”，记 2 =“在游戏 2 中甲获胜”
1 = {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)}
2 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), ( , )} ············································· （3 分）
( ) 6 1
( 11) = = = ， ···································································································· （4 分） (Ω1) 12 2
( ) 10 5
( 2) =
2 = = ， ···································································································· （5 分）
(Ω2) 16 8
故游戏 1 是公平的。 ········································································································· （6 分）
(2)记 =“甲获得第 局游戏胜利”, = 1，2，3，记 =”“甲获得比赛胜利” ···························· （7 分）
5 3
由(1)， ( ) = ， ( ) = ， = 1，2，3 ··········································································· （8 分） 8 8
( ) = ( 1 2 ∪ 1 2 3 ∪ 1 2 3) = ( 1 2) + ( 1 2 3) + ( 1 2 3)
( ) = ( 1) ( 1) + ( 1) ( 2) ( 3) + ( 1) ( 2) ( 3) ··················································· （10 分）
5 5 3 5 5 5 3 5 175
( ) = + + = ··················································································· （12 分）
8 8 8 8 8 8 8 8 256
21.四棱锥 － 中， ⊥平面 ，四边形 为菱形，∠ = 60°， = = 2， 为 的中点．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)求 与平面 所成的角的正切值；
(3)求钝二面角 的余弦值．
高一下期考数学试卷答案第8页（共 12 页）
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【解析】(1)证明：∵四边形 ABCD 为菱形，∴DA=DC，
∵∠ADC=60°，∴△ADC 为等边三角形，∴CA=CD，
在△ADC 中，E 是 AD 中点，∴CE⊥AD， ········································································ （1 分）
∵PA⊥平面 ABCD，CE 平面 ABCD，∴CE⊥PA， ····························································· （2 分）
∵PA∩AD=A，PA 平面 PAD，AD 平面 PAD，
∴EC⊥平面 PAD， ······································································································· （3 分）
∵CE 平面 PCE，∴平面 PCE⊥平面 PAD． ······································································ （4 分）
(2)解：∵EC⊥平面 PAD，∴斜线 PC 在平面内的射影为 PE，
即∠CPE 是 PC 与平面 PAD 所成角的平面角， ··································································· （5 分）
∵PA⊥平面 ABCD，AD 平面 ABCD，∴PA⊥AD，
在 Rt△PAE 中，PE= √ 2 + 2 = √5，在 Rt△CED 中，CE= √ 2 2 = √3，
∵EC⊥平面 PAD，PE 平面 PAD，∴EC⊥PE，
√15
在 Rt△CEP 中，tan∠CPE= = ， ············································································· （6 分）
5
√15
∴PC 与平面 PAD 所成角的正切值为 ．·········································································· （7 分）
5
(3)作 BC 中点 M，以 A 为原点，AM 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴建系
B(√3,-1,0)，C(√3,1,0)，E(0,1,0)，P(0,0,2)
=(√3,-1,-2)， =(√3,1,-2)， =(0,1,-2) ········································································ （8 分）
设 =( 1, 1, 1)， =( 2, 2, 2)分别为平面 PCB，平面 PCE 法向量
{
= 0 √3 2 = 0，即{ 1 1 1 ，即 = (2,0, √3) ······················································· （9 分）
= 0 √3 1 + 1 2 1 = 0
= 0 2 2 1 = 0{ ，即{ ，即 = (0,2,1) ··························································· （10 分）
= 0 √3 2 + 2 2 2 = 0
高一下期考数学试卷答案第9页（共 12 页）
{#{QQABAYgAogAIQIAAAAgCAQkoCAEQkBCAAYgOxAAIMAIAAAFABAA=}#}
√105
cos < , >= = ， ·························································································· （11 分）
| || | 35
√105
则钝二面角 的余弦值为 ··········································································· （12 分）
35
其他建系方法(i)：作 CD 中点 N，以 AB 为 x 轴，AN 为 y 轴，AP 为 z 轴建系
1 √3
B(2,0,0)，C(1,√3,0)，E( , ,0)，P(0,0,2)
2 2
1 √3 =(2,0-2)， =(1,√3,-2)， =( , ,-2)
2 2
√3
平面 PCB 法向量 = (1, , 1)，平面 PCE 法向量 = ( 1,√3, 1)
3
其他建系方法(ii)：作 AC 中点 O，以 OB 为 x 轴，OC 为 y 轴建系
√3 1
B(√3,0,0)，C(0,1 ,0)，E( , ,0)，P(0,-1,2)
2 2
√3 1
=(√3, 1,-2)， =(0,2,-2)， =( , ,-2)
2 2
平面 PCB 法向量 = (1, √3, √3)，平面 PCE 法向量 = (√3, 1, 1)
22.在△ 中，内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c，且sin 2 = sin (cos + cos )．
(1)求角 B 的大小；
(2)点 D是 AC 上的一点， ABD = CBD，且BD =1，求△ 周长的最小值．
（1）由二倍角公式得，2sinBcosB=sinA(cosC+ cosA) ····························································· （1 分）
故由正弦定理得 2b cosB=a cosC+c cosA，2sinB cosB=sinAcosC+sinC cosA=sinB， ·························· （2 分）
而B (0,π), sin B 0， ···································································································· （3 分）
1
故 cos B = ， ·················································································································· （4 分）
2
π
则 B = ； ······················································································································· （5 分）
3
高一下期考数学试卷答案第10页（共 12 页）
{#{QQABAYgAogAIQIAAAAgCAQkoCAEQkBCAAYgOxAAIMAIAAAFABAA=}#}
5
（2）法 1：设 = 1， = 2，设∠ = ，则 ∈ ( , ) ················································· （6 分） 6 6
1 1
在△ 中， 1 = =
1 2 sin
sin 5 = = sin( )，即 1 ，
2 6 √3sin +cos √3 sin +cos
2 1 1 2sin
在△ 中， 1 = =sin( ) sin( )，即 2 = ， = ·································· （8 分）
2 6 √3 sin cos √3 sin cos
1 1 2√3(2sin2 +sin )
周长 = 1 + 2 + + = (2 sin + 1) ( + ) = ······················ （9 分） √3 sin +cos √3 sin cos 4 sin2 1
1 1
1 2
令 = sin ∈ ( , 1]，则 2√3(2
2+ ) 2√3(2 + + )2 2 √3(2 +1)
2 = = = √3 +4 2 1 4 2 1 4 2 1
√3(2 +1) √3
= √3 + = √3 + ∈ [2√3,+∞) ····································································· （11 分）
2 (2 +1) (2 +1) 2 1
即周长最小值为[2√3,+∞) ································································································ （12 分）
π
法 2：由于 ABD = CBD，则 ABD = CBD = ，
6
AD c
在△ABD中， = ；
sin ABD sin ADB
CD a
在△BCD中， = ；
sin CBD sin BDC
c a
而sin ADB = sin CDB，故 = ，设 ，
AD CD c a a + c= = = t
AD CD AD +CD
a + c b
则b = AD +CD = ，即 t 1，
t t
2 2 2 2 2 2 1 2
在 ABC中，b = a + c 2ac cos B = a + c ac = (a + c) 3ac (a + c) ，
4
a + c bt
即b = ，于是 t 2，故1 t 2，
2 2
2 2
c a
分别在 ABD, CBD利用余弦定理得 AD2 = c2 +1 3c = , DC
2 = a2 +1 3a = ，
t t
2 2
两式相减得a2 c2
a c
+ 3 (c a) = ，
t2
高一下期考数学试卷答案第11页（共 12 页）
{#{QQABAYgAogAIQIAAAAgCAQkoCAEQkBCAAYgOxAAIMAIAAAFABAA=}#}
1
3 = 2 3
当a = c 时，上式恒成立，此时 ABC为正三角形，周长为 π ；
sin
3
3t2 3t
当 a c时，a + c = ，于是b = ，
t2 1 t 2 1
3t2 + 3t 3t 3
故 a +b+ c = = = 3 + ，
t2 1 t 1 t 1
3
由于1 t 2，故当 t = 2时， 3 + 取最小值2 3，故 ABC周长的最小值为2 3 .
t 1
高一下期考数学试卷答案第12页（共 12 页）
{#{QQABAYgAogAIQIAAAAgCAQkoCAEQkBCAAYgOxAAIMAIAAAFABAA=}#}南宁二中2023-2024学年度下学期高一期末考试
数学
(时间120分钟，共150分)
一、单远题（共8小题，每小慰5分，共40分，每小题仅有一个正确选项）
1.已知复数缸=2竿，则2的虚部为（)
A.-1
B.1
C.-2
D.2
2.下列各组向量中，可以作为基底的是()
A.E=(0,0),=(1,2)
B.可=(-1,2)，=(5,7)
C.g=(3,5),2=(6,10)
D.=(2,-3),E=（-6,9)
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（)
A.贯
B日
c.8
D.
4.已知数据x1,2,3,x8的平均数元=10，方差s子=10，则3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,38+2
的平均数和方差s好分别为()
A.=32,s子=90
B.=32,s3=92
C.y=30,s3=90
D.夕=30，s3=92
5.设a、B为不重合的两平面，n、m为不重合的两直线，则下列说法正确的是()
A.m/a,n/a,且m,ncB,则B/a
B.m/a,m⊥n,则n⊥a
C.m⊥a,a⊥B,则m/B
D.m山a,mnn=P,则n与a不垂直
6.已知样本空间1=1,2,3,4,5,6,7,8，事件A=1,2,3,4,事件B=1,2,5,6,事件C={3,4,5,6,则下列
选项错误的是（)
A.A与B独立
B.B与C独立
C.A与C独立
D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
7.冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化
风格融为一体，呈现出中因在新时代的新形象、新梦想。某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画
笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150等特殊角度.为了判
断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD.如图，测得AB=5,
BD-6,AC4,AD-3,若点C恰好在边BD上，则sin ACD的值为(·)
B.
C.
D.
高一下期考数学试卷第1页（共4页）
8.已知0为△ABC内一点，且满足307+40厉+50元=2A正+3BC+CA,则o1=（·)
SAABC
A.月
B.
c.
D.}
二、多进题（共4小恩，每小愿5分，共20分，每小题有多个正确选项，全部进对得5分，部分选对得
2分，有选错或不选得0分)，
9.已知复数21=1+i,z2=3+31,则下列说法正确的是（)
A.l31+z2l=16
B.31一22对应的点在复平面的第三象限
C.z1z2为纯虚数
D.经eR
10.在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,∠BAD=60°，E是CD的中点，则()
A.A正=丽+而
B.A正1=12
C.A正.BD=-6
D.AD在A正上的投影向盘为AB
11.某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识萃握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400
名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间〔45,95]内，根据调查结果绘
制学生成绩的频率分布直方图。对于该组数据，下列说法正确的是（)
频
组距
A.样本的众数为70
0.035
B.样本中得分在区间[75,85)内的学生人数的频率为0.03
C.用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人
0.015
0.010
D.用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5
0455565758595得分
12.如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A1B1=2AA1=12,点P在四边形ABCD内，点E
是AD上靠近点A的三等分点，则下列说法正确的是()
A.AA1⊥平面A1BD
B.该正四棱台的高为3V3
C.若A1P=3V6,则动点P的轨迹长度是10π
D.过点E的平面a与平面DAC平行，则平面a截该正四棱台所得截面
多边形的面积为16√2
三、填空题（每小题5分，共20分）.
13.已知向量à=(1，x),6=(4,-x),若a1i,则x=▲
14.3+是关于x的方程x2-6x+m=0的一个根，则实数m=_▲
15,对某校学生体重进行调查，样本采用按男女比例分配的分层抽样，已知抽取女生30人，其平均数和方
差分别为？=52，s子=13：抽取男生20人，其平均数和方差分别为=57，s经=11，则总样本平均
数为▲；总样本的方差为▲一
16.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,BC=V2,AC=V3,设三棱锥P-ABC外接
球体积为，则，=人
高一下期考数学试卷第2页（共4页）
