2023-2024学年江苏省连云港市高二下学期6月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省连云港市高二下学期6月期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.定义：集合且若，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.由，，，，，，这个数字，可以组成无重复数字的四位数的个数为( )
A. B. C. D.
4.已知正方体的棱长为，，分别是和的中点则两条平行线和间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
7.设甲袋中有个白球，乙袋中有个红球和个白球现从两个袋中各摸一个球进行交换，则这样交换次后，红球还在乙袋中的概率为( )
A. B. C. D.
8.一个密闭的长方体盒子高为，底面是边长为的正方形，盒内有一个半径为的小球，若将盒子任意翻动，则小球不能到达区域的体积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直
B. 如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直
C. 如果一个平面内有三点到另一平面距离相等，那么这两个平面平行
D. 如果平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，那么这条直线与该平面平行
10.已知由样本数据点集合，，，，，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为，则( )
A. 变量与具有正相关关系
B. 去除后的回归方程为
C. 重新求得的回归直线必过点
D. 去除后相应于样本点的残差为
11.已知一个几何体是由正四棱锥和正四面体组合而成，且，则( )
A. 该几何体的体积是 B. 二面角的余弦值是
C. 该几何体是七面体 D. 平面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校高二年级名学生在月日参加了江苏省数学联赛预赛，已知预赛成绩服从正态分布试卷满分为分统计结果显示，预赛成绩在分到分之间的人数约为总人数的，则此次预赛成绩不低于分的学生人数约为 ．
13.在只不同的试验产品中有只不合格品、只合格品现每次取只测试，直到只不合格品全部测出为止最后只不合格品正好在第次测试时被发现的不同情形有 种
14.用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶铁皮的正反面都要涂漆，其高是，底面的边长是，已知每平方米需用油漆，共需用油漆 精确到
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求函数的最大值
讨论函数的单调性．
16.本小题分
已知数列，满足：是等差数列，，，．
求数列与的通项公式
设，求数列的前项和．
17.本小题分
某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的个样本数据，得到如下列联表：
预防药品 感染 未感染
未使用
使用
根据表格中的数据，能否有的把握认为预防药品对预防甲流有效果
用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样的方式选出只，用治疗药品对该动物进行治疗已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为，对使用过预防药品的动物的治愈率为，求该动物被治愈的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点
求椭圆的标准方程
若过点的直线交椭圆于，两点，且其中为坐标原点，求的面积．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，，平面平面，，．
证明：
若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是求：
直线与平面所成角的正弦值
三棱锥外接球的表面积．
参考答案
1.
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5.
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15.解：函数的定义域为
当时，，由得．
，，在上为增函数，，，在上为减函数，
所以的极大值为函数的最大值，即时函数的最大值为．
对于，若，恒成立，此时函数在上为增函数．
若，，时，函数为增函数，时，函数为减函数．
综上，时，在上为增函数时，在上为增函数，在上为减函数．
16.解：当时，，则，．
当时，，则，
又，所以，
又，所以等差数列的公差，
所以．
令，
当时，，
得：，得，
也满足上式，所以．
，设其前项和为．
则
两式相减得：，
，
所以．
17.解：假设预防药品与对预防甲流无效果，
由表格数据得：，
因为当成立时，的概率为，
所以，有的把握认为预防药品与对预防甲流有效果．
设事件表示该只动物被治愈，事件表示未使用过预防药品，
事件表示使用过预防药品，
则，，
且，，
则．
答：该只动物被治愈的概率是．
18.解：设椭圆的焦距是，则，
故，则有，
又椭圆经过点，则有，
联立得：，解得：，．
故椭圆的标准方程为．
直线的斜率必存在，不妨设为，则直线的方程为，
设，，由得：，
由，
得，．
又，有，
即，
整理得：，
故，解得，满足．
又因为，
点到直线的距离，
则的面积
则，
代入，可得，
故的面积为．
19.证明：取的中点，连接．
在梯形中，，，，
所以四边形为正方形，所以，
在中，，有，
在中，有，
又，所以，在中有：，即．
又平面平面，平面平面，平面，得平面，
因平面，得．
又因为，直线和有公共点，
平面，平面，
得平面，
又平面，得．
解：以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，，，
设，则点坐标为，
则，，
设平面的法向量，则有，
令，，则，
由点到平面的距离是，可得：，
有，解得，
此时，，
设直线与平面所成角为，则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
设线段的中点为，则直角三角形外心为，则点坐标为，
三棱锥的球心为，则必在过直角三角形外心且垂直平面的直线上，
由平面，设点坐标为，
由得，，解得．
故外接球半径，
球的表面积为．
故三棱锥外接球的表面积为．
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