【基础版】北师大版数学九上 1.1菱形的性质与判定 同步练习
一、选择题
1．（2019九上·贵阳期末）如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（ ）
A．2 B．3.5 C．7 D．14
【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD为菱形，∴AB 28=7，且O为BD的中点．
∵E为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE AB=3.5．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的四边相等、对角线互相平分，可得AB=7，OB=OD，利用三角形的中位线平行且等于第三边的一半，可求出OE的长.
2．（2020九上·昌图期末）下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（ ）
A．对角线垂直 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
B、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意；
C、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
D、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据菱形和平行四边形的性质对每个选项一一判断即可。
3．（2023九上·保定开学考）如图，已知菱形的周长为，，则对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为8
∴ AB=AD=2
∵ ∠A=60°
∴为等边三角形
∴ BD=2
故答案为：C.
【分析】本题考查菱形的性质和等边三角形的判定。根据菱形的周长和性质可知AB=AD=2，结合∠A=60°可得等边三角形，可得BD。
4．（2024九上·清城期末）菱形的面积为，一条对角线长是，那么菱形的另一条对角线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质
5．（2023九上·揭西开学考）如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是 1，则顶点A坐标是
A．（2，1） B．（1， 2） C．（1，2） D．（2，-1）
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；菱形的判定与性质
6．（2023九上·揭西开学考）如图，要使平行四边形变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
那么可添加的条件是：．
故答案为：A
【分析】根据菱形的判定定理即可求出答案.
7．（2023九上·市南区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，着EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．28
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、F分别是AB、BC边上的中点
∴EF是△ABC的中位线，AC=2EF=；
在菱形ABCD中，AC、BD互相垂直平分，
∴AO=AC=，BO=BD=2；
在直角三角形ABO中有，
；
∴菱形ABCD的周长为.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质，确定对角线互相平分垂直，而E、F分别是AB、BC边上的中点即可确定EF是△ABC的中位线，由此可得出对角线的长度，那么就可以在直角三角形ABO中用勾股定理求出菱形一边的长度，进而求出菱形的周长。
8．（2023九上·青秀月考）如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
二、填空题
9．（2024八下·陆河期中）如图，四边形是菱形，，于点，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
10．（2024九上·涪城开学考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中BD=7，AC=4，则菱形ABCD的面积为 .
【答案】14
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BD=7，AC=4，
∴ 菱形ABCD的面积为：，
故答案为：14.
【分析】结合图形，利用菱形的面积公式计算求解即可。
11．（2023九上·揭西开学考）如图，在菱形中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接，，交于点O，则图中的菱形共有 个．
【答案】5
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
12．（2023九上·邛崃月考）如图，将两条宽度均为2的纸条相交成30°的角叠放，则重合部分构成的四边形ABCD的面积为
【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】
解：过点A作AEBC于E，AELCD于F如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴ AE= AF，
∵ABIICD， AD1IBC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABC = 30°，
∵S ABCD = BC. AE= CD. AF，
又∵AE= AF，
∴BC = CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC，
在Rt△AEB中，∠.AEB = 90°，
∠ABC= 30°， AE= 2，
∴BC = AB= 2AE= 4，
∴四边形ABCD的面积= BC·AE=4x2=8，
故答案为：8.
【分析】先可判断重叠部分为平行四边形，再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形，然后由含30°角的直角三角形的性质求出BC=AB=4，最后根据平行四边形的面积公式求得即可.
13．（2023九上·肇源月考）如右图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为 .
【答案】30°或60°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：矩形展开图和折痕如下：
①设α=∠ABD，
由题意可知，∠ABC=60°；
∵四边形ABCD是菱形
∴∠ABD=∠CBD==30°，即α=30°；
②设α=∠BAC，
∵四边形ABCD是菱形
∴∠BAC=∠DAC==180°-60°=120°
∴α=∠BAC=60°
故答案为：30°和60°.
【分析】根据菱形的对角线平分菱形的对角，可以直接求出α的度数.
三、解答题
14．（2023九上·下陆开学考）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，，于点E
（1）求菱形的面积，
（2）求的长度．
【答案】（1）24
（2）
【知识点】勾股定理；菱形的性质
15．（2021九上·大竹期末）已知：如图，菱形 中，点 ， 分别在 ， 边上， ，连接 ， .求证： .
【答案】证明：连接 ，如图，
四边形 是菱形，
，
在 和 中， ，
(SAS)，
.
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】连接AC，利用菱形的性质可证得∠BAC=∠DAC，利用SAS可证得△AEC≌△AFC，利用全等三角形的对应角相等可证得结论.
16．（2018九上·渠县期中）如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．
求证：EC＝FC．
【答案】证明：∵ 四边形ABCD是菱形∴ BC＝DC ，∠ABC＝∠ADC∴ 180°－∠ABC＝180°－∠ADC，∴ ∠EBC＝∠FDC∴ △EBC≌△FDC∴ EC＝FC
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的性质得出 BC＝DC ，∠ABC＝∠ADC ，根据等角的补角相等得出∠EBC＝∠FDC ，然后利用SAS判断出 △EBC≌△FDC ，根据全等三角形的对应边相等即可得出 EC＝FC。
17．（2020九上·兰州月考）如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，分别以点E，F为圆心，以AF，AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF.
（1）请你判断所画四边形的形状，并说明理由；
（2）若AE＝AF，请判断此四边形的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：根据题意可得：ED＝AF，AE＝DF
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）解：由（1）得：ED＝AF，AE＝DF
∵AE＝AF
∴AE＝AF＝ED＝DF
∴四边形AEDF是菱形.
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据题意得出ED＝AF，AE＝DF，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）由AE＝AF＝ED＝DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得四边形AEDF是菱形.
18．（2022九上·武侯期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，BF交AC于G，连接CF．
（1）求证：EF＝EB；
（2）若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴EF＝EB；
（2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝BD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，
∴AF＝DC，
又AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形；
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】⑴论证两线段EF和EB相等，可以优先考虑两线段所在的三角形全等，由图可知可以论证三角形AEF和三角形DBE全等；点E是BF的中点可知BE等于EF，平行线可以论证角相等，还有对顶角相等，可以找到两三角形全等的条件，再由全等三角形性质可得对应边相等。
⑵、由直角三角形斜边上中线的性质可知AD等于BD等于CD，再由上小题可知AF和BD平行且相等，故AF和CD平行且相等，可以论证四边形ADCF是平行四边形，再加DA等于DC就可以论证四边形ADCF是菱形，（菱形的定义）。
1 / 1【基础版】北师大版数学九上 1.1菱形的性质与判定 同步练习
一、选择题
1．（2019九上·贵阳期末）如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（ ）
A．2 B．3.5 C．7 D．14
2．（2020九上·昌图期末）下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（ ）
A．对角线垂直 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
3．（2023九上·保定开学考）如图，已知菱形的周长为，，则对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·清城期末）菱形的面积为，一条对角线长是，那么菱形的另一条对角线长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·揭西开学考）如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是 1，则顶点A坐标是
A．（2，1） B．（1， 2） C．（1，2） D．（2，-1）
6．（2023九上·揭西开学考）如图，要使平行四边形变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·市南区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，着EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．28
8．（2023九上·青秀月考）如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024八下·陆河期中）如图，四边形是菱形，，于点，则 ．
10．（2024九上·涪城开学考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中BD=7，AC=4，则菱形ABCD的面积为 .
11．（2023九上·揭西开学考）如图，在菱形中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接，，交于点O，则图中的菱形共有 个．
12．（2023九上·邛崃月考）如图，将两条宽度均为2的纸条相交成30°的角叠放，则重合部分构成的四边形ABCD的面积为
13．（2023九上·肇源月考）如右图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为 .
三、解答题
14．（2023九上·下陆开学考）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，，于点E
（1）求菱形的面积，
（2）求的长度．
15．（2021九上·大竹期末）已知：如图，菱形 中，点 ， 分别在 ， 边上， ，连接 ， .求证： .
16．（2018九上·渠县期中）如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．
求证：EC＝FC．
17．（2020九上·兰州月考）如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，分别以点E，F为圆心，以AF，AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF.
（1）请你判断所画四边形的形状，并说明理由；
（2）若AE＝AF，请判断此四边形的形状，并说明理由.
18．（2022九上·武侯期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，BF交AC于G，连接CF．
（1）求证：EF＝EB；
（2）若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD为菱形，∴AB 28=7，且O为BD的中点．
∵E为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE AB=3.5．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的四边相等、对角线互相平分，可得AB=7，OB=OD，利用三角形的中位线平行且等于第三边的一半，可求出OE的长.
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
B、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意；
C、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
D、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据菱形和平行四边形的性质对每个选项一一判断即可。
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为8
∴ AB=AD=2
∵ ∠A=60°
∴为等边三角形
∴ BD=2
故答案为：C.
【分析】本题考查菱形的性质和等边三角形的判定。根据菱形的周长和性质可知AB=AD=2，结合∠A=60°可得等边三角形，可得BD。
4．【答案】D
【知识点】菱形的性质
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；菱形的判定与性质
6．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
那么可添加的条件是：．
故答案为：A
【分析】根据菱形的判定定理即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、F分别是AB、BC边上的中点
∴EF是△ABC的中位线，AC=2EF=；
在菱形ABCD中，AC、BD互相垂直平分，
∴AO=AC=，BO=BD=2；
在直角三角形ABO中有，
；
∴菱形ABCD的周长为.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质，确定对角线互相平分垂直，而E、F分别是AB、BC边上的中点即可确定EF是△ABC的中位线，由此可得出对角线的长度，那么就可以在直角三角形ABO中用勾股定理求出菱形一边的长度，进而求出菱形的周长。
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
9．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
10．【答案】14
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BD=7，AC=4，
∴ 菱形ABCD的面积为：，
故答案为：14.
【分析】结合图形，利用菱形的面积公式计算求解即可。
11．【答案】5
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
12．【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】
解：过点A作AEBC于E，AELCD于F如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴ AE= AF，
∵ABIICD， AD1IBC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABC = 30°，
∵S ABCD = BC. AE= CD. AF，
又∵AE= AF，
∴BC = CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC，
在Rt△AEB中，∠.AEB = 90°，
∠ABC= 30°， AE= 2，
∴BC = AB= 2AE= 4，
∴四边形ABCD的面积= BC·AE=4x2=8，
故答案为：8.
【分析】先可判断重叠部分为平行四边形，再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形，然后由含30°角的直角三角形的性质求出BC=AB=4，最后根据平行四边形的面积公式求得即可.
13．【答案】30°或60°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：矩形展开图和折痕如下：
①设α=∠ABD，
由题意可知，∠ABC=60°；
∵四边形ABCD是菱形
∴∠ABD=∠CBD==30°，即α=30°；
②设α=∠BAC，
∵四边形ABCD是菱形
∴∠BAC=∠DAC==180°-60°=120°
∴α=∠BAC=60°
故答案为：30°和60°.
【分析】根据菱形的对角线平分菱形的对角，可以直接求出α的度数.
14．【答案】（1）24
（2）
【知识点】勾股定理；菱形的性质
15．【答案】证明：连接 ，如图，
四边形 是菱形，
，
在 和 中， ，
(SAS)，
.
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】连接AC，利用菱形的性质可证得∠BAC=∠DAC，利用SAS可证得△AEC≌△AFC，利用全等三角形的对应角相等可证得结论.
16．【答案】证明：∵ 四边形ABCD是菱形∴ BC＝DC ，∠ABC＝∠ADC∴ 180°－∠ABC＝180°－∠ADC，∴ ∠EBC＝∠FDC∴ △EBC≌△FDC∴ EC＝FC
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的性质得出 BC＝DC ，∠ABC＝∠ADC ，根据等角的补角相等得出∠EBC＝∠FDC ，然后利用SAS判断出 △EBC≌△FDC ，根据全等三角形的对应边相等即可得出 EC＝FC。
17．【答案】（1）解：根据题意可得：ED＝AF，AE＝DF
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）解：由（1）得：ED＝AF，AE＝DF
∵AE＝AF
∴AE＝AF＝ED＝DF
∴四边形AEDF是菱形.
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据题意得出ED＝AF，AE＝DF，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）由AE＝AF＝ED＝DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得四边形AEDF是菱形.
18．【答案】（1）证明：∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴EF＝EB；
（2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝BD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，
∴AF＝DC，
又AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形；
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】⑴论证两线段EF和EB相等，可以优先考虑两线段所在的三角形全等，由图可知可以论证三角形AEF和三角形DBE全等；点E是BF的中点可知BE等于EF，平行线可以论证角相等，还有对顶角相等，可以找到两三角形全等的条件，再由全等三角形性质可得对应边相等。
⑵、由直角三角形斜边上中线的性质可知AD等于BD等于CD，再由上小题可知AF和BD平行且相等，故AF和CD平行且相等，可以论证四边形ADCF是平行四边形，再加DA等于DC就可以论证四边形ADCF是菱形，（菱形的定义）。
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