【培优版】北师大版数学九上1.2矩形的性质与判定 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·陇县期中）如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，与对角线交于点，且，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．6
2．（2024八下·黔东南期中）如图，矩形中，，，点P为平面内一点，且，点Q为CD上一个动点，则的最小值为（ ）
A．11 B． C． D．13
3．如图，在 ABCD中，有下列条件：①AC=BD.②∠1+∠3=90°.③OB= AC.④∠1=∠2.其中能判定 ABCD是矩形的有 （ ）
A．① B．①②③ C．②③④ D．①②③④
4．（2023九上·广州期中）矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的有（ ）个.
①∠M=∠DAB′；②PB=PB′；③；④MB′=CD；⑤若B′P⊥CD，则EB′=B′P．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023九上·滕州开学考）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝6，则BE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2023八下·嵊州期末）如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长是（ ）
A．1.5 B． C． D．
7．（2023·宣州模拟）如图，在矩形ABCD中，，，为中点，是线段上一点，设，连接并将它绕点顺时针旋转90°得到线段，连接，，则在点从点向点运动的过程中，下列说法错误的是（ ）
A． B．点始终在直线上
C．的面积为m D．的最小值为
8．（2017·丹东模拟）如图，在矩形ABCD中，AD= AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．（2023·雅安）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．
10．如图，在矩形ABCD 中，E是AD的中点，连结BE，将△ABE 沿BE 翻折得到△FBE，EF 交 BC 于点H，延长BF，DC 相交于点G.若DG=8，BC=12，则FH= .
11．（2023九上·龙湾开学考）如图是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型如图，过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域，形成一幅装饰画，则矩形的周长为 若点，，在同一直线上，且点到的距离与到的距离相等，则印章区域的边长为 ．
12．（2023九上·曾都期中）如图，在矩形ABCD中，，，动点P在矩形的边上沿运动。当点P不与点A、B重合时，将沿AP对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 .
13．（2024九上·简阳期末）如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2），则 ；然后将绕点旋转到，当过点时旋转停止，则的长度为 ．
三、解答题
14．（2024八下·婺城期中） 如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=7，∠ACB=45°，AC＞AB，E，F为对角线AC上的两点(点E与A、C、F都不重合)，AE=CF，EM⊥BC于点M，FN⊥AD于点N，连结EN，FM．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）四边形EMFN能否成为矩形？四边形EMFN能否成为菱形？请直接写出答案．
（3）连结MN，作点C关于MN的对称点C'，若点C'落在边AB上，求AE的长.
15．（2024八下·绥江期中） 如图1，将矩形纸片对折，与重合，展开后，折痕为．再次折叠，折痕经过点，且交于点，使点落在上的点处，连接、，点落在上的点处，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）如图2，在矩形纸片中，是边上的一点，连接，在上取一点，折叠纸片，使、两点重合，展开后，折痕为．沿着直线折叠纸片，使点落在上的点处，点落在上的点处，连接、，交于点．试探究与之间的数量关系．
16．（2024八下·印江期中）如图，在中，O是边上的一个动点，过点O作直线，交的平分线于点E，交的外角的平分线于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）连接，当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．
17．（2023九上·庐江月考）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为，记旋转角为．
（1）如图1，当时，求点D的坐标；
（2）如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
（3）如图3，当点D落在线段上时，求点E的坐标．
18．（2023九上·和平期中）已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G．
（1）如图①；当时，连接，求的长；
（2）如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长；
（3）连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴ AB∥CD，
∴ ∠EAO=∠FCO，
∵ ∠AOE=∠COF，AE=CF，
∴ △AOE≌△COF（AAS），
∴ EO=FO，
∵ BE=BF，
∴ ∠EBO=∠FBO，∠BOF=90°，
∵ ∠BEF=2∠BAC，∠BEF=∠BAC+∠AOE，
∴ ∠BAC=∠AOE，
∴ AE=EO，
∴ OF=FC，
∴ Rt△BOF≌Rt△BCF（HL），
∴ ∠FBO=∠CBF，
∵ ∠FBO+∠CBF+∠EBO=90°，
∴ ∠EBO=30°，
∴ 2EO=BE，即2AE=2FC=BE=，
∴ AB=AE+BE=.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，根据AAS判定△AOE≌△COF推出EO=FO，根据等腰三角形的性质可得∠BOF=90°，∠EBO=∠FBO，依据外角的性质可推出∠BAC=∠AOE得到OF=FC，根据HL判定Rt△BOF≌Rt△BCF推出 ∠EBO=30°，计算出BE=2FC，即可求得.
2．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】 点P为平面内一点，且，
点P在以B为圆心，2为半径的上延长AD到，使连接，交于点如图，
四边形ABCD是矩形，
垂直平分，
的最小值为
在直角三角形中，
由勾股定理可得
的最小值为13-2=11，
故答案为：A.
【分析】根据题意得到点P在以B为圆心，2为半径的上延长AD到，使连接，交于点，进而得到的最小值为利用勾股定理求出从而求解.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
②∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝ODBD，
∵OBAC，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
④∵四边形ABCD是矩形，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AB∥CD，
∴∠1＝∠OCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠OCD＝∠2，
∴OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
综上所述，能判断 ABCD是矩形的有4个，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的性质和矩形的判定方法分别对各个条件进行判断即可解答．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AB'，
①由AB∥CD，可得∠M＝∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°，∴∠CB'E＝∠DAB'
∴∠M＝∠DAB'，故可得①正确；
②根据折叠的性质可得AB'＝AB，AP＝AP，∠B'AP＝∠BAP，根据SAS可判定△B'AP≌△BAP，
∴PB＝PB'，故可得②正确；
③在Rt△ADB'可得，B'D===3，∴CB'＝CD-B'D=5-3＝2，
设AE＝x，则EB'＝EB=，
在Rt△CEB'中，CE2+CB'2＝EB'2，即（4-）2+22＝x2-25，
解得：x=(舍负)，即AE=．
故可得③正确；
④假如MB′＝CD，则可得MB'＝AB＝AB'，
∴∠M＝∠BAB'，由①得∠M＝∠DAB′，
故有∠BAB'＝∠DAB'=45°，
而本题不能判定∠BAB'＝∠DAB'=45°，即假设不成立．
故可得④错误．
⑤若B′P⊥CD，则B'P∥BC，
∴∠B'PE＝∠BEP，又∵∠BEP＝∠B'EP，
∴EB'＝B'P，
故可得⑤正确．
综上可得①②③⑤正确，共四个．
故答案为：C.
【分析】由矩形知AB∥CD，可得∠M＝∠CB'E，又由∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°可判断①是正确的；利用折叠的性质利用SAS可判断出△B'AP≌△BAP，因此可得出PB＝PB'，则判断出②是正确的；设AE＝x，表示出EB'＝EB=，在Rt△CEB'中利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求出AE的长度，从而可判断出③是正确的；利用反证法假设 MB′=CD ，则得∠BAB'=∠DAB'=45°，与题意不相符，则判断出④是不正确的；根据B′P⊥CD，判断出B'P∥BC，从而有∠B'PE=∠BEP=∠B'EP，从而得出EB'＝B'P，则可判断出⑤是正确的．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等边三角形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠EAD=45° AD ∥ BC OA=OB=6
∴ ∠AEB=∠EAD=45° ∴ AB=BE
∵∠CAE=15° ∠BAE=45°
∴∠BAC=60° 又∵ OA=OB
∴ △ABo是等边三角形
∴ BO=AB =6
∴BO=BE=6
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得出∠BAE=∠EAD=45° AD∥BC OA=OB=6 证出∠AEB=∠EAD=45° 得到BE=BA 证得△ABO是等边三角形，得出BO=AB=6 则得出答案。
6．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过F作FG⊥AC于点G，
∵CF平分∠ACD，
∴FD=GF.
由折叠可得AB=AE.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠D=90°，
∴CD=AE，∠ACD+∠CAD=90°.
∵CD=AE，∠E=∠D=90°，∠AFE=∠CFD，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴AF=FC=2，
∴∠FAC=∠FCD.
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∴∠ACF=∠FCD=∠FAC.
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠FCD=30°，
∴DF=CF=1，
∴CD==.
故答案为：B.
【分析】过F作FG⊥AC于点G，由角平分线的性质可得FD=GF，由折叠可得AB=AE，根据矩形的性质可得AB=CD，∠D=90°，则CD=AE，∠ACD+∠CAD=90°，利用AAS证明△AEF≌△CDF，得到AF=FC=2，则∠FAC=∠FCD，结合角平分线的概念可得∠ACF=∠DCF，则∠ACF=∠FCD=∠FAC，据此可得∠FCD=30°，得到DF=CF=1，然后利用勾股定理计算即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点E作EH⊥BC于点H，
∵BP=m(0 ∴点P在线段BF上，
∵F为BC中点，
∴CF=BF=2，
∵将AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，
∴AP = PE，∠APE =∠ABP= ∠PHE= 90° ，
∴∠BPA+∠EPH =90°，∠BAP+∠BPA=90°，
∴∠BAP= ∠EPH，
∴△BAP≌△HPE，
∴BP=EH =m，AB = PH= 2，
∴FH = PH-PF=2-(2-m) =m，
∴EH = FH，
∴∠EFC=45°，
∴选项A不符合题意；
∵CD= CF= 2，
∴∠DFC = 45°，
∴点D在直线EF上，
∴选项B不符合题意；
∵S△EFC = CF·EH=×2m=m，
∴选项C不符合题意；
∵点E在DF上移动，
∴当CE⊥DF时，CE有最小值，
∵CF =DC =2，∠DCF=90°，
∴DF=，
∵CE⊥DF，
∴CE = DF=，
∴CE的最小值为2，
∴选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积公式，旋转的性质等对每个说法一一判断即可。
8．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE= AB，
∵AD= AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED= （180°﹣45°）=67.5°，
∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵AB=AH，
∵∠AHB= （180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=67.5°=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，
∴∠DHO=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
∵HE=AE﹣AH=BC﹣CD，
∴BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=BC﹣（CD﹣HE）=（BC﹣CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故答案为：C．
【分析】利用△ABE是等腰直角三角形，AD= AB可证得△ABE≌△AHD，进而可证△BEH≌△HDF得出结论.
9．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接PC，如图所示：
由勾股定理得，
∵，，，
∴四边形EPDC为矩形，
∴ED=PC，
∴当PC⊥BA时，此时PC最小，ED的值也最小，
∴，
代入数据解得，
∴的最小值为，
故答案为：
【分析】连接PC，先根据勾股定理即可求出AB的长，进而运用矩形的判定与性质即可得到ED=PC，从而根据垂线段最短得到当PC⊥BA时，此时PC最小，ED的值也最小，再运用代入数据即可求解。
10．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
由矩形的性质得：，，.
由折叠的性质可得：．
∴，．
是的中点，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
∴，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，由勾股定理得：
即，
解得：，
∴=，
故答案为：．
【分析】连接，结合折叠的性质和矩形的性质，由全等三角形的判定定理可证明．根据全等三角形的性质可得，可设，则，在中，根据勾股定理可求的长，即的长，再在中，根据勾股定理可求的长，从而求出的长．
11．【答案】；
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：由图1可知，七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为，然后，最小的直角边长为，正方形和平行四边形的短边长都是
过点作和的垂线，垂足分别为，则
又且是等腰直角三角形，所以，故
又，所以四边形是矩形，所以
又知，所以，故矩形的周长为：
延长经过点与交于点，连接
因为，且，所以
又因点到和的距离相等，所以点在的角平分线上
则，所以，所以
又，所以四边形是平行四边形.
又，
所以，
所以
则
故答案为：.
【分析】本题主要考查矩形的判定，平行四边形的判定，角平分线的判定，解答此问题关键是作出辅助线，利用几何关系找出对边和对角，进而对相关图形的判定，使用相关图形的性质可实现对本题的求解.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AC，
在矩形ABCD中，
∴
①当点P在BC上，
则
∴B'在A为圆心，2为半径的弧上，
当A，B'，C三点共线时，CB'最小，
∴
②当点P在DC上，
此时
③当点P在AD上，
此时
综上所述，线段的最小值为，
故答案为：.
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长度，然后分三种情况讨论，①当点P在BC上，②当点P在DC上，③当点P在AD上，分别进行计算即可.
13．【答案】2；
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=CD=10，AD=BC=12，
由折叠的性质可得AB=BE，∠BEF=90°，
四边形ABEF是矩形，∠CEF=180°-90°=90°，
AB=BE，
四边形ABEF是正方形，
AB=BE=EF=AF=10，
DF=BC-BE=2，
由勾股定理可得
连接CF，如图，
由旋转的性质可得∠BEF=∠CNF=90°，EF=NF，
CF=CF，
CN=CE=2，EF=NF=10，
C、D在EN的垂直平分线上，
CF⊥EN，
四边形ECNE的面积为
解得，
【分析】先证明四边形ABEF是正方形，得到AB=BE=EF=AF=10，DF=BC-BE=2，连接CF，利用勾股定理求得CF的值以及旋转的性质，通过HL证明，从而得到CN=CE=2，EF=NF=10，证明C、D在EN的垂直平分线上，最后利用四边形ECNE的面积为代入数据计算即可求解.
14．【答案】（1）证明：)∵ABCD为平行四边形
∴AD||BC
∵EM⊥BC，FN⊥AD
∴EM||FN
∴∠AFN=∠CFM
∵AE=CF
∴AE+EF=CF+EF即AF=CE
又∵AD||BC
∴∠FAN=∠MCE
在△ANF和△CME中
∵△ANF≌△CME
∴EM=NF
∴EMFN为平行四边形
（2）解：不能为矩形也不能为菱形
若EMFN为矩形，则∠ENF=90°，而∠ANF=90°，明显矛盾.
若EMFN为菱形，则ME=MF，而由∠ACB=45°得∠MEC=45°，∠MFE=45°，∠EMC=90°，明显矛盾.
（3）解：第一步：作AG⊥BC于点G，设CG=m，则AG=m，BG=7-m，由勾股定理得52=m2+(7-m)2，得m=4或3(舍)，故AC=4√2.
第二步：如图，连接OC'，MC'，
易知OC=OA=OC'，故AC'C=90，由等面积法知CC'=，连接CC'交MN于点H，BC'=，MH=，而CH=，故CM=，故CE=，于是AE=AC-CE=4√2-=
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质证明全等三角形，可得一组对边平行且相等，可得平行四边形；
(2)可假设法推导出矛盾；
(3)根据作出的图，找到隐含的直角三角形ACC'，根据等面积法得CC'，再根据勾股定理得BC'的长度，由对称的性质知CH的长度，根据中位线定理知MH的长，从而得到CM的长，求出CE的长即可得到AE的长.
15．【答案】（1）解：由题知，是的垂直平分线，．
同理，是的垂直平分线，．，是等边三角形．
．在矩形中，．
（2）证明：由题知，是的垂直平分线，．
由题知，是的垂直平分线，由（1）知是等边三角形，
由三线合一得．．
由三线合一得．
（3）解：如图，连接、、．
由题知，是的垂直平分线，是的垂直平分线，
．
点是的三条垂直平分线的交点．．
．
．
在中，．
，
．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠性质，即此处的垂直平分线进行分析推出△BCG是等边，从而得出∠ABG的度数；
（2）同理由垂直平分线中的三角形三线合一及(1)中等边三角形逐一分析各个角的度数，求出目标角∠BHC或∠BHG为90度即可；
（3）同理利用折叠后产生的垂直平分线性质推出O是△BCQ的外心，从而得出BG=BC，最后利用角度的转换关系逐一往目标角进行推导，不熟练的情况也可以设元表示.
16．【答案】（1）证明：平分平分
又
又
又
（2）解：，
即：
又，
又
（3）解：当点O运动到边的中点时，四边形是矩形
理由如下：
∴四边形为平行四边形
又∵四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，再利用等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用等量代换可得；
（2）先利用勾股定理求出，再结合，求出即可；
（3）先证出四边形为平行四边形，再结合，即可证出四边形为矩形.
17．【答案】（1）解：过点D作轴于G，
∵点A的坐标为，
在中，，
∴点D的坐标为；
（2）解：过点D作轴于于H，
则，
，，
，
，
∴点D的坐标为；
（3）解：连接，作轴于G，
由旋转的性质得：，
，
，∴点E的坐标为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据题意作过点D作DG⊥x轴于G，因为矩形ADEF是旋转得到的，所以得出，然后依据直角三角形的性质即可以求，即可得出答案。
（2）根据题意作过点D作DG⊥x轴于G，且于H，然后根据勾股定理可以求出AE，即可求出DH，所以得出，再次利用勾股定理求出DG，即可得出答案。
（3）根据题意连接AE，作EG⊥x轴于G，因为矩形ADEF是旋转得到的，根据旋转的性质，等腰三角形的性质得出，AD=AO，，再根据即可证明AE∥OC，可以得出，，根据三角形全等的判定可得出，可得AG=AD，EG=ED，OG=OA+AG，即可得出答案。
18．【答案】（1）解：连接、，
∵是矩形，
∴，
又∵，，
∴，
由旋转可得，
∴；
（2）解：如图，连接，
由题意可知，在 中，，
根据勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3）连接，交于点O，连接，，
∵是矩形，
∴，
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，
根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：，
故答案为：．
【分析】（1） 连接、，由勾股定理求出AC=， 由旋转可得， 再利用勾股定理求出CF即可；
（2）连接，由勾股定理求出ED的长，再求出，从而得出DP=DA=5，利用PE=PD-DE计算即可；
（3）连接，交于点O，连接，，易得是的中位线，可得，解得点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，求出此时MB的长即可.
1 / 1【培优版】北师大版数学九上1.2矩形的性质与判定 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·陇县期中）如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，与对角线交于点，且，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴ AB∥CD，
∴ ∠EAO=∠FCO，
∵ ∠AOE=∠COF，AE=CF，
∴ △AOE≌△COF（AAS），
∴ EO=FO，
∵ BE=BF，
∴ ∠EBO=∠FBO，∠BOF=90°，
∵ ∠BEF=2∠BAC，∠BEF=∠BAC+∠AOE，
∴ ∠BAC=∠AOE，
∴ AE=EO，
∴ OF=FC，
∴ Rt△BOF≌Rt△BCF（HL），
∴ ∠FBO=∠CBF，
∵ ∠FBO+∠CBF+∠EBO=90°，
∴ ∠EBO=30°，
∴ 2EO=BE，即2AE=2FC=BE=，
∴ AB=AE+BE=.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，根据AAS判定△AOE≌△COF推出EO=FO，根据等腰三角形的性质可得∠BOF=90°，∠EBO=∠FBO，依据外角的性质可推出∠BAC=∠AOE得到OF=FC，根据HL判定Rt△BOF≌Rt△BCF推出 ∠EBO=30°，计算出BE=2FC，即可求得.
2．（2024八下·黔东南期中）如图，矩形中，，，点P为平面内一点，且，点Q为CD上一个动点，则的最小值为（ ）
A．11 B． C． D．13
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】 点P为平面内一点，且，
点P在以B为圆心，2为半径的上延长AD到，使连接，交于点如图，
四边形ABCD是矩形，
垂直平分，
的最小值为
在直角三角形中，
由勾股定理可得
的最小值为13-2=11，
故答案为：A.
【分析】根据题意得到点P在以B为圆心，2为半径的上延长AD到，使连接，交于点，进而得到的最小值为利用勾股定理求出从而求解.
3．如图，在 ABCD中，有下列条件：①AC=BD.②∠1+∠3=90°.③OB= AC.④∠1=∠2.其中能判定 ABCD是矩形的有 （ ）
A．① B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
②∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝ODBD，
∵OBAC，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
④∵四边形ABCD是矩形，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AB∥CD，
∴∠1＝∠OCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠OCD＝∠2，
∴OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
综上所述，能判断 ABCD是矩形的有4个，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的性质和矩形的判定方法分别对各个条件进行判断即可解答．
4．（2023九上·广州期中）矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的有（ ）个.
①∠M=∠DAB′；②PB=PB′；③；④MB′=CD；⑤若B′P⊥CD，则EB′=B′P．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AB'，
①由AB∥CD，可得∠M＝∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°，∴∠CB'E＝∠DAB'
∴∠M＝∠DAB'，故可得①正确；
②根据折叠的性质可得AB'＝AB，AP＝AP，∠B'AP＝∠BAP，根据SAS可判定△B'AP≌△BAP，
∴PB＝PB'，故可得②正确；
③在Rt△ADB'可得，B'D===3，∴CB'＝CD-B'D=5-3＝2，
设AE＝x，则EB'＝EB=，
在Rt△CEB'中，CE2+CB'2＝EB'2，即（4-）2+22＝x2-25，
解得：x=(舍负)，即AE=．
故可得③正确；
④假如MB′＝CD，则可得MB'＝AB＝AB'，
∴∠M＝∠BAB'，由①得∠M＝∠DAB′，
故有∠BAB'＝∠DAB'=45°，
而本题不能判定∠BAB'＝∠DAB'=45°，即假设不成立．
故可得④错误．
⑤若B′P⊥CD，则B'P∥BC，
∴∠B'PE＝∠BEP，又∵∠BEP＝∠B'EP，
∴EB'＝B'P，
故可得⑤正确．
综上可得①②③⑤正确，共四个．
故答案为：C.
【分析】由矩形知AB∥CD，可得∠M＝∠CB'E，又由∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°可判断①是正确的；利用折叠的性质利用SAS可判断出△B'AP≌△BAP，因此可得出PB＝PB'，则判断出②是正确的；设AE＝x，表示出EB'＝EB=，在Rt△CEB'中利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求出AE的长度，从而可判断出③是正确的；利用反证法假设 MB′=CD ，则得∠BAB'=∠DAB'=45°，与题意不相符，则判断出④是不正确的；根据B′P⊥CD，判断出B'P∥BC，从而有∠B'PE=∠BEP=∠B'EP，从而得出EB'＝B'P，则可判断出⑤是正确的．
5．（2023九上·滕州开学考）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝6，则BE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等边三角形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠EAD=45° AD ∥ BC OA=OB=6
∴ ∠AEB=∠EAD=45° ∴ AB=BE
∵∠CAE=15° ∠BAE=45°
∴∠BAC=60° 又∵ OA=OB
∴ △ABo是等边三角形
∴ BO=AB =6
∴BO=BE=6
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得出∠BAE=∠EAD=45° AD∥BC OA=OB=6 证出∠AEB=∠EAD=45° 得到BE=BA 证得△ABO是等边三角形，得出BO=AB=6 则得出答案。
6．（2023八下·嵊州期末）如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长是（ ）
A．1.5 B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过F作FG⊥AC于点G，
∵CF平分∠ACD，
∴FD=GF.
由折叠可得AB=AE.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠D=90°，
∴CD=AE，∠ACD+∠CAD=90°.
∵CD=AE，∠E=∠D=90°，∠AFE=∠CFD，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴AF=FC=2，
∴∠FAC=∠FCD.
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∴∠ACF=∠FCD=∠FAC.
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠FCD=30°，
∴DF=CF=1，
∴CD==.
故答案为：B.
【分析】过F作FG⊥AC于点G，由角平分线的性质可得FD=GF，由折叠可得AB=AE，根据矩形的性质可得AB=CD，∠D=90°，则CD=AE，∠ACD+∠CAD=90°，利用AAS证明△AEF≌△CDF，得到AF=FC=2，则∠FAC=∠FCD，结合角平分线的概念可得∠ACF=∠DCF，则∠ACF=∠FCD=∠FAC，据此可得∠FCD=30°，得到DF=CF=1，然后利用勾股定理计算即可.
7．（2023·宣州模拟）如图，在矩形ABCD中，，，为中点，是线段上一点，设，连接并将它绕点顺时针旋转90°得到线段，连接，，则在点从点向点运动的过程中，下列说法错误的是（ ）
A． B．点始终在直线上
C．的面积为m D．的最小值为
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点E作EH⊥BC于点H，
∵BP=m(0 ∴点P在线段BF上，
∵F为BC中点，
∴CF=BF=2，
∵将AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，
∴AP = PE，∠APE =∠ABP= ∠PHE= 90° ，
∴∠BPA+∠EPH =90°，∠BAP+∠BPA=90°，
∴∠BAP= ∠EPH，
∴△BAP≌△HPE，
∴BP=EH =m，AB = PH= 2，
∴FH = PH-PF=2-(2-m) =m，
∴EH = FH，
∴∠EFC=45°，
∴选项A不符合题意；
∵CD= CF= 2，
∴∠DFC = 45°，
∴点D在直线EF上，
∴选项B不符合题意；
∵S△EFC = CF·EH=×2m=m，
∴选项C不符合题意；
∵点E在DF上移动，
∴当CE⊥DF时，CE有最小值，
∵CF =DC =2，∠DCF=90°，
∴DF=，
∵CE⊥DF，
∴CE = DF=，
∴CE的最小值为2，
∴选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积公式，旋转的性质等对每个说法一一判断即可。
8．（2017·丹东模拟）如图，在矩形ABCD中，AD= AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE= AB，
∵AD= AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED= （180°﹣45°）=67.5°，
∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵AB=AH，
∵∠AHB= （180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=67.5°=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，
∴∠DHO=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
∵HE=AE﹣AH=BC﹣CD，
∴BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=BC﹣（CD﹣HE）=（BC﹣CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故答案为：C．
【分析】利用△ABE是等腰直角三角形，AD= AB可证得△ABE≌△AHD，进而可证△BEH≌△HDF得出结论.
二、填空题
9．（2023·雅安）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接PC，如图所示：
由勾股定理得，
∵，，，
∴四边形EPDC为矩形，
∴ED=PC，
∴当PC⊥BA时，此时PC最小，ED的值也最小，
∴，
代入数据解得，
∴的最小值为，
故答案为：
【分析】连接PC，先根据勾股定理即可求出AB的长，进而运用矩形的判定与性质即可得到ED=PC，从而根据垂线段最短得到当PC⊥BA时，此时PC最小，ED的值也最小，再运用代入数据即可求解。
10．如图，在矩形ABCD 中，E是AD的中点，连结BE，将△ABE 沿BE 翻折得到△FBE，EF 交 BC 于点H，延长BF，DC 相交于点G.若DG=8，BC=12，则FH= .
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
由矩形的性质得：，，.
由折叠的性质可得：．
∴，．
是的中点，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
∴，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，由勾股定理得：
即，
解得：，
∴=，
故答案为：．
【分析】连接，结合折叠的性质和矩形的性质，由全等三角形的判定定理可证明．根据全等三角形的性质可得，可设，则，在中，根据勾股定理可求的长，即的长，再在中，根据勾股定理可求的长，从而求出的长．
11．（2023九上·龙湾开学考）如图是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型如图，过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域，形成一幅装饰画，则矩形的周长为 若点，，在同一直线上，且点到的距离与到的距离相等，则印章区域的边长为 ．
【答案】；
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：由图1可知，七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为，然后，最小的直角边长为，正方形和平行四边形的短边长都是
过点作和的垂线，垂足分别为，则
又且是等腰直角三角形，所以，故
又，所以四边形是矩形，所以
又知，所以，故矩形的周长为：
延长经过点与交于点，连接
因为，且，所以
又因点到和的距离相等，所以点在的角平分线上
则，所以，所以
又，所以四边形是平行四边形.
又，
所以，
所以
则
故答案为：.
【分析】本题主要考查矩形的判定，平行四边形的判定，角平分线的判定，解答此问题关键是作出辅助线，利用几何关系找出对边和对角，进而对相关图形的判定，使用相关图形的性质可实现对本题的求解.
12．（2023九上·曾都期中）如图，在矩形ABCD中，，，动点P在矩形的边上沿运动。当点P不与点A、B重合时，将沿AP对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AC，
在矩形ABCD中，
∴
①当点P在BC上，
则
∴B'在A为圆心，2为半径的弧上，
当A，B'，C三点共线时，CB'最小，
∴
②当点P在DC上，
此时
③当点P在AD上，
此时
综上所述，线段的最小值为，
故答案为：.
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长度，然后分三种情况讨论，①当点P在BC上，②当点P在DC上，③当点P在AD上，分别进行计算即可.
13．（2024九上·简阳期末）如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2），则 ；然后将绕点旋转到，当过点时旋转停止，则的长度为 ．
【答案】2；
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=CD=10，AD=BC=12，
由折叠的性质可得AB=BE，∠BEF=90°，
四边形ABEF是矩形，∠CEF=180°-90°=90°，
AB=BE，
四边形ABEF是正方形，
AB=BE=EF=AF=10，
DF=BC-BE=2，
由勾股定理可得
连接CF，如图，
由旋转的性质可得∠BEF=∠CNF=90°，EF=NF，
CF=CF，
CN=CE=2，EF=NF=10，
C、D在EN的垂直平分线上，
CF⊥EN，
四边形ECNE的面积为
解得，
【分析】先证明四边形ABEF是正方形，得到AB=BE=EF=AF=10，DF=BC-BE=2，连接CF，利用勾股定理求得CF的值以及旋转的性质，通过HL证明，从而得到CN=CE=2，EF=NF=10，证明C、D在EN的垂直平分线上，最后利用四边形ECNE的面积为代入数据计算即可求解.
三、解答题
14．（2024八下·婺城期中） 如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=7，∠ACB=45°，AC＞AB，E，F为对角线AC上的两点(点E与A、C、F都不重合)，AE=CF，EM⊥BC于点M，FN⊥AD于点N，连结EN，FM．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）四边形EMFN能否成为矩形？四边形EMFN能否成为菱形？请直接写出答案．
（3）连结MN，作点C关于MN的对称点C'，若点C'落在边AB上，求AE的长.
【答案】（1）证明：)∵ABCD为平行四边形
∴AD||BC
∵EM⊥BC，FN⊥AD
∴EM||FN
∴∠AFN=∠CFM
∵AE=CF
∴AE+EF=CF+EF即AF=CE
又∵AD||BC
∴∠FAN=∠MCE
在△ANF和△CME中
∵△ANF≌△CME
∴EM=NF
∴EMFN为平行四边形
（2）解：不能为矩形也不能为菱形
若EMFN为矩形，则∠ENF=90°，而∠ANF=90°，明显矛盾.
若EMFN为菱形，则ME=MF，而由∠ACB=45°得∠MEC=45°，∠MFE=45°，∠EMC=90°，明显矛盾.
（3）解：第一步：作AG⊥BC于点G，设CG=m，则AG=m，BG=7-m，由勾股定理得52=m2+(7-m)2，得m=4或3(舍)，故AC=4√2.
第二步：如图，连接OC'，MC'，
易知OC=OA=OC'，故AC'C=90，由等面积法知CC'=，连接CC'交MN于点H，BC'=，MH=，而CH=，故CM=，故CE=，于是AE=AC-CE=4√2-=
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质证明全等三角形，可得一组对边平行且相等，可得平行四边形；
(2)可假设法推导出矛盾；
(3)根据作出的图，找到隐含的直角三角形ACC'，根据等面积法得CC'，再根据勾股定理得BC'的长度，由对称的性质知CH的长度，根据中位线定理知MH的长，从而得到CM的长，求出CE的长即可得到AE的长.
15．（2024八下·绥江期中） 如图1，将矩形纸片对折，与重合，展开后，折痕为．再次折叠，折痕经过点，且交于点，使点落在上的点处，连接、，点落在上的点处，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）如图2，在矩形纸片中，是边上的一点，连接，在上取一点，折叠纸片，使、两点重合，展开后，折痕为．沿着直线折叠纸片，使点落在上的点处，点落在上的点处，连接、，交于点．试探究与之间的数量关系．
【答案】（1）解：由题知，是的垂直平分线，．
同理，是的垂直平分线，．，是等边三角形．
．在矩形中，．
（2）证明：由题知，是的垂直平分线，．
由题知，是的垂直平分线，由（1）知是等边三角形，
由三线合一得．．
由三线合一得．
（3）解：如图，连接、、．
由题知，是的垂直平分线，是的垂直平分线，
．
点是的三条垂直平分线的交点．．
．
．
在中，．
，
．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠性质，即此处的垂直平分线进行分析推出△BCG是等边，从而得出∠ABG的度数；
（2）同理由垂直平分线中的三角形三线合一及(1)中等边三角形逐一分析各个角的度数，求出目标角∠BHC或∠BHG为90度即可；
（3）同理利用折叠后产生的垂直平分线性质推出O是△BCQ的外心，从而得出BG=BC，最后利用角度的转换关系逐一往目标角进行推导，不熟练的情况也可以设元表示.
16．（2024八下·印江期中）如图，在中，O是边上的一个动点，过点O作直线，交的平分线于点E，交的外角的平分线于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）连接，当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．
【答案】（1）证明：平分平分
又
又
又
（2）解：，
即：
又，
又
（3）解：当点O运动到边的中点时，四边形是矩形
理由如下：
∴四边形为平行四边形
又∵四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，再利用等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用等量代换可得；
（2）先利用勾股定理求出，再结合，求出即可；
（3）先证出四边形为平行四边形，再结合，即可证出四边形为矩形.
17．（2023九上·庐江月考）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为，记旋转角为．
（1）如图1，当时，求点D的坐标；
（2）如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
（3）如图3，当点D落在线段上时，求点E的坐标．
【答案】（1）解：过点D作轴于G，
∵点A的坐标为，
在中，，
∴点D的坐标为；
（2）解：过点D作轴于于H，
则，
，，
，
，
∴点D的坐标为；
（3）解：连接，作轴于G，
由旋转的性质得：，
，
，∴点E的坐标为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据题意作过点D作DG⊥x轴于G，因为矩形ADEF是旋转得到的，所以得出，然后依据直角三角形的性质即可以求，即可得出答案。
（2）根据题意作过点D作DG⊥x轴于G，且于H，然后根据勾股定理可以求出AE，即可求出DH，所以得出，再次利用勾股定理求出DG，即可得出答案。
（3）根据题意连接AE，作EG⊥x轴于G，因为矩形ADEF是旋转得到的，根据旋转的性质，等腰三角形的性质得出，AD=AO，，再根据即可证明AE∥OC，可以得出，，根据三角形全等的判定可得出，可得AG=AD，EG=ED，OG=OA+AG，即可得出答案。
18．（2023九上·和平期中）已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G．
（1）如图①；当时，连接，求的长；
（2）如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长；
（3）连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ．
【答案】（1）解：连接、，
∵是矩形，
∴，
又∵，，
∴，
由旋转可得，
∴；
（2）解：如图，连接，
由题意可知，在 中，，
根据勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3）连接，交于点O，连接，，
∵是矩形，
∴，
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，
根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：，
故答案为：．
【分析】（1） 连接、，由勾股定理求出AC=， 由旋转可得， 再利用勾股定理求出CF即可；
（2）连接，由勾股定理求出ED的长，再求出，从而得出DP=DA=5，利用PE=PD-DE计算即可；
（3）连接，交于点O，连接，，易得是的中位线，可得，解得点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，求出此时MB的长即可.
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