【提升版】北师大版数学九上 1.2矩形的性质与判定 同步练习
一、选择题
1．（2022九上·碑林月考）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴，EH=BD， EF=AC，
∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故答案为：D.
【分析】由题意可得GH为△ACD的中位线，EF为△ABC的中位线，EH为△ABD的中位线，GF为△BCD的中位线，则EH∥GF∥BD，HG∥EF∥AC，EH=GF=BD，HG=EF=AC，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EFGH一定是平行四边形；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形；有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此即可一一判断得出答案.
2．（2023九上·滕州月考）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是正方形 D．当时，它是矩形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，∴当AB=BC时，平行四边形ABCD为菱形，A选项正确；
B、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形，B选项正确；
C、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形，C选项错误；
D、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当ABC=90°时，平行四边形ABCD为矩形，D选项正确；
故答案为：C.
【分析】根据题意，由平行四边形的性质、菱形和矩形的判定定理判断得到答案即可。
3．（2023九上·顺德期中）依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，
但不能说明四边形为矩形，故该选项符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
C、∵，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解．
4．（2021九上·毕节月考）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠C=∠A=90°
由折叠的性质可得：C'D=CD=AB；∠C'=∠C=∠A
在△ABE与△C'ED中
∴△ABE≌△C'ED（AAS）
∴DE=BE
设DE=BE=x，则AE=8-x，AB=4，在直角三角形ABE中，
解得x=5
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得AB=CD，∠C=∠A=90°，利用折叠的性质得C'D=CD=AB，∠C'=∠C=∠A；再利用AAS证明△ABE≌△C'ED，利用全等三角形的对应边相等，可证得DE=BE，设DE=BE=x，可表示出AE的长，然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
5．（2023九上·白银期中）如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴
∵BH平分∠ABC，CF平分∠BCD
∴
∴
同理可得：
∴四边形EFGH是矩形
故答案为：B
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据角平分线性质可得，再根据三角形内角和定理可得，同理可得，即可求出答案.
6．（2024九上·涪城开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是 ( )
A．AD=BD B．∠ACD=∠BCD
C．CD⊥AB D．CD=AC
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：A.添加AD=BD，
∵点E，点F分别是AC、BC的中点，AD=BD，
∴ED//BC，DF//AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴选项A符合题意；
B.由∠ACD=∠BCD无法判断四边形DECF是矩形，
∴该选项不符合题意；
C. 由CD⊥AB无法判断四边形DECF是矩形，
∴该选项不符合题意；
D：由CD=AC无法判断四边形DECF是矩形，
∴该选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定与性质以及矩形的判定方法对每个选项逐一判断即可。
7．（2016九上·南充开学考）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM= EF= AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于 ，
∴AM的最小值是 ．
故选D．
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM= EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
8．（2023九上·临川期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝2，∠COB＝60°，BF⊥AC，交AC于点M，交CD于点F，延长FO交AB于点E，则下列结论：①FO＝FC；②四边形EBFD是菱形；③△OBE≌△CBF；④MB＝3．其中结论正确的序号是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = BD ，
∴OA = OC = OD = OB ，
∵
∴是等边三角形，
∴
∵
∴
∴FM是OC的垂直平分线，
∴故①正确；
∵
∴
∴
∵
∵
∴
∵
∴
∵
∴四边形EBFD是菱形，故②正确；
∵
∴③正确；
∵
∴
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定得出△OBC是等边三角形，进而判断①正确；根据 ASA 证明△AOE与△COF 全等，进而判断②正确；根据全等三角形的性质判断③④正确即可．
二、填空题
9．（2023九上·青白江期中）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形AECF是菱形，
∴OA=OC，
∵折叠，
∴BC=OC=OA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，BC=，
∴∠BAC=30°，
∴BC=，
∵AB=6，
∴BC= .
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质和折叠得BC=OC=OA，从而在Rt△ABC中，BC=，得∠BAC=30°，根据含30°角的直角三角形的三边关系即可求解.
10．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是 ．
【答案】4＜a＜5
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴对角线AC= =10，
∵P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），
∴8＜AP＜10，
连接AP，
∵M，N分别是AE、PE的中点，
∴MN是△AEP的中位线，
∴MN=AP，
∴4＜a＜5．
故答案为：4＜a＜5．
【分析】根据矩形的性质求出AC，然后求出AP的取值范围，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP．
11．（2023九上·开州期中）如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AF，AF交BD于点G，
根据折叠的性质可得，BD垂直平分AF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，AE=CE，
∴EG为△ACF的中位线，
∴CF=2EG，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得，BD=10，
∴AE=BE=5，
设EG为m，则BG为5-m，
∴62-（5-m）2=52-m2，
∴m=，
∴CF=2EG=2m=；
故答案为：.
【分析】连接AF，由折叠的性质即可证明EG为△ACF的中位线，结合勾股定理列出方程求解即可。
12．（2023九上·武侯期中）如图，小刘同学在折叠矩形ABCD中发现，当E是AD边的中点时候，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG，交CD于点F．若连接EF，则△EGF≌△EDF，CF＝7，DF＝9，请你帮她算BC的长 ．
【答案】24
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】四边形ABCD是矩形，点E是AD的中点， CF＝7，DF＝9，
AD=BC，AB=CD，∠A=∠C=∠D=90°，
由折叠的性质可得BG=AB=CD=7+9=16，GE=AE，∠BGE=∠A=90°，
GE=DE，∠EGF=∠D=90°，
Rt△ECFRt△EDF(HL)，
GF=DF=9，
BF=16+9=25，
【分析】先利用矩形的性质求得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C=∠D=90°，进一步得到根据折叠的性质可得BG=AB=CD=16，GE=AE，∠BGE=∠A=90°，进一步可得GE=DE，∠EGF=∠D=90°，从而证明Rt△ECFRt△EDF(HL)，利用全等三角形的性质以及勾股定理即可求解.
13．（2023九上·太原月考）如图，在矩形中，，，将其折叠，使边落在对角线上，得到折痕，则点到点的距离为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，由折叠知：AF=AB=1，EF=BE，∠AFE=∠B=90°，
∴∠EFC=90°，
在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，
∴AC==，
∴CF=AC-AF=-1，CE=BC-BE=2-EF，
在Rt△EFC中，EF2+CF2=CE2，即EF2+（-1）2=（2-FE）2，
解得：EF= ，
∴BE=EF=
故答案为：.
【分析】由折叠知AF=AB=1，EF=BE，∠AFE=∠B=90°，利用勾股定理求出AC=，从而得出CF=AC-AF=-1，CE=BC-BE=2-EF，在Rt△EFC中利用勾股定理建立关于EF的方程并解之即可.
三、解答题
14．（2024九上·金沙期末） 如图，过菱形的顶点A作于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）解：∵菱形，
∴，
∵矩形，
∴，
设，则：，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】平行线的判定；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据， 可证得四边形是平行四边形， 再根据， 即可得出平行四边形为矩形；
（2）设，则：，在中，根据， 即可得出， 解方程求解，即可得出CD的长。
15．（2023九上·朝阳期中）如图，矩形的对角线交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴
∵
∴为等边三角形
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴
∴．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分证四边形是平行四边形，根据四边形是矩形可得，根据对角线互相垂直的四边形是菱形求证即可；
（2）根据菱形的性质证为等边三角形，由四边形是矩形，再运用勾股定理求出AC的长度，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
16．（2018九上·西安期中）如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ∴ ME是PC的中位线，NE是PD的中位线， ∴ ME∥PC，EN∥PD， ∴ 四边形PMEN是平行四边形
（2）解：当AP=5时， 在Rt△ PAD和Rt△ PBC中， ， ∴ △ PAD≌ △ PBC， ∴ PD=PC， ∵ M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ∴ NE=PM= PD，ME=PN= PC， ∴ PM=ME=EN=PN， ∴ 四边形PMEN是菱形
（3）解：四边形PMEN可能是矩形． 若四边形PMEN是矩形，则∠ DPC=90°. 设PA=x，PB=10﹣x， DP= ，CP= ． DP2+CP2=DC2 16+x2+16+（10﹣x）2=102 x2﹣10x+16=0 x=2或x=8． 故当AP=2或AP=8时，四边形PMEN是矩形．
【知识点】菱形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据已知易证 ME是△PDC的中位线，NE是△PDC的中位线，就可证得 ME∥PC，EN∥PD ，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证得结论。
（2）当AP=5时，易证AP=BP，利用全等三角形的判定定理，可证得△PAD≌△PBC，就可得出PD=PC，再中点的定义及三角形中位线定理，就可证得PM=ME=EN=PN，然后利用四边相等的四边形是菱形，即可得证。
（3）根据题意可知四边形PMEN可能是矩形，因此可得出∠DPC=90°，设PA=x，可用含x的代数式表示出PB，利用勾股定理求出DP、CP，建立关于x的方程，求出x的值，就可得出结果。
17．（2023九上·芜湖期中）如图，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，点E在AD上，延长DA交GF于点H．
（1）求证：△ABE≌△FEH；
（2）连接BH，若∠EBC＝30°，求∠ABH的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠BAE＝∠D＝90°，
由旋转性质，得：FE＝DC，∠EFH＝∠D＝90°，
∴AB＝FE，∠BAE＝∠EFH，
在矩形BEFG中，GF∥BE，
∴∠AEB＝∠FHE，
在△ABE和△FEH中，
，
∴△ABE≌△FEH（AAS），
（2）解：∵四边形是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠HEB＝∠EBC＝30°，
∵△ABE △FEH，
∴BE＝EH，
∴∠EHB＝∠EBH＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝90°﹣∠EHB＝15°，即∠ABH的度数为15°．
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AB＝DC，∠BAE＝∠D＝90°，再根据旋转的性质可得FE＝DC，∠EFH＝∠D＝90°，则AB＝FE，∠BAE＝∠EFH，根据直线平行性质可得∠AEB＝∠FHE，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得∠HEB＝∠EBC＝30°，再根据全等三角形性质可得BE＝EH，则∠EHB＝∠EBH＝（180°﹣30°）＝75°，再根据∠ABH＝90°﹣∠EHB即可求出答案.
四、实践探究题
18．（2023九上·灵石月考）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：
（1）问题解决：如图，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ；
（2）实践探究：如图，希望小组将矩形沿着点，分别在边，边上所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，
试判断四边形的形状，并说明理由；
求折痕的长．
【答案】（1）3；10
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
由折叠性质可得：，，，
又四边形为矩形，
，
，
，
，
，
四边形为菱形；
连接，
四边形为矩形，
，，，
，
设，则，
由折叠性质可得：，，
，
，
解得，
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：
四边形ABCD为矩形，
∴ AD∥BC， ，，，
，
∵将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，
∴，B'C=BC=8cm
，
，
∴ 设DE=xcm，则EC=（8-x）cm
∴ DE2+DC2=EC2
即x2+42=（8-x）2
解得x=3，
∴ DE=3cm，
【分析】本题考查矩形的性质和折叠性质、勾股定理的计算、菱形的判定。
（1）根据矩形ABCD的性质AD∥BC，可得，根据折叠得，可得AE=EC，利用勾股定理，求出DE长，计算面积即可；
（2） 由折叠性质得，，，根据矩形ABCD的性质得AD∥BC得，则，可证四边形BEDF为菱形； 连接BD ，根据矩形ABCD得，，，，设，则，由折叠性质得，，根据得，则，根据可得EF长.
1 / 1【提升版】北师大版数学九上 1.2矩形的性质与判定 同步练习
一、选择题
1．（2022九上·碑林月考）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
2．（2023九上·滕州月考）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是正方形 D．当时，它是矩形
3．（2023九上·顺德期中）依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021九上·毕节月考）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2023九上·白银期中）如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．（2024九上·涪城开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是 ( )
A．AD=BD B．∠ACD=∠BCD
C．CD⊥AB D．CD=AC
7．（2016九上·南充开学考）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·临川期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝2，∠COB＝60°，BF⊥AC，交AC于点M，交CD于点F，延长FO交AB于点E，则下列结论：①FO＝FC；②四边形EBFD是菱形；③△OBE≌△CBF；④MB＝3．其中结论正确的序号是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①④ D．①②③④
二、填空题
9．（2023九上·青白江期中）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为 ．
10．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是 ．
11．（2023九上·开州期中）如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为 ．
12．（2023九上·武侯期中）如图，小刘同学在折叠矩形ABCD中发现，当E是AD边的中点时候，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG，交CD于点F．若连接EF，则△EGF≌△EDF，CF＝7，DF＝9，请你帮她算BC的长 ．
13．（2023九上·太原月考）如图，在矩形中，，，将其折叠，使边落在对角线上，得到折痕，则点到点的距离为 ．
三、解答题
14．（2024九上·金沙期末） 如图，过菱形的顶点A作于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
15．（2023九上·朝阳期中）如图，矩形的对角线交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
16．（2018九上·西安期中）如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
17．（2023九上·芜湖期中）如图，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，点E在AD上，延长DA交GF于点H．
（1）求证：△ABE≌△FEH；
（2）连接BH，若∠EBC＝30°，求∠ABH的度数．
四、实践探究题
18．（2023九上·灵石月考）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：
（1）问题解决：如图，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ；
（2）实践探究：如图，希望小组将矩形沿着点，分别在边，边上所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，
试判断四边形的形状，并说明理由；
求折痕的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴，EH=BD， EF=AC，
∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故答案为：D.
【分析】由题意可得GH为△ACD的中位线，EF为△ABC的中位线，EH为△ABD的中位线，GF为△BCD的中位线，则EH∥GF∥BD，HG∥EF∥AC，EH=GF=BD，HG=EF=AC，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EFGH一定是平行四边形；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形；有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此即可一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，∴当AB=BC时，平行四边形ABCD为菱形，A选项正确；
B、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形，B选项正确；
C、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形，C选项错误；
D、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当ABC=90°时，平行四边形ABCD为矩形，D选项正确；
故答案为：C.
【分析】根据题意，由平行四边形的性质、菱形和矩形的判定定理判断得到答案即可。
3．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，
但不能说明四边形为矩形，故该选项符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
C、∵，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠C=∠A=90°
由折叠的性质可得：C'D=CD=AB；∠C'=∠C=∠A
在△ABE与△C'ED中
∴△ABE≌△C'ED（AAS）
∴DE=BE
设DE=BE=x，则AE=8-x，AB=4，在直角三角形ABE中，
解得x=5
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得AB=CD，∠C=∠A=90°，利用折叠的性质得C'D=CD=AB，∠C'=∠C=∠A；再利用AAS证明△ABE≌△C'ED，利用全等三角形的对应边相等，可证得DE=BE，设DE=BE=x，可表示出AE的长，然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴
∵BH平分∠ABC，CF平分∠BCD
∴
∴
同理可得：
∴四边形EFGH是矩形
故答案为：B
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据角平分线性质可得，再根据三角形内角和定理可得，同理可得，即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：A.添加AD=BD，
∵点E，点F分别是AC、BC的中点，AD=BD，
∴ED//BC，DF//AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴选项A符合题意；
B.由∠ACD=∠BCD无法判断四边形DECF是矩形，
∴该选项不符合题意；
C. 由CD⊥AB无法判断四边形DECF是矩形，
∴该选项不符合题意；
D：由CD=AC无法判断四边形DECF是矩形，
∴该选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定与性质以及矩形的判定方法对每个选项逐一判断即可。
7．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM= EF= AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于 ，
∴AM的最小值是 ．
故选D．
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM= EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = BD ，
∴OA = OC = OD = OB ，
∵
∴是等边三角形，
∴
∵
∴
∴FM是OC的垂直平分线，
∴故①正确；
∵
∴
∴
∵
∵
∴
∵
∴
∵
∴四边形EBFD是菱形，故②正确；
∵
∴③正确；
∵
∴
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定得出△OBC是等边三角形，进而判断①正确；根据 ASA 证明△AOE与△COF 全等，进而判断②正确；根据全等三角形的性质判断③④正确即可．
9．【答案】
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形AECF是菱形，
∴OA=OC，
∵折叠，
∴BC=OC=OA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，BC=，
∴∠BAC=30°，
∴BC=，
∵AB=6，
∴BC= .
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质和折叠得BC=OC=OA，从而在Rt△ABC中，BC=，得∠BAC=30°，根据含30°角的直角三角形的三边关系即可求解.
10．【答案】4＜a＜5
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴对角线AC= =10，
∵P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），
∴8＜AP＜10，
连接AP，
∵M，N分别是AE、PE的中点，
∴MN是△AEP的中位线，
∴MN=AP，
∴4＜a＜5．
故答案为：4＜a＜5．
【分析】根据矩形的性质求出AC，然后求出AP的取值范围，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP．
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AF，AF交BD于点G，
根据折叠的性质可得，BD垂直平分AF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，AE=CE，
∴EG为△ACF的中位线，
∴CF=2EG，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得，BD=10，
∴AE=BE=5，
设EG为m，则BG为5-m，
∴62-（5-m）2=52-m2，
∴m=，
∴CF=2EG=2m=；
故答案为：.
【分析】连接AF，由折叠的性质即可证明EG为△ACF的中位线，结合勾股定理列出方程求解即可。
12．【答案】24
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】四边形ABCD是矩形，点E是AD的中点， CF＝7，DF＝9，
AD=BC，AB=CD，∠A=∠C=∠D=90°，
由折叠的性质可得BG=AB=CD=7+9=16，GE=AE，∠BGE=∠A=90°，
GE=DE，∠EGF=∠D=90°，
Rt△ECFRt△EDF(HL)，
GF=DF=9，
BF=16+9=25，
【分析】先利用矩形的性质求得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C=∠D=90°，进一步得到根据折叠的性质可得BG=AB=CD=16，GE=AE，∠BGE=∠A=90°，进一步可得GE=DE，∠EGF=∠D=90°，从而证明Rt△ECFRt△EDF(HL)，利用全等三角形的性质以及勾股定理即可求解.
13．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，由折叠知：AF=AB=1，EF=BE，∠AFE=∠B=90°，
∴∠EFC=90°，
在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，
∴AC==，
∴CF=AC-AF=-1，CE=BC-BE=2-EF，
在Rt△EFC中，EF2+CF2=CE2，即EF2+（-1）2=（2-FE）2，
解得：EF= ，
∴BE=EF=
故答案为：.
【分析】由折叠知AF=AB=1，EF=BE，∠AFE=∠B=90°，利用勾股定理求出AC=，从而得出CF=AC-AF=-1，CE=BC-BE=2-EF，在Rt△EFC中利用勾股定理建立关于EF的方程并解之即可.
14．【答案】（1）证明：∵菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）解：∵菱形，
∴，
∵矩形，
∴，
设，则：，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】平行线的判定；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据， 可证得四边形是平行四边形， 再根据， 即可得出平行四边形为矩形；
（2）设，则：，在中，根据， 即可得出， 解方程求解，即可得出CD的长。
15．【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴
∵
∴为等边三角形
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴
∴．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分证四边形是平行四边形，根据四边形是矩形可得，根据对角线互相垂直的四边形是菱形求证即可；
（2）根据菱形的性质证为等边三角形，由四边形是矩形，再运用勾股定理求出AC的长度，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
16．【答案】（1）解：∵ M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ∴ ME是PC的中位线，NE是PD的中位线， ∴ ME∥PC，EN∥PD， ∴ 四边形PMEN是平行四边形
（2）解：当AP=5时， 在Rt△ PAD和Rt△ PBC中， ， ∴ △ PAD≌ △ PBC， ∴ PD=PC， ∵ M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ∴ NE=PM= PD，ME=PN= PC， ∴ PM=ME=EN=PN， ∴ 四边形PMEN是菱形
（3）解：四边形PMEN可能是矩形． 若四边形PMEN是矩形，则∠ DPC=90°. 设PA=x，PB=10﹣x， DP= ，CP= ． DP2+CP2=DC2 16+x2+16+（10﹣x）2=102 x2﹣10x+16=0 x=2或x=8． 故当AP=2或AP=8时，四边形PMEN是矩形．
【知识点】菱形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据已知易证 ME是△PDC的中位线，NE是△PDC的中位线，就可证得 ME∥PC，EN∥PD ，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证得结论。
（2）当AP=5时，易证AP=BP，利用全等三角形的判定定理，可证得△PAD≌△PBC，就可得出PD=PC，再中点的定义及三角形中位线定理，就可证得PM=ME=EN=PN，然后利用四边相等的四边形是菱形，即可得证。
（3）根据题意可知四边形PMEN可能是矩形，因此可得出∠DPC=90°，设PA=x，可用含x的代数式表示出PB，利用勾股定理求出DP、CP，建立关于x的方程，求出x的值，就可得出结果。
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠BAE＝∠D＝90°，
由旋转性质，得：FE＝DC，∠EFH＝∠D＝90°，
∴AB＝FE，∠BAE＝∠EFH，
在矩形BEFG中，GF∥BE，
∴∠AEB＝∠FHE，
在△ABE和△FEH中，
，
∴△ABE≌△FEH（AAS），
（2）解：∵四边形是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠HEB＝∠EBC＝30°，
∵△ABE △FEH，
∴BE＝EH，
∴∠EHB＝∠EBH＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝90°﹣∠EHB＝15°，即∠ABH的度数为15°．
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AB＝DC，∠BAE＝∠D＝90°，再根据旋转的性质可得FE＝DC，∠EFH＝∠D＝90°，则AB＝FE，∠BAE＝∠EFH，根据直线平行性质可得∠AEB＝∠FHE，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得∠HEB＝∠EBC＝30°，再根据全等三角形性质可得BE＝EH，则∠EHB＝∠EBH＝（180°﹣30°）＝75°，再根据∠ABH＝90°﹣∠EHB即可求出答案.
18．【答案】（1）3；10
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
由折叠性质可得：，，，
又四边形为矩形，
，
，
，
，
，
四边形为菱形；
连接，
四边形为矩形，
，，，
，
设，则，
由折叠性质可得：，，
，
，
解得，
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：
四边形ABCD为矩形，
∴ AD∥BC， ，，，
，
∵将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，
∴，B'C=BC=8cm
，
，
∴ 设DE=xcm，则EC=（8-x）cm
∴ DE2+DC2=EC2
即x2+42=（8-x）2
解得x=3，
∴ DE=3cm，
【分析】本题考查矩形的性质和折叠性质、勾股定理的计算、菱形的判定。
（1）根据矩形ABCD的性质AD∥BC，可得，根据折叠得，可得AE=EC，利用勾股定理，求出DE长，计算面积即可；
（2） 由折叠性质得，，，根据矩形ABCD的性质得AD∥BC得，则，可证四边形BEDF为菱形； 连接BD ，根据矩形ABCD得，，，，设，则，由折叠性质得，，根据得，则，根据可得EF长.
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