【基础版】北师大版数学九上1.3 正方形的性质与判定 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·揭阳期末）菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行且相等 B．对角线相等
C．四条边相等，四个角相等 D．对角线互相垂直
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形、矩形、正方形的两组对边分别平行且相等，故符合题意；
B、菱形的对角线不相等 ，故不符合题意；
C、正方形的四条边相等，四个角相等，故不符合题意；
D、菱形、正方形的对角线互相垂直， 故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形、矩形、正方形的性质逐项判断即可.
2．（2024九上·金沙期末） 下列说法不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．四边都相等的四边形是正方形
D．邻边相等的矩形是正方形
【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A：对角线互相垂直的矩形是正方形正确，所以A不符合题意；
B：对角线相等的菱形是正方形正确，所以B不符合题意；
C：四边都相等的四边形是正方形不正确，所以C符合题意；
D：邻边相等的矩形是正方形正确，所以D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据正方形的判定正确判定，即可得出答案。
3．（2023九上·顺德期中）若正方形对角线长为4，则它的面积是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形对角线长为4，
∴它的面积是
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质“面积等于对角线乘积的一半”，即可求解．
4．（2023九上·茂名期中）如图，是正方形的边延长线上的一点，且交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质得到：进而结合等腰三角形的性质得到：然后根据平行线的性质得到：即即可求解.
5．（2017九上·梅江月考）在正方形ABCD中，AB＝12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】如图，
在Rt△ABO中，AB=12，AO=BO= ，所以△ABO的周长是 .故答案为：A.
【分析】根据正方形的对角线相等互相垂直得出∠AOB=90°，然后根据勾股定理即可算出AO=BO= 6，再根据三角形的周长计算方法即可算出答案。
6．（2024九上·织金期末）如图，边长为2的正方形ABCD的中心与坐标原点重合，轴，将正方形ABCD绕原点顺时针旋2023次，每次旋转，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；正方形的性质；旋转的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】根据题意可得旋转8次回到原来位置，
∵2023÷8=252……7，
∴将正方形ABCD绕原点顺时针旋2023次，每次旋转，则顶点的坐标是，
故答案为：C.
【分析】先求出规律旋转8次回到原来位置，再结合2023÷8=252……7，求出顶点的坐标是即可.
7．（2024九上·定边期末）如图，正方形的边长为10，且，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长BF交AE于点G，如下图：
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB=BC，∠DAB=90°
∵AD=BC=10，AE=FC=8，BF=DE=6
∴△ADE≌△CBF（SSS），AD2=AE2+DE2
∴∠ADE=∠CBF，∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB=90°，∠DAE=∠BCF
∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠GAB
∴∠ADE=∠GAB
同理，可得∠BCF=∠ABG；
∴∠DAE=∠ABG
∵∠ADE=∠GAB，AD=AB，∠DAE=∠ABG
∴△ADE≌△BAC（ASA）
∴DE=AG=6，AE=BG=8，∠AGB=∠AED=90°
∴GE=AE-AG=8-6=2，GF=BG-BF=8-6=2
∴EF=
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质，可得AD=AB=BC，∠DAB=90°；根据三角形全等的判定（SSS和ASA）和性质，可得∠ADE=∠CBF，∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB=90°，∠DAE=∠BCF，DE=AG=6，AE=BG=8，∠AGB=∠AED=90°；根据勾股定理的逆定理，可得∠AED=∠CFB=90°和EF的值.
8．（2024·讷河期末）如图，在边长为的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到.若，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠D=∠C=∠ABE=∠ABG=∠BAD=90°，
∵ 将绕点顺时针旋转得到，
∴△ADF≌△ABG，
∴AG=AF，DF=BG=3，∠DAF=∠GAB，
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°，∠EAF=45°，
∴∠GAB+∠BAE=45°即∠GAE=45°，
∴∠EAF=∠GAE，
在△EAF和△EAG中
∴△EAF≌△EAG（SAS），
∴EG=EF，
设BE=x，则EF=EG=3+x，CE=6-x，
EF2=CE2+CF2即（3+x）2=（6-x）2+32，
解之：x=2，
∴BE的长为2.
故答案为：B.
【分析】利用正方形的性质可证得AB=AD，∠D=∠C=∠ABE=∠ABG=∠BAD=90°，利用旋转的性质可证AG=AF，DF=BG=3，∠DAF=∠GAB，由此可推出∠EAF=∠GAE，再利用SAS证明△EAF≌△EAG，利用全等三角形的性质可推出EG=EF；设BE=x，可表示出EF，CE，CF的长，然后利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BE的长.
二、填空题
9．（2023九上·秀洲期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；正方形的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：由题意可知，随着点F的移动，点G也随着移动；
∵点F在线，段AB上运动
∴点G也在直线上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，可得△EBF≌△EHG；
∴△EBH是等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，作EP⊥CM，如下图，点CM即为CG的最小值：
∵△EBH是等边三角形
∴BE=HE=1
∵CM⊥HN，EP⊥CM
∴四边形HEPM是矩形
∴CM=MP+CP=HE+EC
∴CM=1+=
故答案为：.
【分析】根据旋转的性质，构造等边三角形，可得BE=HE；根据点与线之间垂线段最短，作CM⊥HN，可得CG的最小值；根据矩形的判定定理和性质即可求出CG的最小值.
10．（2021九上·房山期中）如图，正方形的边长为3，为边上一点，．绕着点逆时针旋转后与重合，连结，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】根据旋转得旋转角为，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AE的长，再根据，利用勾股定理求出EF的长即可。
11．（2020九上·岐山期中）如图，点E为正方形 对角线 上一点，且 ，则 的度数为 .
【答案】22.5°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴BC＝AB，∠DBC＝45°，∠BCD=90°
∵BE＝BA，
∴BC=BE
∴∠BEC＝∠BCE＝67.5°，
∴∠DCE＝∠BCD ∠BCE＝90° 67.5°＝22.5°，
故答案为：22.5°.
【分析】根据正方形的性质可得BC＝BA，∠DBC＝45°，∠BCD=90°，根据三角形的内角和以及BE＝BC可得∠BCE＝67.5°，由角的和差可得结果.
12．（2018九上·垣曲期末）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已知取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；概率公式
【解析】【解答】∵取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，
∴使△ABC为直角三角形的概率是： .
故答案为： .
【分析】首先确定选点的总情况数，其次根据正方形的对角线是角平分线的性质，来确定满足ABC是Rt三角形的点的个数，即可根据概率公式计算得到。
13．（2017九上·启东开学考）如图，正方形ABCD的对角线长为8 ，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG= ．
【答案】4
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=4 ，
又∵S△ABO=S△AEO+S△EBO，
∴ OA OB= OA EF+ OB EG，
即 ×4 ×4 = ×4 ×（EF+EG）
∴EF+EG=4 ．
故答案为：4 ．
【分析】根据正方形的性质得出OA=OB=4 ，然后根据S△ABO=S△AEO+S△EBO，得出方程化简得出答案。
三、解答题
14．（2021九上·济阳期中）如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE＝CE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用“SAS”证明△ABE≌△CBE，再利用全等三角形的性质可得AE=CE。
15．（2020九上·子洲期中）如图，四边形 是正方形，对角线 、 相交于点F， ， .求证：四边形 是正方形.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形.
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【分析】由正方形的性质得∠FDC＝∠DCF＝45°， 由等腰直角三角形的性质得 ∠EDC＝∠ECD＝45°， 进而即可判断出四边形DFCE是矩形， 最后根据一组邻边相等的矩形是正方形得出结论.
16．（2024九上·信宜期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得、、是等腰三角形，
设，依题意得
，
解得，
，
为度
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用正方形得AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°；根据等边三角形的性质得BE=CE，∠EBC=∠ECB=60°，推出∠ABE=∠DCE，由SAS证△ABE≌△DCE，由全等三角形的性质可得AE=DE；
（2）设，由（1）得、、是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，列方程求解即可．
17．（2024九上·昭通期末）正方形ABCD的边长为5，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：△DEF≌△DMF；
（2）若AE＝2，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，BC＝5，
∴BM＝BC+CM＝5+2＝7，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝7﹣x，
∴EB＝AB﹣AE＝5﹣2＝3，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，
EB2+BF2＝EF2即22+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝，
则EF＝．
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和旋转性质准备条件，再利用SAS证明 △DEF≌△DMF 即可；
（2） 设EF＝MF＝x， 用含x的代数式表示BF的长， 在Rt△EBF中，由勾股定理建立方程求解即可。
18．（2024九上·潮南期末）如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点.
（1）试判定四边形的形状，并说明理由；
（2）已知，，求的长.
【答案】（1）解：四边形是正方形，理由如下：
根据旋转性质可得：，
，
四边形是正方形，
四边形是矩形
又
四边形是正方形
（2）解：连接
在中，
四边形是正方形
又
在中，
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质可求解；
（2）连接BD，在Rt△BCD中，用勾股定理求出BD的值，在Rt△DBH中，用勾股定理即可求解.
1 / 1【基础版】北师大版数学九上1.3 正方形的性质与判定 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·揭阳期末）菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行且相等 B．对角线相等
C．四条边相等，四个角相等 D．对角线互相垂直
2．（2024九上·金沙期末） 下列说法不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．四边都相等的四边形是正方形
D．邻边相等的矩形是正方形
3．（2023九上·顺德期中）若正方形对角线长为4，则它的面积是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
4．（2023九上·茂名期中）如图，是正方形的边延长线上的一点，且交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2017九上·梅江月考）在正方形ABCD中，AB＝12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·织金期末）如图，边长为2的正方形ABCD的中心与坐标原点重合，轴，将正方形ABCD绕原点顺时针旋2023次，每次旋转，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·定边期末）如图，正方形的边长为10，且，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
8．（2024·讷河期末）如图，在边长为的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到.若，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·秀洲期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．
10．（2021九上·房山期中）如图，正方形的边长为3，为边上一点，．绕着点逆时针旋转后与重合，连结，则 ．
11．（2020九上·岐山期中）如图，点E为正方形 对角线 上一点，且 ，则 的度数为 .
12．（2018九上·垣曲期末）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已知取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是 .
13．（2017九上·启东开学考）如图，正方形ABCD的对角线长为8 ，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG= ．
三、解答题
14．（2021九上·济阳期中）如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE＝CE．
15．（2020九上·子洲期中）如图，四边形 是正方形，对角线 、 相交于点F， ， .求证：四边形 是正方形.
16．（2024九上·信宜期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接．
（1）求证：；
（2）求的度数．
17．（2024九上·昭通期末）正方形ABCD的边长为5，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：△DEF≌△DMF；
（2）若AE＝2，求EF的长．
18．（2024九上·潮南期末）如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点.
（1）试判定四边形的形状，并说明理由；
（2）已知，，求的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形、矩形、正方形的两组对边分别平行且相等，故符合题意；
B、菱形的对角线不相等 ，故不符合题意；
C、正方形的四条边相等，四个角相等，故不符合题意；
D、菱形、正方形的对角线互相垂直， 故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形、矩形、正方形的性质逐项判断即可.
2．【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A：对角线互相垂直的矩形是正方形正确，所以A不符合题意；
B：对角线相等的菱形是正方形正确，所以B不符合题意；
C：四边都相等的四边形是正方形不正确，所以C符合题意；
D：邻边相等的矩形是正方形正确，所以D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据正方形的判定正确判定，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形对角线长为4，
∴它的面积是
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质“面积等于对角线乘积的一半”，即可求解．
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质得到：进而结合等腰三角形的性质得到：然后根据平行线的性质得到：即即可求解.
5．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】如图，
在Rt△ABO中，AB=12，AO=BO= ，所以△ABO的周长是 .故答案为：A.
【分析】根据正方形的对角线相等互相垂直得出∠AOB=90°，然后根据勾股定理即可算出AO=BO= 6，再根据三角形的周长计算方法即可算出答案。
6．【答案】C
【知识点】点的坐标；正方形的性质；旋转的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】根据题意可得旋转8次回到原来位置，
∵2023÷8=252……7，
∴将正方形ABCD绕原点顺时针旋2023次，每次旋转，则顶点的坐标是，
故答案为：C.
【分析】先求出规律旋转8次回到原来位置，再结合2023÷8=252……7，求出顶点的坐标是即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长BF交AE于点G，如下图：
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB=BC，∠DAB=90°
∵AD=BC=10，AE=FC=8，BF=DE=6
∴△ADE≌△CBF（SSS），AD2=AE2+DE2
∴∠ADE=∠CBF，∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB=90°，∠DAE=∠BCF
∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠GAB
∴∠ADE=∠GAB
同理，可得∠BCF=∠ABG；
∴∠DAE=∠ABG
∵∠ADE=∠GAB，AD=AB，∠DAE=∠ABG
∴△ADE≌△BAC（ASA）
∴DE=AG=6，AE=BG=8，∠AGB=∠AED=90°
∴GE=AE-AG=8-6=2，GF=BG-BF=8-6=2
∴EF=
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质，可得AD=AB=BC，∠DAB=90°；根据三角形全等的判定（SSS和ASA）和性质，可得∠ADE=∠CBF，∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB=90°，∠DAE=∠BCF，DE=AG=6，AE=BG=8，∠AGB=∠AED=90°；根据勾股定理的逆定理，可得∠AED=∠CFB=90°和EF的值.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠D=∠C=∠ABE=∠ABG=∠BAD=90°，
∵ 将绕点顺时针旋转得到，
∴△ADF≌△ABG，
∴AG=AF，DF=BG=3，∠DAF=∠GAB，
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°，∠EAF=45°，
∴∠GAB+∠BAE=45°即∠GAE=45°，
∴∠EAF=∠GAE，
在△EAF和△EAG中
∴△EAF≌△EAG（SAS），
∴EG=EF，
设BE=x，则EF=EG=3+x，CE=6-x，
EF2=CE2+CF2即（3+x）2=（6-x）2+32，
解之：x=2，
∴BE的长为2.
故答案为：B.
【分析】利用正方形的性质可证得AB=AD，∠D=∠C=∠ABE=∠ABG=∠BAD=90°，利用旋转的性质可证AG=AF，DF=BG=3，∠DAF=∠GAB，由此可推出∠EAF=∠GAE，再利用SAS证明△EAF≌△EAG，利用全等三角形的性质可推出EG=EF；设BE=x，可表示出EF，CE，CF的长，然后利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BE的长.
9．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；正方形的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：由题意可知，随着点F的移动，点G也随着移动；
∵点F在线，段AB上运动
∴点G也在直线上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，可得△EBF≌△EHG；
∴△EBH是等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，作EP⊥CM，如下图，点CM即为CG的最小值：
∵△EBH是等边三角形
∴BE=HE=1
∵CM⊥HN，EP⊥CM
∴四边形HEPM是矩形
∴CM=MP+CP=HE+EC
∴CM=1+=
故答案为：.
【分析】根据旋转的性质，构造等边三角形，可得BE=HE；根据点与线之间垂线段最短，作CM⊥HN，可得CG的最小值；根据矩形的判定定理和性质即可求出CG的最小值.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】根据旋转得旋转角为，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AE的长，再根据，利用勾股定理求出EF的长即可。
11．【答案】22.5°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴BC＝AB，∠DBC＝45°，∠BCD=90°
∵BE＝BA，
∴BC=BE
∴∠BEC＝∠BCE＝67.5°，
∴∠DCE＝∠BCD ∠BCE＝90° 67.5°＝22.5°，
故答案为：22.5°.
【分析】根据正方形的性质可得BC＝BA，∠DBC＝45°，∠BCD=90°，根据三角形的内角和以及BE＝BC可得∠BCE＝67.5°，由角的和差可得结果.
12．【答案】
【知识点】正方形的性质；概率公式
【解析】【解答】∵取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，
∴使△ABC为直角三角形的概率是： .
故答案为： .
【分析】首先确定选点的总情况数，其次根据正方形的对角线是角平分线的性质，来确定满足ABC是Rt三角形的点的个数，即可根据概率公式计算得到。
13．【答案】4
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=4 ，
又∵S△ABO=S△AEO+S△EBO，
∴ OA OB= OA EF+ OB EG，
即 ×4 ×4 = ×4 ×（EF+EG）
∴EF+EG=4 ．
故答案为：4 ．
【分析】根据正方形的性质得出OA=OB=4 ，然后根据S△ABO=S△AEO+S△EBO，得出方程化简得出答案。
14．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用“SAS”证明△ABE≌△CBE，再利用全等三角形的性质可得AE=CE。
15．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形.
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【分析】由正方形的性质得∠FDC＝∠DCF＝45°， 由等腰直角三角形的性质得 ∠EDC＝∠ECD＝45°， 进而即可判断出四边形DFCE是矩形， 最后根据一组邻边相等的矩形是正方形得出结论.
16．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得、、是等腰三角形，
设，依题意得
，
解得，
，
为度
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用正方形得AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°；根据等边三角形的性质得BE=CE，∠EBC=∠ECB=60°，推出∠ABE=∠DCE，由SAS证△ABE≌△DCE，由全等三角形的性质可得AE=DE；
（2）设，由（1）得、、是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，列方程求解即可．
17．【答案】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，BC＝5，
∴BM＝BC+CM＝5+2＝7，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝7﹣x，
∴EB＝AB﹣AE＝5﹣2＝3，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，
EB2+BF2＝EF2即22+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝，
则EF＝．
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和旋转性质准备条件，再利用SAS证明 △DEF≌△DMF 即可；
（2） 设EF＝MF＝x， 用含x的代数式表示BF的长， 在Rt△EBF中，由勾股定理建立方程求解即可。
18．【答案】（1）解：四边形是正方形，理由如下：
根据旋转性质可得：，
，
四边形是正方形，
四边形是矩形
又
四边形是正方形
（2）解：连接
在中，
四边形是正方形
又
在中，
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质可求解；
（2）连接BD，在Rt△BCD中，用勾股定理求出BD的值，在Rt△DBH中，用勾股定理即可求解.
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