2023-2024学年浙江省台州市高二下学期6月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年浙江省台州市高二下学期6月期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，集合，则( )
A. B.
C. D. 或或
2.复数及其共轭复数满足其中是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则
A. B. 或 C. D. 或
4.已知为正实数，，则
A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为
5.设定义在上的函数记，对任意的，，则( )
A. B. C. D.
6.甲、乙等人站成前排人、后排人拍照，其中甲、乙两人在同一排相邻的排法共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.现有道单选题，假定学生张君对每道题有思路与无思路的概率均为他对题目若有思路，做对的概率为；若没有思路，做对的概率为在已知张君恰做对题的条件下，则其恰有题有思路的概率为
A. B. C. D.
8.设且，方程在复数集内的三个根为，可以将上述方程变形为，展开得到，比较该方程与方程，可以得到，，已知是虚数单位，且是的三个实根，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若随机变量服从二项分布，则
B. 若随机变量服从正态分布，则
C. 当事件两两独立时，
D. 当事件两两互斥时，
10.关于函数的图象的切线，下列说法正确的是
A. 在点处的切线方程为
B. 经过点的切线方程为
C. 切线与的图象必有两个公共点
D. 在点处的切线过点，则
11.已知的内角所对的边分别为，其中为定值．若的面积，则
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 周长的最小值为 D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数是 用数字作答．
13.已知，，，则 ， ．
14.在正方体中，为正方形的中心，直线底面，则二面角的平面角的正弦值的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知函数，给出如下三组条件：
函数的最小正周期为，且当时，取到最大值；
函数的单调递减区间是，单调递增区间是；
是方程的两个根，的最小值为，且．
从这三组条件中任选一组作为条件，完成以下问题：
Ⅰ求函数的解析式；
Ⅱ若，求的值．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答给分．
16.已知函数为偶函数．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ若不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.如图，在直三棱柱中，，，点，分别是棱、的中点，点在线段上．
Ⅰ若，求证：平面；
Ⅱ若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正切值．
18.已知函数．
Ⅰ当时，求函数的单调区间；
Ⅱ当时，证明：；
Ⅲ若既有极大值又有极小值，求实数的取值范围．
19.在做抛掷质地均匀硬币的试验过程中，将正面朝上记作，反面朝上记作，记录结果得到一串由和构成的序列．在序列中，规定：仅有数字相连的排列称为由构成的游程；仅有数字相连的排列称为由构成的游程．如在序列中，共有个游程，其中由构成的游程有个，分别是；由构成的游程有个，分别是．
Ⅰ由个和个随机构成的序列中，求游程个数的分布列与期望；
Ⅱ由个和个随机构成的序列，记作记事件，．
(ⅰ)求；
(ⅱ)求游程个数的期望．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ若选择：由题知 ，故 ．
当 时， ， ，
故 ，又 ，故 ，
所以 ．
若选择：由单调区间可知周期为 ，故 ，故 ．
由题意知当 时， 取最小值，即 ， ，
故 又 ，故 ，
所以
若选择：令 ，即 ，
由图象可知， ，
即 ，又 的最小值为 ，故 ．
由 可知 的对称中心为 ，
当 时， ， ，故 ，
又 ，故 ．
所以 ．
Ⅱ由 ，得 ，
故 ．

16.解：Ⅰ 的定义域为 ，
因为 是偶函数，其定义域要关于原点对称，故 ，
且此时 为偶函数，故 满足题意．
Ⅱ 等价于 恒成立，
当 时，上式等价于 ，即 ，故 ；
当 时，上式等价于 ，即 ，故 ．
综上可得， 的取值范围是 ．

17.解：Ⅰ如图，连接 ，
由题意可知 ， ，且 ，
所以 ∽ ，
得 ，故 共线．
故 是 的中位线，
故 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
Ⅱ过点 作 交 于点 ，连接 ．
由题可知 平面 ， 平面 ，故 ，
又 ， ，平面 ， 故 平面 ，
所以 就是直线 与平面 所成角．
记点 到平面 的距离为 ，
由 ，得 ，
故 为 的中点，即 ．
在 中， ， ，故 ，
得 ，故 ，
所以直线 与平面 所成角的正切值为 ．

18.解：Ⅰ当 时， ，函数 的定义域为 ，
，
令 ，解得 ；
令 ，解得 或 ，
故函数 的单调递增区间是 ，
函数 的单调递减区间是 ， ．
Ⅱ当 时， ，函数 的定义域为 ，
不等式 就是不等式 ，
当 时，式等价于 ；
当 时，式等价于 ．
设 ， ，
故 在 上单调递增，
故当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ．
故原式成立．
Ⅲ设 ，令 ，
既有极大值又有极小值等价于 既有极大值又有极小值．
，记 ，
故 在 至少有两个不同的根，
故 在 至少有两个不同的根，
记 ，故 ，
故在 时， 单调递增；在 时， 单调递减．
易知当 时， ，当且仅当 等号成立．
下面考虑 ，
一方面有， ，
另一方面有， ，
故当 时， ．
当 时， 且 ，故 ．
又 时， ； 时， ．
画出 的图象如下，
当 或 时，方程 至多一个根，故不合题意；
当 ，方程 有两个根 满足 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，
故 为极大值， 为极小值，
此时 既有极大值又有极小值，也即 既有极大值又有极小值．

19.解：Ⅰ设 表示游程的个数，则 ，
由个和个在排列时，共有 种排列，
当 时，有种排列： 、 ；
当 时，有种排列： 、 、 ；
当 时，有种排列： 、 ， ， ；
当 时，只有一种排列： ．
故 的分布列为：
期望为
Ⅱ ，
；
(ⅱ)可知当随机事件 发生时， 就是一个游程的开始，此时令 ，
设游程个数为 ，则 ，
由(ⅰ)可知 ，
，
由期望的性质可知，
，
设游程个数为 ，类似可得 ，
因此两类游程数目的数学期望为 ．

第1页，共1页