2023-2024学年度湖北省武汉市部分重点中学下学期高二期末联考数学试卷（含答案）

2023-2024学年度湖北省武汉市部分重点中学下学期高二期末联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从含有件正品，件次品的产品中随机抽取件产品，则抽取出的件产品中恰有件次品的概率为( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，，则( )
A. B. C. D.
3.若函数在处取得极值，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
5.若函数的图象与的图象恰好有四个交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.设某人在n次射击中击中目标的次数为X,且X~B(n,0.7),记=P(X=k),k=0,1,2,,n,若是唯一的最大值,则E(X)的值为( )
A. 7 B. 7.7 C. 8.4 D. 9.1
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.设函数，，若存在实数，，使得，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的命题是( )
A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于
B. ，
C. 用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
D. 随机变量服从两点分布，且，设，则
10.甲乙两人参加三局两胜制比赛谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束已知在每局比赛中，甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛的输赢相互独立若用表示事件“甲最终获胜”，表示事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”，表示事件“甲赢下第三局”则下列说法正确的是( )
A. B. C. 与互斥 D. 与独立
11.若直线与曲线相交于不同两点，，曲线在，点处切线交于点，则( )
A. B.
C. D. 不存在，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知离散型随机变量的分布列为
若，则 ．
13.已知函数，若恒成立，则的最小值为 ．
14.从，，，，这个数中随机抽一个数记为，再从，，，中随机抽一个数记为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知命题，不等式恒成立命题，使成立．
若命题为真命题，求实数的取值范围
若命题，中恰有一个为真命题，求实数的取值范围．
16.本小题分
随着社会经济的发展，越来越多的人在抵达目的地后选择租车游玩，拉动了许多租车公司的业务，某租车公司为继续开拓市场，提升服务质量，迎接暑假旅游旺季的到来，对近年的暑假的租车业务量单位：十万元进行了汇总研究，情况如下：
年份 年 年 年 年 年
业务量
经过数据分析，已知年份与业务量具有线性相关关系．
假设年为第年，求第年的业务量关于的经验回归方程，并预测年暑假的业务量
该公司从年暑假租车的客户中随机抽取了名客户进行调研，现将名客户的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将列联表补充完整并根据小概率值的独立性检验，分析青年群体和中老年群体对租车服务的评价是否有差异．
好评 差评 合计
青年
中老年
合计
附：经验回归直线方程，其中，
独立性检验中的，其中．
临界值表：
17.本小题分
在数列中，，且
求的通项公式
令，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数
求曲线在处的切线方程
若不等式对任意恒成立，求实数的最大值
证明：参考数据：，
19.本小题分
数列卡特兰数列最早由我国清代数学家明安图在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于年出版的割圜密率捷法中，后由比利时数学家卡特兰的名字来命名，该数列的通项被称为第个数，其通项公式为在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，，，，中，满足“对任意，，，，都有”的数列的个数等于．
已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为．
设粒子第秒末所处的位置为随机变量若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为，求的分布列和数学期望
记第秒末粒子回到原点的概率为．
(ⅰ)求及
(ⅱ)设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.A
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：若命题为真命题，则，．
当为真命题时：
，
当命题，中恰有一个为真命题时，
为真命题，为假命题，即．
为假命题，为真命题，即
综上：

16.解：，，
，
，
．
时，，
预测年暑假的业务量约为十万元．
列联表如下：
好评 差评 合计
青年
中老年
合计
，
根据小概率值的独立性检验，青年群体和中老年群体对租车服务的评价有差异．
17.解：因为，所以，
又，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
故，即．
由得，则
当，时，
当，时，
．
综上所述，
18.解：函数，，，
则，，
所以曲线在处的切点坐标为，切线斜率为，
切线方程为；
，
因为，所以，
则，所以，
所以函数在上单调递减，
所以，，
所以函数的值域为，
若不等式对任意恒成立，
则实数的最小值为，
所以实数的最大值为；
设，
，
在上单调递增，
，，
，使，
在上单调递减，在上单调递增，
．
，
，
．
19.解：，
，
，
，
的分布列如下：
．
，．
设事件粒子在第秒末第一次回到原点，
事件粒子第秒末向右移动一个单位．
，
记粒子往左移动一个单位为，
粒子往右移动一个单位为，
以下仅考虑事件．
设第秒末粒子的运动方式为，其中
沿用中对粒子位置的假设，
则粒子运动方式可用数列表示，
如：，，，表示粒子在前秒按照右、右、左、左的方式运动．
由粒子在第秒末第一次回到原点，
可知数列的前项中有个和个．
，，
粒子在余下秒中运动的位置满足，
即，，
粒子在余下秒中运动方式的总数为，
，
．
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